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2026年第67届国际数学奥林匹克
第二天
第4题
单于和木兰正在玩一个游戏。设0是一个满足0°<0<180°的角，且两名玩家都知道这个角。一开始，单于用他自己选择的尺寸
制作一个纸三角形T。然后，他们反复执行以下步骤：
·如果T中至少有一个角的大小怡好等于0，那么游戏停止，木兰获胜。
·否则，木兰在T的边界上选择一个不同于三个顶点的点P。然后她从P向T的对顶点作一条直线切割，将T分成两个三角
形。
·单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形成为新的T。
对于哪些实数值0，无论单于如何操作，木兰都能在有限步内保证自己获胜？
第5题
设R0表示正实数集合。求所有函数f:R0→R0,使得对任意x,y∈R0,都有
√≥@学≥Vf阿
成立。
第6题
设a1,a2,a3,..是一个各项均为大于1的正整数的无穷数列。假设对所有正整数n,数an+1是满足an+1>am且对所有i
1,2,,n都有gcd(an+1,a)>1的最小正整数。证明：存在正整数T和L,使得对所有正整数n都有
an+T an +L
(注：gcd(z,)表示正整数x与y的最大公约数。)
题目1（第4题）.设0°<0<180°。单于先任意制作一个非退化纸三角形T。随后反复
进行：
·若当前三角形至少有一个角等于日，游戏结束，木兰获胜；
·否则，木兰在边界上选择一个非顶点的点P,从P向其对面顶点作直线切割，把
三角形分成两个三角形：
·单于丢弃其中一个，留下的三角形成为新的T。
求所有使木兰无论单于如何选择都能在有限步内必胜的实数日。
解答。答案：0=180，其中n=23,4。
必要性证明（若0≠180°/n,则单于可阻止胜利）。
设180°/0生Z。称一个角为“0-整倍角”若其度数等于k0(k∈Z>0)。我们证明单
于能永远避免出现0。
引理1：存在一个三角形，其三个内角都不是0整倍角。
证明：取0E排除有限个值（因为每个方程e=0等至多允许有限个k),而区间(0,60）有无限
多个数，故可取到这样的e。于是e,2e,180°-3e构成一个三角形的三个内角，且均非
0-整倍角。口
引理2：若当前三角形三个角均非0-整倍角，且180°本身也非0-整倍角，则无论
木兰如何合法切割，两个子三角形中至少有一个仍满足三个角均非日整倍角。
证明：设原三角形为ABC,木兰从顶点A向边BC上的内点P切割。记∠A=心，∠B=
B,∠C=Y,并设∠BAP=x(0△ABP:3,x,180°-B-x,
△ACP:Y,a-x,B+x.
若两个子三角形都含有日-整倍角，则必然有x和α一x中至少一个在第一个子三角形
出现，且另一个在第二个中出现（或与B十x组合）。逐一检查四种可能组合，均会推
出3，Y,或180°是6-整倍角，矛盾。因此至少一个子三角形不含任何0-整倍角。口
由于180°/0年Z,引理1给单于提供初始三角形，之后每轮按引理2选择保留的
那个不含0整倍角的子三角形。于是永远不会出现角0，故木兰无法在有限步内获胜。
必要性得证。
充分性证明（若180°=n0,n≥2，则木兰必胜）。
引理3：若当前三角形含有一个角为m8(m∈Z>0),则木兰可在有限步内获胜。
证明：若m=1,已经获胜。若≥2，从该角顶点作射线将其分为0和(m-1)9。切
后两子三角形分别含有日和(m-1)日。若单于留下前者，立即结束；若留下后者，则m

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