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四川省巴中市2025-2026学年七年级数学(北师版)下学期期末试题
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共 50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义可知，四个图形中，只有C选项中的图形是轴对称图形．
故答案为：C.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
2．航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求.我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内. 0.000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：：，故A错误；
：，故B错误；
：，计算结果与选项一致 ，故C正确；
：，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据单项式乘以多项式、完全平方公式、单项式除以单项式、平方差公式法则逐项判断即可.
4．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为14cm和9cm的木棒，则第三根木棒的长度不可取（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长度为，
∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴，
即．
只有A不在范围内．
故选：A．
【分析】根据三角形的三边关系列不等式组求出x的取值范围即可．
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．三角形内角和是180°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放世界杯
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是是必然事件，故此选项符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放世界杯是随机事件，故此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解答即可．
6．如图，已知∠1=∠2，添加下列条件仍不能判定△ABD≌△ACD的是 （　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．AB=AC D．BD=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意；
添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
7．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】我们先整理题目中几种烷烃的碳原子数x和氢原子数y的对应值：甲烷为((1，4)、乙烷为(2，6)、丙烷为(3，8)、丁烷为(4，10)；接下来我们可以将这些对应坐标分别代入各个选项验证，也可以根据“碳原子数每增加1个，氢原子数就增加2个”的规律，推导x和y的函数关系式，最终筛选出正确选项。
8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是 （　　）
A．a+4=16b B．a=4b C． D．4a=16+b
【答案】A
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：∵左边为个相加，
∴左边，
∵右边为个相乘，
∴右边，
由题意得，，
．
故答案为：A.
【分析】将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，然后根据底数相同，指数相同的两个数相等解答即可．
9．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（　　）
A．a+b=6 B．a-b=4 C．ab=5 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，（负值均已舍去），
∴，，
由得：，即，
由得：，即，
∴关系式中不正确的是D选项．
故选：D．
【分析】根据正方形的面积公式得到，，再利用完全平方公式的变形逐项判断即可．
10．已知AB=10，AC=6，BD=8，其中 点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为t秒.
①若x=1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时， x=6；
③若α=90°， t=5， x=1时， PC与PQ垂直；
④若运动过程中存在△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或
以上说法正确的选项为（　　）
A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒，
点运动路程为．
若，则点运动路程为，
点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意；
对于②，当点到达点时，秒，
，故②符合题意；
对于③，如图所示，
当，时，
点运动的路程为，点运动的路程为．
，，
，．
，
，
，
和不全等，
．
，
，
，
与不垂直，故③不符合题意；
对于④，当时，则，．
，
，
，
，
，
；
当时，则，．
，
，
．
，
，
，
若与全等，则或，故④不符合题意．
综上所述，符合题意的结论为①②．
故答案为：B.
【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程判断①；求出点到达点时的时间，然后求出点Q的运动速度判断②；根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形对应边相等，分种情况列方程求出的值判断④解答即可．
二、填空题：本题共5 小题，每小题5分，共25分。
11．若∠A与∠B互余， ∠B与∠C互补， ∠A=30°， 则∠C=　 　.
【答案】120°
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120°.
【分析】根据余角和补角的定义解答即可．
12．如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为　 　米．
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
在和中，
，
，
米，
米，
故答案为：10.
【分析】由中点的定义可得BP、CP相等，再通过SAS判定和全等，然后由全等三角形的性质即可得到AB的长度.
13．如图，在∠ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB、BC于点M、N，分别以M、N为圆心，大于 MV为半径画弧交于点P，作射线BP. D为BP上一点， DE∥BC交AB于点E， 若∠1=62°， 则∠2的度数为　 　.
【答案】31°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
由作图可得是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：31°.
【分析】根据尺规作图得到是的角平分线，根据平行线的性质得到，，然后根据角平分线的定义解答即可．
14．已知 若A·B-C的值与x的取值无关，则 　 　
【答案】1
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.
【分析】先把多项式代入计算的结果，根据无关型的系数为0求出a，b的值，然后代入计算即可．
15．如图， 点D是△ABC内一点， DA=DB， ∠ADB=90°， 过D作FE⊥BC于E， 交AC于F， F恰是AC的中点， 若DF=4， BE=11， 则EC的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作，交延长线于，根据同角的余角相等得出，然后根据得到，即可得到，，求出，然后得到，可以得到，，利用线段的和差解答即可．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： 其中a=3， b=-2.
【答案】（1）解：
=1+9-1-4
=5
（2）解：
（3）解：
当a=3， b=-2时， 原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先运算乘方、负整数次幂、零次幂和绝对值，然后加减解答即可；
（2）先运算同底数幂的乘除法、积的乘方，然后合并同类项解答即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项，再利用多项式除以单项式法则化简，再把a，b的值代入即可.
17．如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上.用无刻度直尺按要求画图(不写画法，保留画图痕迹).
（1）在图1 中， 画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，已知△ABC与△DEF成轴对称，在图中画出对称轴；
（3）如图3，方格纸上有两条线段，请在图3中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形 (在网格中画出所有符合条件的线段).
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图，直线MN即为所求，
（3）解：如图，线段GH、PQ、ST即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作点A，B，C的对称点、、的位置，然后依次连接得到即为；
（2）连接，作的垂直平分线即可；
（3）根据轴对称的性质作图即可．
18．某小型植物可能开出紫色、粉色、白色三种颜色的花朵.为了解该植物开紫色花朵的概率，植物社团的成员打算随机收集一些该植物的幼苗进行试验研究.五个小组的成员分别收集该植物的一些幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据如下表：
　 一组 二组 三组 四组 五组
试验的植株总数 255 229 20 300 280
开紫花的植株数量 74 71 3 88 b
出现紫花的频率 (保留两位小数) 0.29 0.31 a 0.29 0.30
（1） 表中a=　 　， b=　 　；
（2）在上述五个小组的数据中，你认为第　 　组的数据不适合用频率估计概率，你认为一株该植物开出紫花的概率是　 　.(精确到0.1)
（3）已知该植物开出粉色花朵的概率为0.5，某公园自然生长着大量该植物，经统计，这些植株中开白花的有350棵，请你估计该公园此植物植株的总数量.
【答案】（1）0.15；84
（2）三；0.3
（3）解： 350÷(1-0.3-0.5)=1750棵，
答：估计该公园此植物植株的总数量为1750棵
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，；
故答案为：0.15；84；
（2）解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少；利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.3；
故答案为：三；0.3；
【分析】（1）根据频率频数总数列式计算即可；
（2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值解答即可；
（3）用白花的数量除以白花的概率解答即可．
19．如图，点A、D、B、E在同一条直线上， AC=DF， AC∥DF， AD=BE .
（1）求证： △ABC≌△DEF ；
（2）若AC=DE， ∠A=74°，求∠E的度数.
【答案】（1）证明： ∵AC∥DF ，
∴∠A=∠EDF.
∵AD=BE ，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE .
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)
（2）解： ∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠E，
∵AB=DE， AC=DE，
∴AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
在△ABC中， ∠A=74°，
故∠E=∠ABC=53°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得，利用即可得到两三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理解答即可．
20．“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在四川巴中市正式开赛，这是该项国际A类水上赛事首次落地中国西部城市，也向全世界展现出了巴中丰富的文化底蕴和优美的自然风光.为记录这一赛事，某工作人员准备了甲、乙两架无人机，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(m)与无人机飞行的时间x(s)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
（1）楼顶距离地面的高度是　 　m；
（2）甲、乙无人机的速度分别是多少
（3）在0至10s内，何时这两架无人机的高度差为5米
【答案】（1）20
（2）解：甲无人机的速度是
乙无人机的速度是
（3）解：相遇前，乙比甲高5米，
则(4x+20)-8x=5，
解得x=3.75，
相遇后，甲比乙高5米，
则8x-(4x+20)=5，
解得x=6.25，
故飞行3.75秒或6.25秒时，这两架无人机的高度差为5米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息可知：
楼顶距离地面的高度是．
故答案为：20；
【分析】（1）根据函数图象提取信息解答即可；
（2）根据速度=飞行距离÷飞行时间列式解答即可；
（3）分为相遇前和相遇后两种情况，列方程求出x的值解答即可．
21．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决：
（1）已知 求 的值；
（2）已知 求2m-6n的值；
（3）已知 试将3056用含a、b、c的代数式表示出来.
【答案】（1）解： ∵2a=3， 2 =5，
（2）解：
∴m+2-3n=5，
∴m-3n=3，
∴2m-6n=2(m-3n)=2×3=6
（3）解：
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法逆用解答即可；
（2）根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算，然后得到关于m，n的等式m-3n=3，再整体代入计算即可；
（3）根据积的乘方和幂的乘方的逆用解答即可.
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个数对(a，b)与(c，d).我们规定： 例如：
（1）求(2，1)※(3，-4)的值；
（2）若(2x，kx)※(y，y)是一个完全平方式，求常数k的值；
（3）若2x+y=8，且 求 xy的值.
【答案】（1）解：由题意得， (2，1)※(3，-4)
=4+16-3
=17
（2）解：由题意得， (2x，kx)※(y，y)
∵(2x，kx)※(y，y)是一个完全平方式，
∴±2·2x·y=-kxy，
∴±4xy=-kxy，
∴k=±4
（3）解：
∵2x+y=8，
∴48+4xy=64，
∴xy=4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则解答即可；
（2）根据新定义运算法则得到，再根据完全平方式的特征解答即可；
（3）根据新定义运算法则得到，即可得到，然后根据完全平方公式求出xy的值解答即可．
23．某工厂计划在一条笔直的道路l上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门A后，先到储物点C取物，然后再回到车间B处.你认为该储物点C应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短 如果把大门看作点A，车间看作点B，储物点看作点C，道路看作直线l，如图1，请你通过画图，在图中找出C点，使AC+BC的值最小；
（1）【解决问题】
如图2，作B关于直线l的对称点D，连接AD与直线l交于点C，点C就是所求的位置.证明过程如下：
如图3，在直线l上任取一点E (不与点C重合)，连接AE，BE，DE.
∵点B，D关于直线l对称，点C，E在直线l上，
∴CB=　 　， BE=　 　.
∴AC+BC=　 　.
∵在△ADE中，AD<　 　(三角形的任意两边之和大于第三边)，
∴AC+CB（2） 【实践应用】
在△ABC中，点B与点C关于直线m对称，点P是直线m上的动点.若 AB=5，AC=6，BC=8，求△ABP周长的最小值.
（3） 【拓展提升】
在△ABC中， AC=3， BC=4， AB=5， ∠ACB=90°， AD平分∠BAC， M ， N分别是AD、AC边上的动点，连接CM、MN，求CM+MN的最小值.
【答案】（1）CD；DE；AD；AE+DE
（2）解：连接CP，如图：
∵点B与点C关于直线m对称，
周长为AB+AP+BP=AB+AP+CP，
根据两点之间，线段最短可得
即
当点A、P、C三点共线时，AP+CP的值最小，最小值为6；
故△ABP周长的最小值为AB+6=5+6=11
（3）解： ∵AD平分∠BAC，
∴AD是∠BAC的对称轴，
作点N关于AD的对称点
连接N1C、N1M、NM，过点C作CG⊥AB交于点G；
当N、M、 三点共线时，
∵点 在AB上，故当点 与点G重合时， 的值最小，即此时CM+MN的值最CM+MN小，最小值为CG；
在△ABC中， AC=3，BC=4，AB=5，
故
解得
故CM+MN的最小值为CM+MN=
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形三边关系；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于直线l的对称点D，连接AD与直线l交于点C，点C就是所求的位置.证明过程如下：
如图3，在直线l上任取一点E (不与点C重合)，连接AE，BE，DE.
∵点B，D关于直线l对称，点C，E在直线l上，
∴CB=CD， BE=DE.
∴AC+BC=AD.
∵在△ADE中，AD∴AC+CB故答案为：CD；DE；AD；AE+DE；
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得出，，然后利用三角形的三边关系得到结论即可；
（2）连接，根据垂直平分线的性质可得出，再根据两点之间，线段最短得到，然后求出周长的最小值即可；
（3）根据题意可得是的对称轴，作点关于的对称点，连接、、，过点作交于点；当、、三点共线时，，当点与点重合时，的值最小，最小值为，利用勾股定理的逆定理求出，然后根据三角形的面积公式解答即可．
1 / 1四川省巴中市2025-2026学年七年级数学(北师版)下学期期末试题
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共 50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求.我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内. 0.000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为14cm和9cm的木棒，则第三根木棒的长度不可取（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．三角形内角和是180°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放世界杯
6．如图，已知∠1=∠2，添加下列条件仍不能判定△ABD≌△ACD的是 （　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．AB=AC D．BD=CD
7．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是 （　　）
A．a+4=16b B．a=4b C． D．4a=16+b
9．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（　　）
A．a+b=6 B．a-b=4 C．ab=5 D．
10．已知AB=10，AC=6，BD=8，其中 点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为t秒.
①若x=1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时， x=6；
③若α=90°， t=5， x=1时， PC与PQ垂直；
④若运动过程中存在△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或
以上说法正确的选项为（　　）
A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④
二、填空题：本题共5 小题，每小题5分，共25分。
11．若∠A与∠B互余， ∠B与∠C互补， ∠A=30°， 则∠C=　 　.
12．如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为　 　米．
13．如图，在∠ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB、BC于点M、N，分别以M、N为圆心，大于 MV为半径画弧交于点P，作射线BP. D为BP上一点， DE∥BC交AB于点E， 若∠1=62°， 则∠2的度数为　 　.
14．已知 若A·B-C的值与x的取值无关，则 　 　
15．如图， 点D是△ABC内一点， DA=DB， ∠ADB=90°， 过D作FE⊥BC于E， 交AC于F， F恰是AC的中点， 若DF=4， BE=11， 则EC的长为　 　.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： 其中a=3， b=-2.
17．如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上.用无刻度直尺按要求画图(不写画法，保留画图痕迹).
（1）在图1 中， 画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，已知△ABC与△DEF成轴对称，在图中画出对称轴；
（3）如图3，方格纸上有两条线段，请在图3中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形 (在网格中画出所有符合条件的线段).
18．某小型植物可能开出紫色、粉色、白色三种颜色的花朵.为了解该植物开紫色花朵的概率，植物社团的成员打算随机收集一些该植物的幼苗进行试验研究.五个小组的成员分别收集该植物的一些幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据如下表：
　 一组 二组 三组 四组 五组
试验的植株总数 255 229 20 300 280
开紫花的植株数量 74 71 3 88 b
出现紫花的频率 (保留两位小数) 0.29 0.31 a 0.29 0.30
（1） 表中a=　 　， b=　 　；
（2）在上述五个小组的数据中，你认为第　 　组的数据不适合用频率估计概率，你认为一株该植物开出紫花的概率是　 　.(精确到0.1)
（3）已知该植物开出粉色花朵的概率为0.5，某公园自然生长着大量该植物，经统计，这些植株中开白花的有350棵，请你估计该公园此植物植株的总数量.
19．如图，点A、D、B、E在同一条直线上， AC=DF， AC∥DF， AD=BE .
（1）求证： △ABC≌△DEF ；
（2）若AC=DE， ∠A=74°，求∠E的度数.
20．“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在四川巴中市正式开赛，这是该项国际A类水上赛事首次落地中国西部城市，也向全世界展现出了巴中丰富的文化底蕴和优美的自然风光.为记录这一赛事，某工作人员准备了甲、乙两架无人机，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(m)与无人机飞行的时间x(s)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
（1）楼顶距离地面的高度是　 　m；
（2）甲、乙无人机的速度分别是多少
（3）在0至10s内，何时这两架无人机的高度差为5米
21．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决：
（1）已知 求 的值；
（2）已知 求2m-6n的值；
（3）已知 试将3056用含a、b、c的代数式表示出来.
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个数对(a，b)与(c，d).我们规定： 例如：
（1）求(2，1)※(3，-4)的值；
（2）若(2x，kx)※(y，y)是一个完全平方式，求常数k的值；
（3）若2x+y=8，且 求 xy的值.
23．某工厂计划在一条笔直的道路l上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门A后，先到储物点C取物，然后再回到车间B处.你认为该储物点C应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短 如果把大门看作点A，车间看作点B，储物点看作点C，道路看作直线l，如图1，请你通过画图，在图中找出C点，使AC+BC的值最小；
（1）【解决问题】
如图2，作B关于直线l的对称点D，连接AD与直线l交于点C，点C就是所求的位置.证明过程如下：
如图3，在直线l上任取一点E (不与点C重合)，连接AE，BE，DE.
∵点B，D关于直线l对称，点C，E在直线l上，
∴CB=　 　， BE=　 　.
∴AC+BC=　 　.
∵在△ADE中，AD<　 　(三角形的任意两边之和大于第三边)，
∴AC+CB（2） 【实践应用】
在△ABC中，点B与点C关于直线m对称，点P是直线m上的动点.若 AB=5，AC=6，BC=8，求△ABP周长的最小值.
（3） 【拓展提升】
在△ABC中， AC=3， BC=4， AB=5， ∠ACB=90°， AD平分∠BAC， M ， N分别是AD、AC边上的动点，连接CM、MN，求CM+MN的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义可知，四个图形中，只有C选项中的图形是轴对称图形．
故答案为：C.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：：，故A错误；
：，故B错误；
：，计算结果与选项一致 ，故C正确；
：，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据单项式乘以多项式、完全平方公式、单项式除以单项式、平方差公式法则逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长度为，
∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴，
即．
只有A不在范围内．
故选：A．
【分析】根据三角形的三边关系列不等式组求出x的取值范围即可．
5．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是是必然事件，故此选项符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放世界杯是随机事件，故此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解答即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意；
添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
7．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】我们先整理题目中几种烷烃的碳原子数x和氢原子数y的对应值：甲烷为((1，4)、乙烷为(2，6)、丙烷为(3，8)、丁烷为(4，10)；接下来我们可以将这些对应坐标分别代入各个选项验证，也可以根据“碳原子数每增加1个，氢原子数就增加2个”的规律，推导x和y的函数关系式，最终筛选出正确选项。
8．【答案】A
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：∵左边为个相加，
∴左边，
∵右边为个相乘，
∴右边，
由题意得，，
．
故答案为：A.
【分析】将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，然后根据底数相同，指数相同的两个数相等解答即可．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，（负值均已舍去），
∴，，
由得：，即，
由得：，即，
∴关系式中不正确的是D选项．
故选：D．
【分析】根据正方形的面积公式得到，，再利用完全平方公式的变形逐项判断即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒，
点运动路程为．
若，则点运动路程为，
点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意；
对于②，当点到达点时，秒，
，故②符合题意；
对于③，如图所示，
当，时，
点运动的路程为，点运动的路程为．
，，
，．
，
，
，
和不全等，
．
，
，
，
与不垂直，故③不符合题意；
对于④，当时，则，．
，
，
，
，
，
；
当时，则，．
，
，
．
，
，
，
若与全等，则或，故④不符合题意．
综上所述，符合题意的结论为①②．
故答案为：B.
【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程判断①；求出点到达点时的时间，然后求出点Q的运动速度判断②；根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形对应边相等，分种情况列方程求出的值判断④解答即可．
11．【答案】120°
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120°.
【分析】根据余角和补角的定义解答即可．
12．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
在和中，
，
，
米，
米，
故答案为：10.
【分析】由中点的定义可得BP、CP相等，再通过SAS判定和全等，然后由全等三角形的性质即可得到AB的长度.
13．【答案】31°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
由作图可得是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：31°.
【分析】根据尺规作图得到是的角平分线，根据平行线的性质得到，，然后根据角平分线的定义解答即可．
14．【答案】1
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.
【分析】先把多项式代入计算的结果，根据无关型的系数为0求出a，b的值，然后代入计算即可．
15．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作，交延长线于，根据同角的余角相等得出，然后根据得到，即可得到，，求出，然后得到，可以得到，，利用线段的和差解答即可．
16．【答案】（1）解：
=1+9-1-4
=5
（2）解：
（3）解：
当a=3， b=-2时， 原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先运算乘方、负整数次幂、零次幂和绝对值，然后加减解答即可；
（2）先运算同底数幂的乘除法、积的乘方，然后合并同类项解答即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项，再利用多项式除以单项式法则化简，再把a，b的值代入即可.
17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图，直线MN即为所求，
（3）解：如图，线段GH、PQ、ST即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作点A，B，C的对称点、、的位置，然后依次连接得到即为；
（2）连接，作的垂直平分线即可；
（3）根据轴对称的性质作图即可．
18．【答案】（1）0.15；84
（2）三；0.3
（3）解： 350÷(1-0.3-0.5)=1750棵，
答：估计该公园此植物植株的总数量为1750棵
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，；
故答案为：0.15；84；
（2）解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少；利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.3；
故答案为：三；0.3；
【分析】（1）根据频率频数总数列式计算即可；
（2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值解答即可；
（3）用白花的数量除以白花的概率解答即可．
19．【答案】（1）证明： ∵AC∥DF ，
∴∠A=∠EDF.
∵AD=BE ，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE .
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)
（2）解： ∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠E，
∵AB=DE， AC=DE，
∴AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
在△ABC中， ∠A=74°，
故∠E=∠ABC=53°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得，利用即可得到两三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理解答即可．
20．【答案】（1）20
（2）解：甲无人机的速度是
乙无人机的速度是
（3）解：相遇前，乙比甲高5米，
则(4x+20)-8x=5，
解得x=3.75，
相遇后，甲比乙高5米，
则8x-(4x+20)=5，
解得x=6.25，
故飞行3.75秒或6.25秒时，这两架无人机的高度差为5米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息可知：
楼顶距离地面的高度是．
故答案为：20；
【分析】（1）根据函数图象提取信息解答即可；
（2）根据速度=飞行距离÷飞行时间列式解答即可；
（3）分为相遇前和相遇后两种情况，列方程求出x的值解答即可．
21．【答案】（1）解： ∵2a=3， 2 =5，
（2）解：
∴m+2-3n=5，
∴m-3n=3，
∴2m-6n=2(m-3n)=2×3=6
（3）解：
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法逆用解答即可；
（2）根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算，然后得到关于m，n的等式m-3n=3，再整体代入计算即可；
（3）根据积的乘方和幂的乘方的逆用解答即可.
22．【答案】（1）解：由题意得， (2，1)※(3，-4)
=4+16-3
=17
（2）解：由题意得， (2x，kx)※(y，y)
∵(2x，kx)※(y，y)是一个完全平方式，
∴±2·2x·y=-kxy，
∴±4xy=-kxy，
∴k=±4
（3）解：
∵2x+y=8，
∴48+4xy=64，
∴xy=4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则解答即可；
（2）根据新定义运算法则得到，再根据完全平方式的特征解答即可；
（3）根据新定义运算法则得到，即可得到，然后根据完全平方公式求出xy的值解答即可．
23．【答案】（1）CD；DE；AD；AE+DE
（2）解：连接CP，如图：
∵点B与点C关于直线m对称，
周长为AB+AP+BP=AB+AP+CP，
根据两点之间，线段最短可得
即
当点A、P、C三点共线时，AP+CP的值最小，最小值为6；
故△ABP周长的最小值为AB+6=5+6=11
（3）解： ∵AD平分∠BAC，
∴AD是∠BAC的对称轴，
作点N关于AD的对称点
连接N1C、N1M、NM，过点C作CG⊥AB交于点G；
当N、M、 三点共线时，
∵点 在AB上，故当点 与点G重合时， 的值最小，即此时CM+MN的值最CM+MN小，最小值为CG；
在△ABC中， AC=3，BC=4，AB=5，
故
解得
故CM+MN的最小值为CM+MN=
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形三边关系；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于直线l的对称点D，连接AD与直线l交于点C，点C就是所求的位置.证明过程如下：
如图3，在直线l上任取一点E (不与点C重合)，连接AE，BE，DE.
∵点B，D关于直线l对称，点C，E在直线l上，
∴CB=CD， BE=DE.
∴AC+BC=AD.
∵在△ADE中，AD∴AC+CB故答案为：CD；DE；AD；AE+DE；
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得出，，然后利用三角形的三边关系得到结论即可；
（2）连接，根据垂直平分线的性质可得出，再根据两点之间，线段最短得到，然后求出周长的最小值即可；
（3）根据题意可得是的对称轴，作点关于的对称点，连接、、，过点作交于点；当、、三点共线时，，当点与点重合时，的值最小，最小值为，利用勾股定理的逆定理求出，然后根据三角形的面积公式解答即可．
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