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浙江省杭州市西湖区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题
1．当x=5时，二次根式 的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．方程的解是(　　)
A．x=2 B．x=0 C． D．
3．下列各式运算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩(单位：米)和方差(单位：米2)如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则 的值为(　　)
A．13 B．-13 C．3 D．-3
6．已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示.下列说法一定正确的是 (　　)
A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班有同学的成绩超过120分
C．2班成绩的下四分位数是80分 D．1班的平均分高于2班的平均分
7．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷.某公司生产的一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x，可列出的方程为(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，等边三角形ABC绕点C顺时针旋转α度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度α可以是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．在四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O，已知AO=CO， BO=DO， (　　)
A．若AC=AD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC=BD，则四边形ABCD是正方形
C．若AO=DO，则四边形ABCD是矩形
D．若AO⊥DO，则四边形ABCD是正方形
10． “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成.如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2， 7， 1， 3，连接顶点AB， CD，则线段CD的长是(　　)
A． B． C． D．
11．化简 　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，点E在AB上， PE⊥AB，若PE=2，则点P到AD的距离为　 　.
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值为　 　.
14．如图，在四边形ABCD中， AC， BD为对角线，点E， F， G， H分别是边AB， BC， CD，DA的中点，连接EG， FH.若AC=BD=6， AC⊥BD，则线段EG的长为　 　.
15． 一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数m后平均数不变，则m=　 　；这组新的数据的方差为　 　.
16． 如图，在矩形ABCD中， 点E在AB上，将△CBE沿CE翻折得到△CB'E，B'E 与B'C分别交AD于点G，H，若GA=GB'，CD=6，BC=9， 则线段AE的长为　 　.
17． 计算：
（1）
（2）
18．某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩.现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计(单位：分).
1班： 82， 80， 95， 80， 90， 70， 60， 80， 65， 98；
2班： 90， 70， 60， 90， 90， 98， 82， 90， 70， 60.
将以上两组数据进行整理，如表1：
表1
班级 平均数 中位数 众数
1班 80 80 a
2班 80 b 90
表2
选手 测试成绩/分
理论 操作 答辩
方方 82 90 96
圆圆 85 90 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空： a=　 　， b=　 　.
（2）方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本组一半以上的同学”，由此可判断他是　 　班的学生(填“1”或者“2”).
（3）方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按5：3：2的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高.
19．已知关于x的一元二次方程
（1）当k=4时，求该方程的根.
（2）甲说：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论k为何值，方程至少有一个整数根.请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由.
(若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分)
20．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧分别交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画圆弧交于点 G，射线 BG分别与AD， CD的延长线交于点P，H. 已知AB=4，BC=6， ∠ABC=6、
（1） 求证： AB=AP.
（2）求△DHP周长.
21．新定义：如果两个含有二次根式的代数式a，b满足a·b=c，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好二次根式”.例如： 因为a·b 所以 是关于1的“友好二次根式”.
（1）若2 与 是关于n的“友好二次根式”，求n的值.
（2） 若p与 是关于4的“友好二次根式”，求p的值.
（3） 若 与 是关于3的“友好二次根式”，其中m是有理数，求m的值.
22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，CE平分∠ACD 分别交BD，AD于点 E，F，连接BF.
（1） 求证： BC=BE.
（2） 求 的值.
23．小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.
（1） 如图①， 当AD≤MN时，
①AD= ▲ 米(用含x的代数式表示).
②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB的长.
（2）如图②，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到70平方米 请说明理由.
24．综合与实践
【问题情境】
如图1，在菱形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BC， 点F在CD上，AF⊥CD.
（1）【初步探究】
求证： AE=AF.
（2）【深入探究】
将图1中的△ABE绕点A 逆时针旋转得到△AB'E'，点B，E 的对应点分别为点B'， E'.
①如图2， 当线段AB'经过点C时，直线B'E'分别与边 CD，AD交于点 P， Q，求证： B'C=DQ.
②已知BE=12，CE=1，在旋转过程中，AB'交BC于点H，AE'所在直线交CD于点K，延长AE交B'E'于点 R，若AH=AK，请在图3中画出示意图并求线段ER的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时， ，
即当时，二次根式的值为．
故答案为：B.
【分析】将的值代入，计算二次根式的值即可．
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
即，
解得，
故选：D．
【分析】先移项，然后提公因式x，分解因式解方程即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
4．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：根据图中信息，四人中成绩好的是丙和丁，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛．
故答案为：D.
【分析】先比较平均数，平均数大的成绩更好；再比较方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：13.
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，然后整体代入计算即可．
6．【答案】B
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：对于A，观察图形可知，班的极差和四分位距（箱体长度）均大于班，说明班成绩比班成绩分散，故A错误；
对于B，班成绩的最大值（上须顶端）在分与分之间，说明班有同学的成绩超过分，故B正确；
对于C，观察图形可知，班成绩的下四分位数（箱体下沿）略高于分，故C错误；
对于D，箱线图主要反映数据的中位数、四分位数及极差等，无法直接确定平均数的大小，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的特征，分析两班成绩的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值以及数据的离散程度解答即可．
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，
依题意，得：．
故答案为：B.
【分析】设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，根据“ 一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台 ”列一元二次方程即可．
8．【答案】A
【知识点】旋转对称图形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
当时，点绕点顺时针旋转，
∵且，
∴点的对应点与点重合点的对应点为，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与(即)关于对角线的中点成中心对称，
故符合题意．
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称的性质得到旋转前后对应线段平行且相等，利用等边三角形的性质逐一验证解答即可．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵，，即对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形．
A选项，若，无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误；
B选项，若，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误；
C选项，若，则，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确；
D选项，若，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据已知条件得到四边形是平行四边形，然后根据菱形、正方形和矩形的判定定理逐项判断即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，
由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和，
∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长；
∵图形由正方形和直角三角形构成，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴中，．
故答案为：D.
【分析】根据勾股树的特征求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据勾股定理解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
12．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，且点在对角线上，
∴平分，
∵，，
∴，即点到的距离为．
故答案为：2.
【分析】过点作于点，根据菱形的性质，利用角平分线的性质解答即可．
13．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】根据方程根的情况得到，解方程求出k的值解答即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图
点，分别是边的中点，
是的中位线，
∴，，
同理是的中位线，
，，
，，，
在中，．
故答案为：.
【分析】根据三角形中位线定理求出的长，以及∠EFG=90°，然后根据勾股定理解答即可．
15．【答案】4；3
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，
∴，
解得；
这组新的数据的方差为．
故答案为：4，3.
【分析】先根据平均数的定义求出m的值，然后利用方差公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠性质可知，
，
∵，
，
，
设，，则，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为．
故答案为：1.5.
【分析】根据矩形和折叠的性质，根据ASA得到，即可得到，设，，进而可得，，在中根据勾股定理列方程解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法立方根，然后加减解答即可；
（2）根据二次根式的性质化简，计算绝对值，然后加减解答即可．
18．【答案】（1）80；86
（2）1
（3）解：方方的总评成绩为：（分），
圆圆的总评成绩为：（分），
，
圆圆的总评成绩更高．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：班成绩中出现了次，出现次数最多，因此众数；
将班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数，因此；
故答案为：80，86；
（2）解：班的中位数为分，班的中位数为分，方方理论成绩为分，满足，，
方方的成绩超过本班一半以上同学，可判断他是班的学生；
故答案为：1；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据1班和2班的中位数解答即可；
（3）计算方方和圆圆的加权平均数，然后比较大小解答即可.
19．【答案】（1）解：将代入方程得，
因式分解得，
或，
解得，．
（2）解：选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下：
对，因式分解得，
或，
解得，，
当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误．
选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下：
对，因式分解得，
或，
解得，，
无论取任何值，恒为整数，
无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）把k=4代入得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可；
（2）选择甲：先解方程求出两根，然后根据相等的实数根求出k的值；选择乙：解方程求出x的值然后判断根的情况解答即可.
20．【答案】（1）证明：根据作图过程可知：平分．
．
在平行四边形中，，
．
．
．
（2）解：在平行四边形中，，
．
，
．
．
，
．
在平行四边形中，，
．
．
过点D作于点M，
．
．
，
．
的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得到平分，再根据平行四边形的性质可即可得到，根据等角对等边证明即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到，过点D作于点M，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出PH长，即可求出周长．
21．【答案】（1）解：由“友好二次根式”的定义得；
（2）解：由“友好二次根式”的定义得，
∴．
（3）解：由“友好二次根式”的定义得，
展开并整理左边：，
∵是有理数，是有理数，是无理数，
∴，
解得．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据“友好二次根式”的定义列式，然后进行分母有理化解答即可；
（3）由“友好二次根式”的定义列式展开合并，然后根据对应系数相等求出m的值解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵在正方形中，对角线，交于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵在正方形中，对角线，交于点，
∴，，，，
∴，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴的值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的定义可得，
即可得到，然后根据角的和差和三角形的内角和求得，然后根据等角对等边得到结论即可；
（2）过点作于点，根据正方形的性质，利用三角形的面积公式得到，，，进而可得，再根据平行线的性质及等角对等边得到，然后求出比值解答即可．
23．【答案】（1）①(22-2x)
②解：依题意，得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴的长为米；
（2）解：养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到平方米，
∵长为米，
∴，
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①依题意，得：（米）；
故答案为：(22-2x)；
【分析】（1）①利用“的长木栏总长门的宽度的长”列式即可；
②根据“围成的养蜂场面积为平方米”列关于的一元二次方程，求出x的值并检验即可；
（2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“题意列方程，整理为一般式，由根的判别式，可得出原方程根的情况解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵是菱形的对角线，，
∴，，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
②解：如图，过点作于点，连接，设，
由（1）知：，，
∵是菱形的对角线，，，，
∴，，，
∴，，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，利用AAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）①根据菱形的性质和旋转的性质，利用ASA得到，进而可得，再根据线段的和差证明结论即可；
②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出，进而根据AAS得到，即可得到，燃弧推理得到，即可得到，进而可得，根据旋转的性质可得，然后根据勾股定理求出AR的长即可．
1 / 1浙江省杭州市西湖区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题
1．当x=5时，二次根式 的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时， ，
即当时，二次根式的值为．
故答案为：B.
【分析】将的值代入，计算二次根式的值即可．
2．方程的解是(　　)
A．x=2 B．x=0 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
即，
解得，
故选：D．
【分析】先移项，然后提公因式x，分解因式解方程即可．
3．下列各式运算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
4．甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩(单位：米)和方差(单位：米2)如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：根据图中信息，四人中成绩好的是丙和丁，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛．
故答案为：D.
【分析】先比较平均数，平均数大的成绩更好；再比较方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
5．已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则 的值为(　　)
A．13 B．-13 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：13.
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，然后整体代入计算即可．
6．已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示.下列说法一定正确的是 (　　)
A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班有同学的成绩超过120分
C．2班成绩的下四分位数是80分 D．1班的平均分高于2班的平均分
【答案】B
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：对于A，观察图形可知，班的极差和四分位距（箱体长度）均大于班，说明班成绩比班成绩分散，故A错误；
对于B，班成绩的最大值（上须顶端）在分与分之间，说明班有同学的成绩超过分，故B正确；
对于C，观察图形可知，班成绩的下四分位数（箱体下沿）略高于分，故C错误；
对于D，箱线图主要反映数据的中位数、四分位数及极差等，无法直接确定平均数的大小，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的特征，分析两班成绩的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值以及数据的离散程度解答即可．
7．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷.某公司生产的一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x，可列出的方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，
依题意，得：．
故答案为：B.
【分析】设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，根据“ 一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台 ”列一元二次方程即可．
8．如图，等边三角形ABC绕点C顺时针旋转α度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度α可以是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】A
【知识点】旋转对称图形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
当时，点绕点顺时针旋转，
∵且，
∴点的对应点与点重合点的对应点为，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与(即)关于对角线的中点成中心对称，
故符合题意．
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称的性质得到旋转前后对应线段平行且相等，利用等边三角形的性质逐一验证解答即可．
9．在四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O，已知AO=CO， BO=DO， (　　)
A．若AC=AD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC=BD，则四边形ABCD是正方形
C．若AO=DO，则四边形ABCD是矩形
D．若AO⊥DO，则四边形ABCD是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵，，即对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形．
A选项，若，无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误；
B选项，若，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误；
C选项，若，则，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确；
D选项，若，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据已知条件得到四边形是平行四边形，然后根据菱形、正方形和矩形的判定定理逐项判断即可．
10． “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成.如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2， 7， 1， 3，连接顶点AB， CD，则线段CD的长是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，
由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和，
∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长；
∵图形由正方形和直角三角形构成，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴中，．
故答案为：D.
【分析】根据勾股树的特征求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据勾股定理解答即可．
11．化简 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
12．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，点E在AB上， PE⊥AB，若PE=2，则点P到AD的距离为　 　.
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，且点在对角线上，
∴平分，
∵，，
∴，即点到的距离为．
故答案为：2.
【分析】过点作于点，根据菱形的性质，利用角平分线的性质解答即可．
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值为　 　.
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】根据方程根的情况得到，解方程求出k的值解答即可．
14．如图，在四边形ABCD中， AC， BD为对角线，点E， F， G， H分别是边AB， BC， CD，DA的中点，连接EG， FH.若AC=BD=6， AC⊥BD，则线段EG的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图
点，分别是边的中点，
是的中位线，
∴，，
同理是的中位线，
，，
，，，
在中，．
故答案为：.
【分析】根据三角形中位线定理求出的长，以及∠EFG=90°，然后根据勾股定理解答即可．
15． 一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数m后平均数不变，则m=　 　；这组新的数据的方差为　 　.
【答案】4；3
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，
∴，
解得；
这组新的数据的方差为．
故答案为：4，3.
【分析】先根据平均数的定义求出m的值，然后利用方差公式计算即可．
16． 如图，在矩形ABCD中， 点E在AB上，将△CBE沿CE翻折得到△CB'E，B'E 与B'C分别交AD于点G，H，若GA=GB'，CD=6，BC=9， 则线段AE的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠性质可知，
，
∵，
，
，
设，，则，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为．
故答案为：1.5.
【分析】根据矩形和折叠的性质，根据ASA得到，即可得到，设，，进而可得，，在中根据勾股定理列方程解答即可．
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法立方根，然后加减解答即可；
（2）根据二次根式的性质化简，计算绝对值，然后加减解答即可．
18．某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩.现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计(单位：分).
1班： 82， 80， 95， 80， 90， 70， 60， 80， 65， 98；
2班： 90， 70， 60， 90， 90， 98， 82， 90， 70， 60.
将以上两组数据进行整理，如表1：
表1
班级 平均数 中位数 众数
1班 80 80 a
2班 80 b 90
表2
选手 测试成绩/分
理论 操作 答辩
方方 82 90 96
圆圆 85 90 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空： a=　 　， b=　 　.
（2）方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本组一半以上的同学”，由此可判断他是　 　班的学生(填“1”或者“2”).
（3）方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按5：3：2的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高.
【答案】（1）80；86
（2）1
（3）解：方方的总评成绩为：（分），
圆圆的总评成绩为：（分），
，
圆圆的总评成绩更高．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：班成绩中出现了次，出现次数最多，因此众数；
将班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数，因此；
故答案为：80，86；
（2）解：班的中位数为分，班的中位数为分，方方理论成绩为分，满足，，
方方的成绩超过本班一半以上同学，可判断他是班的学生；
故答案为：1；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据1班和2班的中位数解答即可；
（3）计算方方和圆圆的加权平均数，然后比较大小解答即可.
19．已知关于x的一元二次方程
（1）当k=4时，求该方程的根.
（2）甲说：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论k为何值，方程至少有一个整数根.请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由.
(若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分)
【答案】（1）解：将代入方程得，
因式分解得，
或，
解得，．
（2）解：选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下：
对，因式分解得，
或，
解得，，
当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误．
选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下：
对，因式分解得，
或，
解得，，
无论取任何值，恒为整数，
无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）把k=4代入得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可；
（2）选择甲：先解方程求出两根，然后根据相等的实数根求出k的值；选择乙：解方程求出x的值然后判断根的情况解答即可.
20．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧分别交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画圆弧交于点 G，射线 BG分别与AD， CD的延长线交于点P，H. 已知AB=4，BC=6， ∠ABC=6、
（1） 求证： AB=AP.
（2）求△DHP周长.
【答案】（1）证明：根据作图过程可知：平分．
．
在平行四边形中，，
．
．
．
（2）解：在平行四边形中，，
．
，
．
．
，
．
在平行四边形中，，
．
．
过点D作于点M，
．
．
，
．
的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得到平分，再根据平行四边形的性质可即可得到，根据等角对等边证明即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到，过点D作于点M，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出PH长，即可求出周长．
21．新定义：如果两个含有二次根式的代数式a，b满足a·b=c，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好二次根式”.例如： 因为a·b 所以 是关于1的“友好二次根式”.
（1）若2 与 是关于n的“友好二次根式”，求n的值.
（2） 若p与 是关于4的“友好二次根式”，求p的值.
（3） 若 与 是关于3的“友好二次根式”，其中m是有理数，求m的值.
【答案】（1）解：由“友好二次根式”的定义得；
（2）解：由“友好二次根式”的定义得，
∴．
（3）解：由“友好二次根式”的定义得，
展开并整理左边：，
∵是有理数，是有理数，是无理数，
∴，
解得．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据“友好二次根式”的定义列式，然后进行分母有理化解答即可；
（3）由“友好二次根式”的定义列式展开合并，然后根据对应系数相等求出m的值解答即可.
22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，CE平分∠ACD 分别交BD，AD于点 E，F，连接BF.
（1） 求证： BC=BE.
（2） 求 的值.
【答案】（1）证明：∵在正方形中，对角线，交于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵在正方形中，对角线，交于点，
∴，，，，
∴，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴的值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的定义可得，
即可得到，然后根据角的和差和三角形的内角和求得，然后根据等角对等边得到结论即可；
（2）过点作于点，根据正方形的性质，利用三角形的面积公式得到，，，进而可得，再根据平行线的性质及等角对等边得到，然后求出比值解答即可．
23．小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.
（1） 如图①， 当AD≤MN时，
①AD= ▲ 米(用含x的代数式表示).
②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB的长.
（2）如图②，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到70平方米 请说明理由.
【答案】（1）①(22-2x)
②解：依题意，得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴的长为米；
（2）解：养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到平方米，
∵长为米，
∴，
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①依题意，得：（米）；
故答案为：(22-2x)；
【分析】（1）①利用“的长木栏总长门的宽度的长”列式即可；
②根据“围成的养蜂场面积为平方米”列关于的一元二次方程，求出x的值并检验即可；
（2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“题意列方程，整理为一般式，由根的判别式，可得出原方程根的情况解答即可．
24．综合与实践
【问题情境】
如图1，在菱形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BC， 点F在CD上，AF⊥CD.
（1）【初步探究】
求证： AE=AF.
（2）【深入探究】
将图1中的△ABE绕点A 逆时针旋转得到△AB'E'，点B，E 的对应点分别为点B'， E'.
①如图2， 当线段AB'经过点C时，直线B'E'分别与边 CD，AD交于点 P， Q，求证： B'C=DQ.
②已知BE=12，CE=1，在旋转过程中，AB'交BC于点H，AE'所在直线交CD于点K，延长AE交B'E'于点 R，若AH=AK，请在图3中画出示意图并求线段ER的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵是菱形的对角线，，
∴，，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
②解：如图，过点作于点，连接，设，
由（1）知：，，
∵是菱形的对角线，，，，
∴，，，
∴，，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，利用AAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）①根据菱形的性质和旋转的性质，利用ASA得到，进而可得，再根据线段的和差证明结论即可；
②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出，进而根据AAS得到，即可得到，燃弧推理得到，即可得到，进而可得，根据旋转的性质可得，然后根据勾股定理求出AR的长即可．
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