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2025-2026学年天津市武清区英华国际学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 或
3.函数的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.下列说法中错误的有( )
数据，，，，，，的分位数是；
根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于；
回归分析时，可用决定系数刻画模型的拟合效果，越大，则拟合效果越好；
若随机变量服从正态分布，若，则实数．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则( )
A. B.
C. D.
8.小白和小高进行乒乓球比赛，先得分的人为胜方，但打到平以后，先多得分者为胜方在：平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方：平后，小白先发球，则双方战至：的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若二项式展开式中的常数项为，则 ______．
11.计算 ．
12.某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课现安排一个课程表，要求两节数学课相邻上午最后一节和下午第一节算不相邻，体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有 种用数字作答
13.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
14.已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同甲盒中有张红色卡片和张白色卡片，乙盒中有张红色卡片和张白色卡片若从甲盒中取出张卡片，且张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 ．
15.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
求和的值；
求满足的的取值范围．
17.本小题分
近日，年江苏省城市足球联赛被球迷称为“苏超”火爆全网，话题不断常州市随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性
女性
合计
对照列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？
现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立求在有且只有人顺利完成的条件下，这人的性别不同的概率．
附：．
18.本小题分
盒中共有个球，其中有个红球，个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同．
从盒中一次随机取出个球，求取出的个球颜色相同的概率；
从盒中一次随机取出个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，，，随机变量表示，，中的最大数，求的概率分布和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：．
20.本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ讨论的单调性；
Ⅲ设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】或，
或
17.【答案】认为关注“苏超”赛事与性别有关
18.【答案】解一次取个球共有种可能，个球颜色相同共有种可能情况，
取出的个球颜色相同的概率；
的所有可能值为，，，则，，
于是，
故的概率分布列为：


故数学期望．
19.【答案】解：，
，
，又，
所求切线方程为；
证明：设，则定义域为，
，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；
当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
即．
20.【答案】 当时，在上单调递增；当时，有两根记为，，
在和上单调递增，在上单调递减 由知，，
因为函数在上有两个不同的零点，，
所以，即，，即，
两式相除得，令，
，所以，代入式得，
，
令，，则，
令，则，
因为，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
从而，成立
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