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浙江省丽水市缙云县2025-2026学年九年级上学期数学期中检测卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个符合要求的选项）
1．已知，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数图象的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
4．将抛物线y=（x+2）2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具-筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
7．若A（0，y1），B（-3，y2），C（3，y3）为二次函数.的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．粗糙的地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC=x，AD=y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C． D．
10．如图，已知抛物线.（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：
①abc>0；②若方程的解是x1，x2，且满足则x1<-1，x2>3；③关于x的方程有两个不等的实数根；④8a+c>0.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点P（-1，a）在二次函数的图象上，则a的值为　 　。
12．已知正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是　 　。
13．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点A，B，C.若线段AB=8，则线段BC的长为　 　。
14．如图1，在面积为54cm2的正方形内有一不规则图案（阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示，小亮由此估计阴影部分面积约为　 　cm2。
15．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为　 　。（结果保留π）
16．关于x的二次函数且当-2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是　 　。
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分。）
17．已知二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且图象经过点（-3，24）。
（1）求该二次函数解析式；
（2）求该二次函数图象与坐标轴的交点。
18．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中点A，B，C均在格点上.
（1）仅用无刻度直尺作出△ABC的外接圆圆心O；（保留作图痕迹）
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长。
19．如图，在⊙O中，AB=AC。
（1）求证：OA平分∠BAC；
（2）若试求∠BAC的度数。
20．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有　 　名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=8，AE=6。
（1）求证：
（2）求EC的长。
22．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
（1）当x＝10时，求销售该水果的总利润；
（2）设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式；
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
23．【阅读理解】
我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点。例如，对于函数y=2x-1，当x=y时，可得x=y=1，我们就说1是函数y=2x-1的和谐值，点（1，1）是函数y=2x-1的和谐点。
【问题解决】
（1）已知函数则它的和谐点坐标为　 　；
（2）若二次函数只有一个和谐点，求实数m的值；
（3）已知关于x的二次函数的两个和谐点都是整数点，求整数k的值。
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H。
（1）求证：∠FGC=∠AGD；
（2）若CD平分OB，且求OB的长；
（3）用等式表示线段DH，HG，CG之间的数量关系，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-1)2+3，
∴抛物线顶点坐标为(1，3)，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的顶点式可求得答案.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余得∠A的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD的度数.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+2)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得抛物线的解析式为y=(x+2-2)2-3，即y=x2-3，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：同时闭合、，灯泡会发光，
根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故答案为：A．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x.
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为8米，
∴OC⊥AB ，OD=x-2
∴
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴x2=42+(x-2)2
解得：x=5，
∴⊙O的半径长为5米.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，由垂径定理得AD=BD=4 (米)，再由勾股定理列方程求出的值即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y1=-x2+4x-k=-k；
当x=-3时，y2=-x2+4x-k=-21-k；
当x=3时，y3=-x2+4x-k=3-k，
∴y2故答案为：B.
【分析】分别计算自变量为0、3、-3时的函数值，然后比较函数值的大小即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，
当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵
∴
∴∠E+∠F=90°
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20，∠ADE=∠FCB=90°
∴∠E+∠A=90°
∴∠A=∠F
在△ADE和△FCB中
∴△ADE≌△FCB (AAS)
∴DE=BC=x，
在Rt△ADE中，AD=y，DE=x，AE=20，
由勾股定理得：DE2+AD2=AE2
即x2+y2=400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变
故答案为：D.
【分析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，依题意得∠E+∠F=90°，∠E+∠A=90°，则∠A=∠F，由此可依据“AAS”判定△ADE和△FCB全等，则DE=BC，然后在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得：
∴b=-2a.
∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c<0.
∴abc>0.
∴①的结论正确
∵方程ax2+bx+c-1=0的解是x1，x2，
∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标为x1，x2，
∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于点A(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，
∵抛物线开口向上
∴x1<-1，x2>3
∴②的结论正确
∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的顶点坐标是(1，n)，
∴二次函数有最小值n.
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1没有公共点
∴方程ax2+bx+c=n-1无解.
即方程ax2+bx+c-n+1=0没有实数根
∴③的结论错误；
④∵抛物线与x轴交于点A(3，0)，
∴9a+3b+c=0
∵b=-2a
∴3a+c=0
∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0
∴8a+c>0
∴④的结论正确
故答案为：C.
【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可.
11．【答案】-2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(-1，a)在二次函数y=x2+2x-1的图象上，
∴a=(-1)2+2×(-1) -1=1-2-1=-2
∴a的值为-2
故答案为：-2.
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值.
12．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的边数是：360°÷36°=10.
故答案为：10.
【分析】正多边形的一个外角为36°，且每个外角都相等，根据多边形外角和为360°，可直接求出边数.
13．【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥过点C的横线于D，交过点B的横线于E，
∵BE//CD
∴，即
∴BC=3
故答案为：4.
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得解.
14．【答案】18.9
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35，
∴点落在不规则图案上的概率为0.35
∵正方形面积为54cm2
∴估计阴影部分面积约为0.35×54=18.9(cm2).
故答案为：18.9.
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积.
15．【答案】52π
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：三角形ABC是等边三角形，边长为1，
∴∠CBA=∠ACB=60°，BC=AB=1
∴第一段圆弧圆心角：∠ABD=180°-∠CBA=180°-60°=120°
第二段圆弧圆心角：∠ECB=180°-∠ACB=180°-60°=120°
以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)
∴BD=AB=1
∴CD=CB+BD=2
以此类推，可以知道每段圆孤的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1，
∴蚊香的长度为
故答案为：52π.
【分析】由题意可知，每段圆弧的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可.
16．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数y=x2-2ax+3其中x是自变量且(a≠0)，得对称轴为x=a，
∵-2≤a≤1时，y的最小值为1，
∴当a<-2，x=-2时，y=4+4a+3=1，得(舍去)，
当-2≤a≤1时，x=a时，y=a2-2a2+3=1，得(舍去)，，
当a>1，x=1时，y=1-2a+3=1，得
由上可得，a的值是或
故答案为：或.
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后根据二次函数的增减性求出最值，即可得解.
17．【答案】（1）解：设，过（-3，24）
则，25-1=24，所以=1
所以
（2）解：当x=0时，求得与y轴的交点坐标为(0，3)；
当y=0 时，-(x+1)2+4=0，解得x1=-3，x2=1.
∴与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0).
综上所述，二次函数的图象与坐标轴的交点坐标为（0，3）（3，0）（1，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)设出二次函数的顶点式，再将已知点的坐标代入顶点式，求出二次项系数，进而得到二次函数的解析式；
(2)与x轴交点的纵坐标为0，代入解析式得一元二次方程，通过因式分解求解方程的根，得到x轴交点坐标；与y轴交点的横坐标为0，代入解析式直接计算纵坐标，得到y轴交点坐标.
18．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为所求；
(2)连接OB，利用勾股定理求解.
19．【答案】（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，
∴
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴OA平分∠BAC；
（2）解：∵3：2，
∴
∴∠BAC＝45°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；角平分线的判定；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)延长半径AO交⊙O于D，根据AB=AC，可得，又，可得出结论；
(2)先根据弧度关系，可求出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可求出∠BAC的度数.
20．【答案】（1）20；90；40
（2）解：补全条形图如下：
（3）解：根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
第二名
第一名 女 男1 男2
女 　 （女，男1） （女，男2）
男1 （男1，女） 　 （男1，男2）
男2 （男2，女） （男2，男1） 　
由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）参加比赛的学生人数共有：
B等级人数：
∴“B等级”的扇形的圆心角为：
∴m的值为：
故答案为：20，90，40.
【分析】（1）用A等级的人数除以A所占的比例可得到参加比赛学生总人数；先求出B等级的人数，进而即可求出B等级扇形的圆心角度数；用C等级的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）由（1）的数据，补全条形统计图即可；
（3）利用列表法列出所有可能的情况，最后根据概率计算公式，计算即可.
21．【答案】（1）证明：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴
（2）解：∵，AD＝8
∴AC＝AD＝8，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴CE2．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)连接AC，利用角平分线定义得∠ABE=∠ABD，根据圆内接四边形性质外角∠ABE=∠ADC，由同弧所对圆周角相等得∠ABD=∠ACD，进而推出∠ADC=∠ACD，进而即可求解；
(2)由(1)得AC＝AD＝8，再根据勾股定理即可求解.
22．【答案】（1）解：据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为(元)，平均每天可售出(箱).
总利润为：(元)；
（2）①由题意得与之间的函数解析式为
②不能达到8200元.
.
，
当时，取到最大值，
，
不能达到8200元，
的最大值是8100元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)当每箱水果降价10元时，每箱利润为50元，平均每天可售出160箱，再计算的总利润为8000元.
(2)①根据每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱可得当每箱水果降价x元时，每箱利润为(60-x)元，平均每天可售出(120+4x)箱，进而得到总利润的函数解析式为.
②将函数解析式转化为顶点式，可得当时，取到最大值8100，故w不能达到8200元.
23．【答案】（1）（1，1），（﹣3，﹣3）
（2）解：对于二次函数y＝x2﹣x+m，令x＝y，则可得方程x＝x2﹣x+m，
移项化为一元二次方程的一般形式：x2﹣2x+m＝0，
∵二次函数只有一个和谐点，所以一元二次方程x2﹣2x+m＝0有且只有一个解，
即判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1，所以，实数m的值为1
（3）解：对于二次函数y＝kx24kx+3k+3，
令x＝y，则可得方程x＝kx24kx+3k+3，
移项化为一元二次方程的一般形式：kx2（4k+1）x+3k+3＝0，
对kx2（4k+1）x+3k+3＝0，a＝k，b＝（4k+1），c＝3k+3，
∴Δ＝[（4k+1）]2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2，
∴
∴x1=3，x2=
∵两个和谐点都是整数点，
∴为整数，且k≠0，
∴k＝﹣1时，x＝0
k＝1时，x＝2
∴整数k的值为﹣1或1．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：(1)根据题意，当x=y时，
整理得：x2+2x-3=0
∴(x-1)(x+3)=0，
∴x1=1， x2=-3，
则它的和谐点坐标为(1，1)，(-3，-3)，
故答案为：(1，1)，(-3，-3).
【分析】(1)令x=y，得到一元二次方程，利用因式分解的方法求解即可；
(2)令x=y，则可得方程x=x2-x+m，化为一般形式，根据题意可知判别式等于零，求解即可；
(3)令x=y，则可得方程kx2（4k+1）x+3k+3＝0，利用公式法求出，根据两个和谐点都是整数点，即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：如图1，连接AC，BD，BG，
∵弦CD⊥直径AB于点E，
∴，
∴∠DGB＝∠BGC，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴∠AGB﹣∠DGB＝∠FGB﹣∠CGB，
∴∠CGF＝∠AGD
（2）解：∵CD平分OB，
∴OE＝BEOBOD，
∵弦CD⊥AB于点E，AB是圆O的直径，
∴，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∴DE＝CECD4，
∵OD2＝DE2+OE2，
∴OD2＝（）2+（OD）2，
∴OD＝4，
∴OB＝OD＝4
（3）解：DH＝HG+CG，理由如下：
如图2，连接AD，AC，延长DG至C'，使C'G＝CG，连接AC'，
∵∠AGC+∠CGF＝180°，∠AGC'+∠AGD＝180°，
由（1）知：∠CGF＝∠AGD，
∴∠AGC＝∠AGC'，
∵AG＝AG，CG＝C'G
∴△AGC≌△AGC'（SAS），
∴AC＝AC'，
由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，
∴AD＝AC，
∴AD＝AC'，
∵AH⊥DG，
∴DH＝C'H，
∴DH＝C'H＝HG+C'G＝HG+CG．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)如图1，连接AC，BD，BG，根据垂径定理可得，然后根据直径所对圆周角是直角得∠AGB=90°，进而利用角的和差关系可以解决问题；
(2)根据垂径定理和勾股定理即可解决问题；
(3)如图2，连接AD，AC，延长DG至C'，使C'G=CG，连接AC'，证明△AGC≌△AGC'(SAS)，得CG=C'G，AC=AC'，由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，所以AD=AC，得AD=AC'，然后根据等腰三角形三线合一和线段的和差即可解决问题.
1 / 1浙江省丽水市缙云县2025-2026学年九年级上学期数学期中检测卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个符合要求的选项）
1．已知，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。
2．二次函数图象的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-1)2+3，
∴抛物线顶点坐标为(1，3)，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的顶点式可求得答案.
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余得∠A的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD的度数.
4．将抛物线y=（x+2）2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+2)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得抛物线的解析式为y=(x+2-2)2-3，即y=x2-3，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案.
5．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：同时闭合、，灯泡会发光，
根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故答案为：A．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具-筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x.
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为8米，
∴OC⊥AB ，OD=x-2
∴
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴x2=42+(x-2)2
解得：x=5，
∴⊙O的半径长为5米.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，由垂径定理得AD=BD=4 (米)，再由勾股定理列方程求出的值即可.
7．若A（0，y1），B（-3，y2），C（3，y3）为二次函数.的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y1=-x2+4x-k=-k；
当x=-3时，y2=-x2+4x-k=-21-k；
当x=3时，y3=-x2+4x-k=3-k，
∴y2故答案为：B.
【分析】分别计算自变量为0、3、-3时的函数值，然后比较函数值的大小即可.
8．粗糙的地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，
当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案.
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦BC=x，AD=y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵
∴
∴∠E+∠F=90°
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20，∠ADE=∠FCB=90°
∴∠E+∠A=90°
∴∠A=∠F
在△ADE和△FCB中
∴△ADE≌△FCB (AAS)
∴DE=BC=x，
在Rt△ADE中，AD=y，DE=x，AE=20，
由勾股定理得：DE2+AD2=AE2
即x2+y2=400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变
故答案为：D.
【分析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，依题意得∠E+∠F=90°，∠E+∠A=90°，则∠A=∠F，由此可依据“AAS”判定△ADE和△FCB全等，则DE=BC，然后在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出答案.
10．如图，已知抛物线.（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：
①abc>0；②若方程的解是x1，x2，且满足则x1<-1，x2>3；③关于x的方程有两个不等的实数根；④8a+c>0.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得：
∴b=-2a.
∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c<0.
∴abc>0.
∴①的结论正确
∵方程ax2+bx+c-1=0的解是x1，x2，
∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标为x1，x2，
∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于点A(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，
∵抛物线开口向上
∴x1<-1，x2>3
∴②的结论正确
∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的顶点坐标是(1，n)，
∴二次函数有最小值n.
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1没有公共点
∴方程ax2+bx+c=n-1无解.
即方程ax2+bx+c-n+1=0没有实数根
∴③的结论错误；
④∵抛物线与x轴交于点A(3，0)，
∴9a+3b+c=0
∵b=-2a
∴3a+c=0
∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0
∴8a+c>0
∴④的结论正确
故答案为：C.
【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点P（-1，a）在二次函数的图象上，则a的值为　 　。
【答案】-2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(-1，a)在二次函数y=x2+2x-1的图象上，
∴a=(-1)2+2×(-1) -1=1-2-1=-2
∴a的值为-2
故答案为：-2.
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值.
12．已知正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是　 　。
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的边数是：360°÷36°=10.
故答案为：10.
【分析】正多边形的一个外角为36°，且每个外角都相等，根据多边形外角和为360°，可直接求出边数.
13．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点A，B，C.若线段AB=8，则线段BC的长为　 　。
【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥过点C的横线于D，交过点B的横线于E，
∵BE//CD
∴，即
∴BC=3
故答案为：4.
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得解.
14．如图1，在面积为54cm2的正方形内有一不规则图案（阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示，小亮由此估计阴影部分面积约为　 　cm2。
【答案】18.9
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35，
∴点落在不规则图案上的概率为0.35
∵正方形面积为54cm2
∴估计阴影部分面积约为0.35×54=18.9(cm2).
故答案为：18.9.
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积.
15．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为　 　。（结果保留π）
【答案】52π
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：三角形ABC是等边三角形，边长为1，
∴∠CBA=∠ACB=60°，BC=AB=1
∴第一段圆弧圆心角：∠ABD=180°-∠CBA=180°-60°=120°
第二段圆弧圆心角：∠ECB=180°-∠ACB=180°-60°=120°
以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)
∴BD=AB=1
∴CD=CB+BD=2
以此类推，可以知道每段圆孤的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1，
∴蚊香的长度为
故答案为：52π.
【分析】由题意可知，每段圆弧的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可.
16．关于x的二次函数且当-2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是　 　。
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数y=x2-2ax+3其中x是自变量且(a≠0)，得对称轴为x=a，
∵-2≤a≤1时，y的最小值为1，
∴当a<-2，x=-2时，y=4+4a+3=1，得(舍去)，
当-2≤a≤1时，x=a时，y=a2-2a2+3=1，得(舍去)，，
当a>1，x=1时，y=1-2a+3=1，得
由上可得，a的值是或
故答案为：或.
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后根据二次函数的增减性求出最值，即可得解.
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分。）
17．已知二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且图象经过点（-3，24）。
（1）求该二次函数解析式；
（2）求该二次函数图象与坐标轴的交点。
【答案】（1）解：设，过（-3，24）
则，25-1=24，所以=1
所以
（2）解：当x=0时，求得与y轴的交点坐标为(0，3)；
当y=0 时，-(x+1)2+4=0，解得x1=-3，x2=1.
∴与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0).
综上所述，二次函数的图象与坐标轴的交点坐标为（0，3）（3，0）（1，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)设出二次函数的顶点式，再将已知点的坐标代入顶点式，求出二次项系数，进而得到二次函数的解析式；
(2)与x轴交点的纵坐标为0，代入解析式得一元二次方程，通过因式分解求解方程的根，得到x轴交点坐标；与y轴交点的横坐标为0，代入解析式直接计算纵坐标，得到y轴交点坐标.
18．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中点A，B，C均在格点上.
（1）仅用无刻度直尺作出△ABC的外接圆圆心O；（保留作图痕迹）
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长。
【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为所求；
(2)连接OB，利用勾股定理求解.
19．如图，在⊙O中，AB=AC。
（1）求证：OA平分∠BAC；
（2）若试求∠BAC的度数。
【答案】（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，
∴
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴OA平分∠BAC；
（2）解：∵3：2，
∴
∴∠BAC＝45°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；角平分线的判定；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)延长半径AO交⊙O于D，根据AB=AC，可得，又，可得出结论；
(2)先根据弧度关系，可求出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可求出∠BAC的度数.
20．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有　 　名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20；90；40
（2）解：补全条形图如下：
（3）解：根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
第二名
第一名 女 男1 男2
女 　 （女，男1） （女，男2）
男1 （男1，女） 　 （男1，男2）
男2 （男2，女） （男2，男1） 　
由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）参加比赛的学生人数共有：
B等级人数：
∴“B等级”的扇形的圆心角为：
∴m的值为：
故答案为：20，90，40.
【分析】（1）用A等级的人数除以A所占的比例可得到参加比赛学生总人数；先求出B等级的人数，进而即可求出B等级扇形的圆心角度数；用C等级的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）由（1）的数据，补全条形统计图即可；
（3）利用列表法列出所有可能的情况，最后根据概率计算公式，计算即可.
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=8，AE=6。
（1）求证：
（2）求EC的长。
【答案】（1）证明：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴
（2）解：∵，AD＝8
∴AC＝AD＝8，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴CE2．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)连接AC，利用角平分线定义得∠ABE=∠ABD，根据圆内接四边形性质外角∠ABE=∠ADC，由同弧所对圆周角相等得∠ABD=∠ACD，进而推出∠ADC=∠ACD，进而即可求解；
(2)由(1)得AC＝AD＝8，再根据勾股定理即可求解.
22．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
（1）当x＝10时，求销售该水果的总利润；
（2）设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式；
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
【答案】（1）解：据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为(元)，平均每天可售出(箱).
总利润为：(元)；
（2）①由题意得与之间的函数解析式为
②不能达到8200元.
.
，
当时，取到最大值，
，
不能达到8200元，
的最大值是8100元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)当每箱水果降价10元时，每箱利润为50元，平均每天可售出160箱，再计算的总利润为8000元.
(2)①根据每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱可得当每箱水果降价x元时，每箱利润为(60-x)元，平均每天可售出(120+4x)箱，进而得到总利润的函数解析式为.
②将函数解析式转化为顶点式，可得当时，取到最大值8100，故w不能达到8200元.
23．【阅读理解】
我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点。例如，对于函数y=2x-1，当x=y时，可得x=y=1，我们就说1是函数y=2x-1的和谐值，点（1，1）是函数y=2x-1的和谐点。
【问题解决】
（1）已知函数则它的和谐点坐标为　 　；
（2）若二次函数只有一个和谐点，求实数m的值；
（3）已知关于x的二次函数的两个和谐点都是整数点，求整数k的值。
【答案】（1）（1，1），（﹣3，﹣3）
（2）解：对于二次函数y＝x2﹣x+m，令x＝y，则可得方程x＝x2﹣x+m，
移项化为一元二次方程的一般形式：x2﹣2x+m＝0，
∵二次函数只有一个和谐点，所以一元二次方程x2﹣2x+m＝0有且只有一个解，
即判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1，所以，实数m的值为1
（3）解：对于二次函数y＝kx24kx+3k+3，
令x＝y，则可得方程x＝kx24kx+3k+3，
移项化为一元二次方程的一般形式：kx2（4k+1）x+3k+3＝0，
对kx2（4k+1）x+3k+3＝0，a＝k，b＝（4k+1），c＝3k+3，
∴Δ＝[（4k+1）]2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2，
∴
∴x1=3，x2=
∵两个和谐点都是整数点，
∴为整数，且k≠0，
∴k＝﹣1时，x＝0
k＝1时，x＝2
∴整数k的值为﹣1或1．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：(1)根据题意，当x=y时，
整理得：x2+2x-3=0
∴(x-1)(x+3)=0，
∴x1=1， x2=-3，
则它的和谐点坐标为(1，1)，(-3，-3)，
故答案为：(1，1)，(-3，-3).
【分析】(1)令x=y，得到一元二次方程，利用因式分解的方法求解即可；
(2)令x=y，则可得方程x=x2-x+m，化为一般形式，根据题意可知判别式等于零，求解即可；
(3)令x=y，则可得方程kx2（4k+1）x+3k+3＝0，利用公式法求出，根据两个和谐点都是整数点，即可求出答案.
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H。
（1）求证：∠FGC=∠AGD；
（2）若CD平分OB，且求OB的长；
（3）用等式表示线段DH，HG，CG之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）证明：如图1，连接AC，BD，BG，
∵弦CD⊥直径AB于点E，
∴，
∴∠DGB＝∠BGC，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴∠AGB﹣∠DGB＝∠FGB﹣∠CGB，
∴∠CGF＝∠AGD
（2）解：∵CD平分OB，
∴OE＝BEOBOD，
∵弦CD⊥AB于点E，AB是圆O的直径，
∴，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∴DE＝CECD4，
∵OD2＝DE2+OE2，
∴OD2＝（）2+（OD）2，
∴OD＝4，
∴OB＝OD＝4
（3）解：DH＝HG+CG，理由如下：
如图2，连接AD，AC，延长DG至C'，使C'G＝CG，连接AC'，
∵∠AGC+∠CGF＝180°，∠AGC'+∠AGD＝180°，
由（1）知：∠CGF＝∠AGD，
∴∠AGC＝∠AGC'，
∵AG＝AG，CG＝C'G
∴△AGC≌△AGC'（SAS），
∴AC＝AC'，
由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，
∴AD＝AC，
∴AD＝AC'，
∵AH⊥DG，
∴DH＝C'H，
∴DH＝C'H＝HG+C'G＝HG+CG．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)如图1，连接AC，BD，BG，根据垂径定理可得，然后根据直径所对圆周角是直角得∠AGB=90°，进而利用角的和差关系可以解决问题；
(2)根据垂径定理和勾股定理即可解决问题；
(3)如图2，连接AD，AC，延长DG至C'，使C'G=CG，连接AC'，证明△AGC≌△AGC'(SAS)，得CG=C'G，AC=AC'，由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，所以AD=AC，得AD=AC'，然后根据等腰三角形三线合一和线段的和差即可解决问题.
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