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29.2圆的有关性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，A、B、C三点在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（ ）
A． B． C．6 D．
4．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　）
A．点A是弧的中点 B．
C．平分 D．平分
9．如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，劣弧的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
12．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
13．如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则的度数为______．
14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．
15．如图，是半圆的直径，半径于点O，平分，交于点D，连接，，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号是______．
16．如图，的半径为6，弦垂直平分，则________，________．
17．如图，的半径是5，是的直径，弦，垂足为P，若，则的面积是_______．
三、解答题
18．如图，在中，弦与相交于点E，，连接，．求证：
(1)．
(2)．
19．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________．
经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________．
在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得．
通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”）
20．在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）．
21．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；
(2)连接AD，求三角形OAD的面积．
22．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）

23．如图，在⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为M，F是上的一点，且，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．
24．如图在等边中，的平分线交y轴于点D，C的坐标为
(1)如图1，求D的坐标．
(2)如图2，E为x轴上任意一点，以为边，在第一象限内作等边，延长交y轴于点G，求的长．
(3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在右上方作交延长线于N点，求的值．
《29.2圆的有关性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C D B D D D
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得结果．
【详解】解：∵ ，，
∴．
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线．
连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵圆是矩形的外接圆，
∴点O是的中点
∵，，，
∴
∴
∴阴影部分的面积．
故选：B．
3．A
【分析】设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．
【详解】解：如图，设DE交OB于点M，
∵点F是弧的中点，
∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，
∴DE=2DM，
∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，
∵的半径是4，
∴OM= OD=2，
在 中，由勾股定理得：
，
∴DE=2DM= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为，
由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示：
由垂径定理可知，且，
设的半径为，
在中，，，，，由勾股定理可得，
解得，
故选：B．
5．C
【分析】根据弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，判定出四边形OACB是平行四边形，再由，即可判定四边形OACB是菱形.
【详解】∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键．
取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即,
故选D．
7．B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是理清角之间的关系．由，得由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，利用直角三角形的性质即可得解。
【详解】解：∵，
∴
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
8．D
【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可．
【详解】解：∵B是弧的中点，
∴，
∵是直径，
∴，
∴平分，点A是弧的中点，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
9．D
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意；
∵是的直径，
∴，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
∵
∴,
故选项C不符合题意；
∵无法证明，
∴选项D符合题意．
10．D
【分析】本题考查了弧的度数求解，求出弧所对的圆心角度数是解题的关键，连接，根据结合即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
故劣弧的度数为，
故选：D．
11．C
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解
【详解】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故选D．
【点睛】本题考查邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得．
【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．
，
点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，可得，进而由可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．45
【分析】根据垂径定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝45°．
【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴ AB垂直平分CD
∴AC＝AD
∴△ACD是等腰三角形
∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．③
【分析】①过点E作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；②两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明；③根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再求证，利用其对应边成比例即可得出结论．
【详解】解：①过点E作，
∵，平分交弧于点D，
∴，
在中，，
∴，故①错误．
②∵在和中，只有，
∵，
∴，
∴不能证明和相似，故②错误；
③∵平分交弧于点D，
∴，
∴，
∵是半圆直径，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确．
综上所述，只有③正确．
16．
【分析】连接，设交于点，则垂直平分，证明四边形是菱形，进而证明是等边三角形，即可求得，，进而求得,．
【详解】连接，设交于点，则垂直平分，
弦垂直平分，
四边形是菱形，
,，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，适当添加辅助线是解题的关键．
17．32
【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算．
【详解】解：连接，
∵的半径是5，是的直径，弦，，
∴，
∴OP= = =3，
∴，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理以及垂径定理，解题关键是掌握相关定理进行转化．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到，进而证明结论；
（2）先说明，再运用证明，再利用相似三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
，
19．，，，，兵车
【分析】根据垂径定理，进行作答即可．
【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∴此车轮为：兵车之轮；
故答案为：，，，，兵车．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键．
20．11.2
【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可．
【详解】∵，且，
∴．
根据题意可知，
∴（）．
根据勾股定理，得，
解得．
所以这个盏口半径的长为11.2．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
21．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；
（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）解：如图，连接AD，
∵⊙O的直径是10，
∴OD=5，
由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
22．
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，

∴，，
∵，
∴，
∵直径为，
∴，
在中，根据勾股定理，
可得，
∴，
∴水的最大深度为．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据得，，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得，，根据等角的余角相等可得，进而可得，根据等角对等边即可得证；
（2）连接，根据∠BAF＝22.5°，证明是直角三角形，勾股定理求得，进而证明是的中位线，即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，
，
，
，
，
在中，，
由（1）得，，
是等腰三角形，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)9
(3)6
【分析】（1）根据等边三角形的性质得，在中，根据勾股定理可得，再由C的坐标为，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求出；
（2）过点F作轴，垂足分别为K，H，，再证明，可得，即可求解；
（3）在上截取，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，从而得到，可得到点M，D，B，N四点共圆，从而得到，再证明，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
在中，，
∵C的坐标为，
∴，
∴，
∵的平分线交y轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图，过点F作轴，垂足分别为K，H，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M，D，B，N四点共圆，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加适当辅助线构建全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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