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5.4角平分线的性质
（第二课时）
直角三角形
第5章
“—”
（湘教版）八年级
上
学习目标
1.理解角的平分线的性质及逆定理，并能熟练运用；
2.能够利用角平分线的性质解决实际问题，通过逻辑推理和数学计算，解决与角平分线相关的数学问题；
3.掌握三角形的内心及图形语言.
复习导入
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上


新知探究
【说一说】
如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 BC， AB，AC 边上的点.若 BE = CF，S△BDE = S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
由于S△BDE = S△CDF，BE = CF，所以点D到BE， CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上。
新知探究
【思考】
如图，已知EF⊥CD于点 E，EF⊥AB于点 F，MN⊥AC于点 N，M是EF的中点.需要添加 一个什么条件，就可使 CM，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB的平分线呢？
新知探究
添加条件MN = ME即可.
因为ME ⊥ CD，MN ⊥ AC，MN = ME，
所以点M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
又M是EF的中点，
则MF = ME = MN.
同理可证AM是∠CAB的平分线.
添加条件 MN = MF 可以吗？
新知探究
例2 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE ⊥ DB，PF ⊥ AC，垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
因为AP是∠CAD的平分线，
又PE ⊥ DB，PF ⊥ AC，
所以PE = PF.
在△EBP中，BE + PE > PB，
因此BE + PF > PB
新知探究
【做一做】
如图，在△ABC 内部找一点 P，使其到三边的距离相等.
新知探究
如图，分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它 们交于点 P. 过点P作 PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F.
因为 AP 是 ∠BAC 的平分线，PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，
所以PD = PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD ⊥ AB，PF ⊥ BC，
所以PD = PF.
故PD = PE = PF，
因此P为所求作的点
新知探究
三角形的内心：三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（这个点也是这个三角形内切圆的圆心）。三角形内心到三角形三条边的距离相等。
课堂练习
1. 如图，E是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥ OB 于点D， 求证：
（1） ∠ECD = ∠EDC；
（2） OC = OD.
课堂练习
证明：（1）∵E为∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥ OA 于点 C，ED ⊥ OB 于点 D
∴EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴∠ECD = ∠EDC（等边对等角）
(2)在Rt△COE和Rt△DOE中，
∴Rt△COERt△DOE（HL）
∴OC=OD
课堂练习
2. 如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB = AD + BE.
课堂练习
解：如图，过点C作CF⊥AB于点F
∵AC平分∠BAD，AD ⊥ DE，BE ⊥ DE，
∴CD=CF，∠CAD=∠CAF.
∴△CAD△CAF ∴AD=AF
同理可得：△CBE△CBF ∴BE=BF
又∵AB=AF+BF
∴AB=AD+BE
课堂总结
1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的内心：三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（这个点也是这个三角形内切圆的圆心）。三角形内心到三角形三条边的距离相等。
作业布置
1.必做题：教科书P181 习题5.4--学而时习之2-3
2.选做题：教科书P182 习题5.4--温故而知新6
谢谢观看
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