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29.3弧长和扇形面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为（　　）
A．10cm B．10πcm C．5cm D．5πcm
2．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
4．某圆锥的三视图如图所示，由图中数据可知，该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，为对角线，为的中点，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与正方形的边相交．当时，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3 B． C． D．4
7．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A． B． C． D．
8．某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
9．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，交于点E．其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )

A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
11．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C．π D．2
二、填空题
13．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______．
14．设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要______平方米的毛毡（取）．
15．如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．
16．如图，在中，，将绕直线旋转一周得到的几何体的全面积为___________（结果保留）．
17．如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为______．
三、解答题
18．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留）
19．求阴影部分的面积（单位：厘米）：
20．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图．
21．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．
(1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）．
(2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）．
22．如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取）
(1)这堆沙子的体积是多少立方米？
(2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？
23．如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积．
24．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积．
《29.3弧长和扇形面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A A B C B A A
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】重物上升的高度等于A点绕圆心转东180度的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意得，重物上升的高度= =10π（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式为 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了旋转的性质．
2．B
【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆的半径为．
故选：B
3．D
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．
4．A
【分析】根据三视图得出圆锥的高和底面圆的半径，再根据圆锥的体积公式计算即可．
【详解】观察三视图得：圆锥的底面半径为，高为，
即圆锥的体积为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图以及圆锥体积公式的知识，三视图得出圆锥的高和底面圆的半径，是解答本题的关键．
5．A
【分析】本题考查了正方形的性质、扇形面积计算，利用面积差求阴影部分的面积是解题的关键．
由正方形的性质可求得扇形的半径，由即可求出阴影部分面积．
【详解】解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】
解：圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．故选：．
【点睛】
本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
7．C
【分析】连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积=扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
【详解】解：连接，
∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题的关键．
8．B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，
∵，，则
∵，则
∴，，

故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．
9．A
【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
10．A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
11．B
【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，进一步求得旋转角为，由即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
，
绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，
，
，
，
即，
，
，即旋转角为，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：B．
13．
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的知识点是已知三视图求侧面积或表面积、圆柱和圆锥的侧面积计算，解题关键是熟练掌握圆柱和圆锥的侧面积计算公式．
根据题意得出需要用毛毡搭建的蒙古包面积为圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，再根据圆柱和圆锥的表面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据三视图可得该蒙古包由一个直径为，高为的圆柱和一个直径为，母线长为的圆锥组成，
则用毛毡搭建一个这样的蒙古包，
至少需要平方米的毛毡．
故答案为：．
15．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．
【详解】∵等腰直角三角形中，，
∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，
∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==，
故答案为：
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键．
16．
【分析】本题考查了“旋转体的表面积”“勾股定理”，掌握旋转体与旋转面之间的关系是解题关键．
利用勾股定理可以求出的长，直角三角形沿直角边旋转得到的旋转体是圆锥，根据对应线段的长度求全面积（即表面积）即可．
【详解】解：在中，由勾股定理，得，
旋转一周得到的几何体是圆锥，根据旋转过程，其中为圆锥的母线，为高，为底面圆半径，
∴底面圆的面积为，底面圆的周长为，
∴圆锥的侧面积为，
∴圆锥的全面积（表面积）为，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
的半径是3，
弧的长为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．．
【详解】解：如图，连接，
由图可知，是的直径．
∵，
∴，
∴，
∴
．
19．平方厘米
【分析】本题考查了不规则图形面积计算，熟练掌握三角形和圆面积计算公式是计算的关键，阴影部分的面积等于，将不规则转化为规则的面积求解．
【详解】解：如下图：
以为直径的半圆面积为：（平方厘米）；
的面积为：（平方厘米）；
（平方厘米），
故阴影部分的面积为：（平方厘米）
答：阴影部分的面积为平方厘米．
20．详见解析．
【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，
又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，
如图所示：
．
【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理．
21．(1)
(2)如图（答案不唯一）．
【分析】（1）如图所示，． ，据此即可求解；
（2）借助轴对称、平移或旋转即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，阴影部分的面积为
，
故答案为：．
（2）所设计的方案如图所示：
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了计算组合图形的面积，运用平移、轴对称和旋转设计图案，解决本题的关键是弄清图中的扇形的半径与圆心，把不规则的图形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差来求解．
22．(1)这堆沙子的体积是立方米
(2)可以铺米的小路
【分析】本题考查有理数的乘除运算，圆锥的体积公式，长方形的体积公式，掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据圆锥的底面周长公式，求出底面半径，再根据圆锥的体积计算公式，求出这堆沙的体积，即可解答．
（2）根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度．
【详解】（1）解：（米）
（立方米）
答：这堆沙子的体积是188．4立方米．
（2）2厘米米
（米）
答：可以铺1884米的小路．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，证明得到，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积
．
【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定定理是解答的关键．
24．
【分析】根据垂径定理以及等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，再由截面上有水部分的面积为，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴截面上有水部分的面积为
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，求扇形面积，熟练掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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