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30.2三角形的内切圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（ ）
A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧是等弧
C．三角形的内心是三条边中垂线的交点 D．直径是弦
3．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
4．如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（ ）
A．中心 B．内心 C．外心 D．重心
8．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．0， B．，
C．， D．，
11．下面命题是假命题的是（　　）
A．圆内接四边形的对角互补
B．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
C．长度相等的两条弧是等弧
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
12．如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（ ）
A．平分 B．点在射线上
C． D．的半径为1
二、填空题
13．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为______．
14．如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________．
15．如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为____________．
16．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________．
17．如图，在四边形中，．若，则的内切圆面积________（结果保留）．
三、解答题
18．（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长．
19．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线．
(1)求证：是的切线；
(2)若， 求的半径．
21．如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．
《30.2三角形的内切圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B C B C C C A
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】正三角形的内心和外心重合，根据等腰三角形的三线合一，则正三角形的外接圆半径和内切圆的半径可以放在30°的直角三角形中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得R=2r．
【详解】正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为R=2r．
故选D．
【点睛】熟记正三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍．
2．D
【分析】本题考查圆的基本概念，三角形的内心，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
C、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原说法错误，不符合题意；
D、直径是弦，原说法正确，符合题意；
故选D．
3．C
【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长到，使，连接，
是的内心，
，，
，，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∵，，
，
，
，即点为的中点，
，
是的中位线，
，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长．
【详解】解：如图，连接，，
点为的内心，
和分别平分和，
，，
将平移，使其顶点与点重合，
，，
，，
，，
，，
．
所以图中阴影部分的周长为．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H，
∵的周长为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴剪下的三角形的周长为，
故选：C．
6．B
【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案．
【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部；
重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部；
外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件；
垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件．
综上所述，满足条件的心共有种．
7．C
【分析】根据三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．即可判断．
【详解】解：由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∵AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
8．C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：C．
9．C
【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数．
【详解】解：过点I分别作，如图
∵点I是的内心，
∴，，
∵，，
∴，
即
∴，
∵点O是的外心，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题关键是理解三角形的内心的意义，三角形的外心的意义．
10．A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
11．C
【详解】对于选项A，圆内接四边形的对角互补是圆内接四边形的固有性质，是真命题；
对于选项B，三角形内心的定义就是三角形三条角平分线的交点，是真命题；
对于选项C，等弧的定义是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，仅长度相等
的两条弧不一定在同圆或等圆中，因此不一定是等弧，故该命题是假命题；
对于选项D，不在同一条直线上的三个点确定一个圆是确定圆的基本定理，是真命题．
12．D
【分析】本题考查直角三角形的内切圆，尺规作图作角平分线，连接，根据作图可知平分，为三角形的内切圆，根据内心是三角形三条角平分线的交点，证明四边形为正方形，圆周角定理求出的度数，切线长定理求出的半径，逐一进行判断即可．
【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确；
∵是的内切圆，
∴点为三角形三条角平分线的交点，
∴点在射线上，故选项B正确；
连接，则：，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，故选项C正确；
∵，，，
∴，
设的半径为，则：，
∴，
∴，
∴，故选项D错误；
故选D．
13．
【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，结合的周长等于，得出的半径，再证明是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的周长等于，
∴的半径，
∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点O作，
∴，
则，
∴正六边形的内切圆的半径为，
故答案为：．
14．21
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H，
则，，且，
∴，
∵，，且的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：21．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
中，为三个角平分线的交点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
据勾股定理可得，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
∴，，
∴，
∴，
∴．
17．
【分析】根据，得出为的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得，进而得出为等边三角形；利用，得出为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
【详解】解：如图，设与交于点F，的内心为O，连接．
∵，
∴是线段的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∵，
∴．
∵O为的内心，
∴．
∴．
∴的内切圆面积为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定、三角形内切圆、等边三角形判定与性质、解直角三角形，解题关键是根据垂直平分线的判定确定为等边三角形，根据解直角三角形求出内切圆半径．
18．（1）见解析
（2）2
【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理，
对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作；
对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）如图所示，
∵的内切圆与分别相切与点D，E，F，
∴．
∵，
∴，
∴．
则，
∴，
则，
即，
解得．
19．
即为所求作的圆，如图所示．
【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可．
【详解】略
20．(1)证明见解析
(2)的半径为
【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理．
（1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明；
（2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论．
【详解】（1）证明：连接交于点H，
∵点E是的内心，
∴平分，即，
∴
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵点E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
设，则，
在中，
，
解得，
∴的半径为．
21．．
【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD=，根据△ABC面积两种求法列等式得出即可．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，
设AD=x，CD=8-x, 其内切圆的半径为r，
根据勾股定理，即，
解方程得，
∴BD=，
∵圆是的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，
∴S△ABC=，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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