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2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量与向量的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
2.现有一组数据：，，，，，，，若在这组数据中删去一个，则发生变化的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差
3.在中，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知中，角，，的对边分别为，，，，，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.我国古代举世闻名的数学专著九章算术将底面为矩形的棱台称为“刍童”已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：你的学号尾数是奇数吗？你是否需要心理疏导？某校高三全体学生人参加了该项问卷调查被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现点或点时，回答问题，否则回答问题由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应问卷调查结束后，发现该校高三学生中有人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体中，棱长为，点为线段上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立
C. D.
10.已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是( )
A. 为函数的一个零点 B. 函数的图象关于对称
C. 方程在上有三个解 D. 函数在上单调递增
11.在中，，为边上一动点，则( )
A.
B. 当为角的角平分线时
C. 当为边中点时，
D. 若点为内任一点，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数在复平面对应点为，则复数的虚部为 ．
13.如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是 ．
14.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有，两点，，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直已知，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足：
相邻两条对称轴的距离为；在处取得最大值．
求的解析式及其单调递增区间；
若，求满足的的值．
16.本小题分
在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点．
点，，，是否共面？请说明理由；
证明：平面．
17.本小题分
如图，已知满足，，、、、是线段上的等分点，且满足．
当时，求的值；
当时，若为线段上的动点，求的最小值．
18.本小题分
为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差．
19.本小题分
已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，．
求证：；
求的取值范围；
若，求三角形面积的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】，函数的单调递增区间为，
16.【答案】点，，，共面，理由如下：
连接，，，，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，
则，，，四点共面
连接，，
因为底面为正方形，
所以，
因为平面，平面，则，
，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因，所以
因为底面为正方形，所以，
易得，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，所以，
因为，，平面，
所以平面
17.【答案】

18.【答案】；成绩的分位数估计为； ； 平均数为；方差为．
19.【答案】证明：因为，，可得，
由正弦定理可得，即，
即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
在中，，
整理可得：，
因为为锐角三角形，故，，
所以，
又函数在上单调递增，
故C，即
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