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2026年阿根廷国家队选拔考试试题
第1题
一个2×2×2的立方体的每个面都被分成4个正方形小格（因此整个立方体表面共有24个小格）。称
一个由8个小格组成的序列为一个环，如果立方体的每个面上恰有0个或2个小格属于该序列，并且
这8个小格中每一个都与前一个小格有公共边、与后一个小格也有公共边，从而在立方体表面形成一
个闭合回路。
Ana和Beto轮流在立方体表面尚未使用的小格中写入一个从1到24的整数，且所有写入的整数互.
不相同。Aa先手。待24个数全部写完后，计算每一个环中8个数的和（共有6个环）。若这6个
和全部相等，则Beto获胜：否则Ana获胜。试判断谁有必胜策略，并给出说明。
第2题
设n≥3为正整数，且x1,x2,,xn为实数，满足
0≤x≤2(i=1,2,.,n),
这些数不必互不相同，并且
r1+2+…+xn=5.
证明：
好+号+…+品≤9，
并求出等号成立时所有可能的21，z2,·,xn
的取值情形。
第3题
设a,b为整数，考虑多项式
f(x)=x2+ax+b.
己知对于每一个正素数p,都存在整数n,使得f()与f(n+1)均能被p整除。证明：存在整数m,
使得
f(m)=f(m+1)=0.
第4题
设n>4为整数。设S是由n个互不相同的整数组成的集合，且满足如下性质：
若计算所有满足x卡y且x,∈S的和x+,则恰好得到2n一3个不同的值。
证明：将集合S中的元素按从小到大的顺序排列后，它们构成一个等差数列。
注：等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数的数列。例如，(3,6,9,12)是
一个含4项的等差数列。
第5题
设ABC为锐角三角形，点S在边AB上。令P为经过A,S,C三点的圆的圆心，令Q为经过B,S,C
三点的圆的圆心。求点S在边AB上的位置，使得三角形PQS的面积最小。
第6题
将1000个数2与2000个数-1以某种顺序排列在一个圆周上。Bruno统计所有由两个或两个以上连
续数构成、且其和等于0的数组的个数。
1.求Bruno可能得到的最小值：
2.求Bruno可能得到的最大值
注：圆周上的每一个数可以属于一个或多个这样的数组，也可以不属于任何这样的数组。
2026年阿根廷国家队选拔考试试题
第1题
一个2×2×2的立方体的每个面都被分成4个正方形小格（因此整个立方体表面共有24个小格）。称
一个由8个小格组成的序列为一个环，如果立方体的每个面上恰有0个或2个小格属于该序列，并且
这8个小格中每一个都与前一个小格有公共边、与后一个小格也有公共边，从而在立方体表面形成一
个闭合回路。
Ana和Beto轮流在立方体表面尚未使用的小格中写入一个从1到24的整数，且所有写入的整数互
不相同。Aa先手。待24个数全部写完后，计算每一个环中8个数的和（共有6个环）。若这6个
和全部相等，则Beto获胜：否则Ana获胜。试判断谁有必胜策略，并给出说明。
解答
Beto有必胜策略。
把立方体放在坐标系中，中心为原点，边平行于坐标轴。每个表面小格的中心有一个坐标是土1，另外
两个坐标是±。
按题目所说的6个环来理解，它们正是下面这6条“腰带”：
X+,X-,Y+,Y-,Z+,Z-,
其中例如X+表示所有中心的x-坐标为+号的表面小格。类似地定义其余五个环。每个这样的环有8
个小格。
关键观察：每个小格恰好属于两个环。
例如一个小格中心为
(6)
则它属于X+和Y,但不属于Z+或Z-,因为它本身在z=1的面上。
现在把24个小格两两配对。配对规则如下：
如果两个小格属于完全相同的两个环，就把它们配成一对。
例如同时属于X+和Y的小格有两个，它们分别在之=1和之=一1两个相对的面上。把这两个小
格配成一对。
这样的配对一共有
3.2.2=12
对，正好覆盖全部24个小格。更重要的是：
每个环都恰好由4个完整的小格对组成。
例如
X

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