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河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则为（ ）
A． B． C．5 D．
2．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（ ）
A．2160 B．3240 C．4320 D．5040
6．某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左 右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美
B．数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5
C．独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关
D．相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强
10．如图，四面体中，分别为，的重心，则（ ）
A．与可能平行
B．平面
C．若与均为等边三角形，则平面⊥平面
D．若与均为等边三角形，则
11．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．设，则为等比数列
D．设，则
三、填空题
12．已知空间向量，，且.则________.
13．函数的值域为___________．
14．已知函数有零点，则的最小值为________．
四、解答题
15．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，.
(1)求证：；
(2)若为的边上的高，求的取值范围.
16．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
17．某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
18．如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．

(1)证明：；
(2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；
(3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．
19．已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)已知数列满足，且，证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C D B A AD BCD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15．(1)由得 ，
两边同时约去，并由正弦定理得：，
所以，即.
在中，因为，为内角，所以，或 .
若，则（舍去）.
故，即.证毕.
(2).
【详解】（1）略
（2）由(1)知，由正弦定理得， ，又 ，
所以.
由三角形内角均为正数，即，解得，
所以，，
所以.
16．(1)
(2)
证明：由题意，直线的斜率存在，
设直线方程为：，，．

联立，消去，得，
由于，同号，所以，，
，
所以，
联立，解得，
所以，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，
所以直线与直线的交点在定直线上．
【详解】（1）由题意，，，
所以，
所以C的方程为．
（2）略
17．(1)0.4；
(2)
的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
(3)应选.
【详解】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，
则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
18．(1)平面，则，，
平面，则，，
，且是平面的法线，
平面，
又平面，平面平面，
，
，
．
(2)
平面，且平面，
平面平面，交线为，
在平面内的投影在上，故直线与平面所成角
为 的余角，即，
设平面与平面的交线为，则，且 平面，
平面，
平面，
，
又 ，
，
二面角的平面角，
，
，则，
，为定值．
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）已知平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，

已知，E为线段 的中点，
则，
设点，
，
设平面的法向量为，则
，令 ，则，
点到平面的距离，
当时，分母最小， 最大，
．
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）易知的定义域为，
易知.
①当时， 恒成立，即，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：当时，，
由（1）知，在上单调递减，则，即，
令，则，
当时，，故在上单调递增，则，即，
综上可知，当时， .
（3）证明：由（2）可知，当时， ，
令，
因为，且，易知，
则，两边同时取倒数得，
所以，即，即.
设，
令，则有，
即，
当时，要证，即证，只需证，
只需证，即证，即证 ，
故设 ，由知，
则，
令，，
当时，，单调递减；
故，从而，在上单调递减，，即，
由上式知，则.
当时，，不等式也成立；
综上，得证.
答案第1页，共2页
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