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2025-2026学年四川省成都市天府新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（　　）
A. （a2）3=a5 B. a-4÷a-6=a-2 C. a2+a6=a8 D. a2 a3=a5
2.2025年我国自主研发的“超薄钢”厚度仅为0.000015米，彰显中国制造实力，该数据用科学记数法表示为（　　）
A. 1.5×10-6 B. 1.5×10-5 C. 15×10-6 D. 0.15×10-4
3.下列事件中，为必然事件的是（　　）
A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 任意买一张电影票，座位号是偶数
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 13个人中至少有2人的出生月份相同
4.如图，AC=DF，∠ACB=∠DFE，如果根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　）
A. AB=DE
B. BF=CE
C. ∠B=∠E
D. ∠A=∠D
5.下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A. 5cm,5cm,10cm B. 8cm,7cm,16cm C. 8cm,15cm,17cm D. 9cm,10cm,19cm
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BE是△ABC的角平分线，CD是△ABC的高，BE，CD相交于点F，则∠CFE的度数是（　　）
A. 40°
B. 45°
C. 55°
D. 60°
7.下列说法正确的是（　　）
A. 相等的角是对顶角
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
8.小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是（　　）
A. 小明家到体育馆的距离为2km B. 小明家到书店的距离为1km
C. 小明在体育馆锻炼的时间为45min D. 小明从书店到家步行的时间为40min
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.计算：（3xy+y）÷y=______．
10.如图，已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为 度.
11.若2m+n=6，4m2-n2=24，则2m-n= .
12.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为30cm,AB=20cm,则△ABC的周长为 .
13.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=21°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②保持半径不变，以点B为圆心作弧，分别交边BC，BA于点G，F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交弧GF于点H；④连接BH并延长交AC于点M，则∠CBM的度数为 .
14.若5x=6，则251-x= .
15.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 .
16.当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“特征角”.如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为42°，那么这个“特征角”α的度数为 .
17.一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”.例如930是一个“完全数”.根据定义回答：最小的“完全数”是 ，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为 .
18.如图，等边△ABC中，AB=8，点D为AC边上一动点，连接BD，点M，N在BD上，连接CM，AN，∠AND=60°，∠BCM=∠ABD.设AD=m（m＜4），则= .（用含m的代数式表示）
三、计算题：本大题共3小题，共30分。
19.（1）计算：；
（2）先化简，再求值：[（x+2y）2-4（-x+y）（x+y）+xy]÷（-5x），其中（x-6）2+|y+5|=0.
20.某小区停车场为业主提供车辆包月停车服务，物业统计发现，在合理定价区间内，办理停车业务的住户数量会随着价格的上调而减少，统计数据如下：
包月收费x/元 200 250 300 350 400
包月办理户数y/户 400 350 300 250 200
（1）根据表格中的数据，请直接写出办理户数y与包月收费x之间的关系式.（不要求写出自变量的范围）
（2）停车场每月安保、维护等固定支出为6万元，若包月办理户数为320户时，预估该停车场的月利润为多少钱？
21.天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评.一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶.两船之间的距离s（m）与时间t（min）的关系部分图象如图所示，当t=30时，电动艇到达白泽台码头.
（1）求电动艇的速度；
（2）若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象；
（3）若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速30%行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶.在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少？
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题.
（1）作△ABC关于直线m的轴对称图形△A1B1C1；
（2）连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积；
（3）在直线m上作一点P，使得PA=PC.
23.(本小题10分)
周末的天府公园里，天幕错落，市民露营野炊、休闲小聚，暂别城市喧嚣，尽享自在时光.如图1，在露营椅侧面结构示意图中，AB与CD均平行于地面，若∠AEM=∠GND=65°.
（1）EM和GN平行吗？请说明理由.
（2）如图2，点Q是线段GN上一点，连接FQ，CQ，若CQ平分∠FQN，∠C=17°，求∠BFQ的度数.
24.(本小题10分)
已知△ABC中，∠BAC=α，点D在BC上，连接AD.
（1）设α=120°，AD平分∠BAC，点E在射线AD上，连接BE.
①如图1，若AB=BE，试说明BE∥AC；
②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC；
（2）如图3，若α=90°，AB=AC，作点C关于射线AD的对称点C′，连接BC′并延长交射线AD于点F，连接CF，若CF=3，△ACF的面积为7，求BF的长.
25.(本小题8分)
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
【知识回顾】
（1）如图1，借助图形能解释的乘法公式是______；
【问题解决】
（2）如图2，点D是线段CG上的一点，分别以DG，CD为边向上下两个方向作正方形DEFG和正方形ABCD，已知CG=8，两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积.
26.(本小题12分)
已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在△ABC内，连接AD，BD，且∠ADB=90°，点E为直线AD上一点.
【初步感知】
（1）如图1，连接CE，BE，若AC=CE，∠CBD=25°，求∠ACE的度数；
【深入探究】
（2）过点C作直线AD的垂线，垂足为点F，连接BE，若AB=BE，请画出图形并探究线段BD，EF，CF之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图2，当点E在点A的左边时，连接BE，CE，过点D作DG⊥AC于点G.若AB=5，∠EBA=∠CBD，AG=2DG，求△EBC的面积.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】3x+1
10.【答案】55．
11.【答案】4
12.【答案】50cm
13.【答案】48°
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】42°或92°
17.【答案】104
216

18.【答案】
19.【答案】7
-x-y；-1
20.【答案】办理户数y与包月收费x之间的函数解析式为y=-x+600
预估该停车场的月利润为29600元
21.【答案】电动艇的速度为50m/min
皮划艇在整个过程中共用了60min，补充图形如图所示
min或42min
22.【答案】
18

23.【答案】EM∥GN，理由如下：
∵AB与CD均平行于地面，
∴AB∥CD，
∴∠AEM=∠EMD．
∵∠AEM=∠GND，
∴∠EMD=∠GND，
∴EM∥GN
31°
24.【答案】证明：①∵∠BAC=α=120°，AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×120°=60°，
∵AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠E=∠CAE，
∴BE∥AC；②如图2，在AE上取一点H，使AH=AB，
由①知，∠BAE=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴BH=AB，∠AHB=60°，
∴∠BHE=180°-∠AHB=180°-60°=120°，
∴∠BHE=∠BAC，
∵∠EBC=60°，
∴∠E+∠BDE=180°-∠EBC=120°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠E+∠ADC=120°，
∵∠CAD=60°，
∴∠C+∠ADC=180°-∠CAD=120°，
∴∠E=∠C，
∴△BHE≌△BAC（AAS），
∴HE=AC，
∴AE=AH+HE=AB+AC
BF的长为
25.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2
6.5
26.【答案】140°
情况1°：如图，此时BD=2CF-EF，
证明：由（1）知∠ABD=∠CAF，
在△ABD与△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴BD=AF，AD=CF，
∵AB=BE，
由三线合一知AD=DE，
∴AF=AD+DF=AD+DE-EF=2AD-EF，
∴BD=2CF-EF；情况2°：如图，此时BD=2CF+EF，
同理可证△ADB≌△CFA，
∴BD=AF=AE+EF=2AD+EF，
又∵AD=CF，
∴BD=2CF+EF；综上：BD=2CF+EF或BD=2CF-EF
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