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30.1直线与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．如图，是的内切圆，分别切于点D，E，F．若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（　　）
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
4．如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
6．如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法错误的是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与有两个交点
C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
10．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
11．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
12．若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
二、填空题
13．如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______．
14．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________．
15．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是_____________
16．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为______．

17．如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 _____．
三、解答题
18．如图，在四边形中，，且．该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径．
19．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.

20．如图，为正的外接圆．
（1）尺规作图：作的角平分线于点D；
（2）过点D作的切线，交的延长线于点M．
①求证：；
②连接，若，求的半径．
21．在上任取一点A，过点A用三角尺画出的一条切线．
22．如图，是⊙O的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交⊙O于点D，连接，．
(1)求证：直线是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
23．苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E， F运动时间为t秒．
(1)【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且，连接BE、CF交于点M，求证：．请你先帮小明加以证明．
(2)如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 cm．
(3)如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆O上；
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
24．在中，，，，以O为圆心，4为半径的与直线的位置关系如何？请说明理由
《30.1直线与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D D D A A B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】连接OC、OD，作于点E．易求出，．再由切线的性质，即可求出，即三角形OCD为等边三角形．得出结论，．从而即可求出，即三角形OED为等腰直角三角形，由此即可求出的长，最后根据垂径定理即可求出AD的长．
【详解】如图，连接OC、OD，作于点E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
由题意可知，即，
∴，
∵OD=OC，
∴三角形OCD为等边三角形．
∴，．
∴，
∴三角形OED为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
2．C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆的性质,再结合三角形周长求出AE的长度.
根据是的内切圆，得到切线长相等，再根据三角形的周长，以及BC的长度，求出AE的长度.
【详解】是的内切圆，
，
．
的周长为，
，
，
的长为
故选：C.
3．A
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可．
【详解】解：∵直线l与⊙O的位置关系是相交，
∴d＜r，
∵r=5，
∴d＜5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的位置关系的判定是解答此题的关键．
4．A
【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是，
故选：A．
5．D
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．
设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解．
【详解】解：∵设点O到直线l的距离为，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴直线与的位置关系是相交或相切．
故选：D
6．D
【分析】本题考查切线长定理，熟记圆的切线长定理是解决问题的关键．
根据题意，由切线长定理得到，数形结合表示出的周长，等量代换转化为求解即可得到答案．
【详解】解：均为的切线，分别为切点，
由切线长定理可知，
的周长
（），
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．连接，，求出，证明是等边三角形，求出，得到，进而求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，．
∵为的直径，与相切于点C ，，
∴，，，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离．
直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径．
【详解】解：∵直径为，
∴半径
∵与直线有个公共点，
∴直线与相交，
∴圆心到直线的距离小于，
∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
9．A
【分析】根据正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义逐项判断即可．
【详解】A、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，说法错误，该选项符合题意；
B、圆心到直线的距离为，小于的半径长度，所以直线和相交，有两个交点，说法正确，该选项不符合题意；
C、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，若外心在三角形的外部，则三角形内必有一角所对应的外接圆上的弧为优弧，则该角为钝角，该三角形为钝角三角形，说法正确，该选项不符合题意；
D、三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离都等于三角形内切圆的半径，说法正确，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义，牢记正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义是解题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径．
根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可．
【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接，
因为圆与相切于点，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以．
故选：B．
11．C
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】∵，
∴，，
∵的半径为一元二次方程的根，
∴，
∵，
∴直线l与的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12．C
【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切 ，③直线和相离 ．
【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径，
直线与的位置关系是相切，
故选：．
13．
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由中得到要使取得最小值，即需取最小值，连接，交于点即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
要使取得最小值，即需取最小值，
连接，交于点，此时取得最小值，
过点作轴于点，
则，
，
，
，
，
故答案为：．
14．相离
【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．
15．或
【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．
【详解】解：作于，如图所示：
∵，，
∴，
∵的面积，
∴，
即圆心到的距离，
∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；
∵，
∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或．
故答案为：或．
16．/31度
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，

∵与相切于点，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
17．4
【分析】本题考查了切线的性质，运用圆的切线垂直于过切点的半径和勾股定理是解题关键，先由切线的性质得，再由勾股定理求得圆的半径，进而求出长．
【详解】解：如图，连接，
∵切于A点，
∴，
，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
18．存在内切圆，内切圆的半径为
【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 , ,所以 平方 和 ，加上 平方 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则可判断四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为,接着证明为等腰直角三角形得到,设，则，，然后证明 ,利用相似比可计算出．
【详解】存在．
连接，作的平分线，交于点O，作 于 ,如图所示，
在 和 中，
,
,
,
平方 和 ，
平方 ,
点到四边形的各边的距离相等，
四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为 ,
,
,
为等腰直角三角形，
,
设，则，，
平行,
,
即 ，
．
即四边形的内切圆的半径为．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心；与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
19．，或.
【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标．
【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d，
，即点的纵坐标y为；
当时，即，解得：，
点的坐标为或；
当时，即，解得：，
点的坐标为；
综上，符合题意点的坐标为，或．
20．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）按尺规作图作角平分线的方法进行即可；
（2）①利用等边三角形三线合一的性质及切线的性质即可证明；②设BD与AC交于点F，连接OA，设⊙O的半径为r，利用含30度角直角三角形的性质可得OF的长，从而可得BF的长，在中由余弦的三角函数可得AB的长，再在中，由余弦的三角函数建立方程即可求得半径r．
【详解】（1）作图如下
（2）①∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC
∴BD过圆心O
∵DE是⊙O的切线
∴BD⊥DE
∴AC∥DE
②设BD与AC交于点F，连接OA，如图
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r
∴∠OBA=∠OAB
∵BD平分∠ABC
∴∠OBA=∠OAB=30゜
∴∠OAF=60゜-30゜=30゜
∴OF=
∴
在中，
∴
在中，BD=2r，且
∴
解方程得：
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，关键是运用三角函数建立方程．
21．解：如图，直线即为所求.
【分析】把直角顶点与重合，直角边过圆心，可得另一条直角边为的切线.
【详解】略
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．
（1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是⊙O的切线；
（2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是⊙O的直径，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
为⊙O的半径，
直线是⊙O的切线；
（2）解：，由（1）得：，
，
，
，即，
．
23．(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明，根据同角的余角相等，即可证明，即；
（2）当t＝0时，点M与点B重合，当时，点随之停止，求得运动轨迹为圆，根据弧长公式进行计算即可；
（3）①根据（2）可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，继而判断点D、C、M、E在同一个圆（）上；②当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得，即可求得当时，与正方形的各边共有6个交点．
【详解】（1）四边形是正方形，
，
又的运动速度都是2cm/s，
即
（2）∵．
∴点M在以CB为直径的圆上，如图1，当t＝0时，点M与点B重合；
如图2，当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长．
故答案为：
（3）①如图3．由前面结论可知：
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，
则
在Rt△CDE中，，O是CE的中点．
∴，
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆（）上，
即点D在△CME的外接圆上；．
②．
如图4，当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．
如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H．
∵AB与相切，
∴，
又∵，
∴，
设的半径为R．由题意得：
在Rt△CHO中，，解得
∴
∴，即
∴如图5，当时，与正方形的各边共有6个交点．
【点睛】本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
24．与直线的位置关系是相切，理由见解析
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用等积法求得斜边上的高．
首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用等积法求得斜边上的高，然后与半径4比较即可确定答案．
【详解】
解：与直线的位置关系是相切，
理由：如图，作于点，
中，，，，
，
，
，
的半径为4，
与直线的位置关系是相切．
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