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2026年哥伦比亚数学奥林匹克
第一天
题1.11名学生参加一场锦标赛.锦标赛包含从22个可选项目中选出的11个比赛项目.这11个选定
的项目仅在比赛当天才会公布，且每名学生必须恰好参加其中一个项目
要赢得比赛，学生们必须赢下全部11个选定的项目.为确保能赢得锦标赛，学生们决定提前准
备.已知每名学生花1小时准备就能精通一个项目，从而保证在该项目中获胜.每名学生各自准
备，但他们会提前商定好每个人练习哪些项目，
求无论比赛当天需要参加哪些项目，都能保证赢得锦标赛所需的最少，总准备时长.
题2.设ABC是锐角三角形，满足ABDB=DC,E是三角形ABM的外接圆与直线BD的交点（异于B)·设P、Q分别是直线BC与
直线EM、AE的交点.证明P是线段BQ的中点，
题3.设a≥2为正整数.对于正整数m,定义c(m)为整除m的最大平方数.称序列ao,a1,.,为哥
伦比亚序列，若它满足a=a,且对任意n≥0，有
若√an为整数，
an+1=
lan+c(an)否则.
求所有属于每一个哥伦比亚序列的整数.
第二天
题4.设a和是两个正实数，且b≠1.费利佩执行如下操作：
第一步，他在一张纸上写下数字α.之后每一步，他都将上一步写下的数字乘以b,再写在纸上，
当纸上出现大于100的数，或者出现非整数时，费利佩停止书写.求这张纸上最多能写下多少个
数字？
题5.求所有实数x1,工2，·，c100,使得
00
年1十℃2
甲第2十3
=Eg8十元g9
=Eg9十℃100
20w
=E100十E1
题6.设为正整数.初始时，一个n×n棋盘的所有格子均为白色.每一步操作允许将棋盘上的一
个格子涂成黑色，前提是操作完成后，每一个白色格子都至少与另外两个白色格子有公共边.求
最多可以将多少个格子涂成黑色.
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2026哥伦比亚数学奥林匹克试题解答
题1
11名学生参加一场锦标赛。锦标赛包含从22个可选项目中选出的11个比赛项目。这11个选定的项
目仅在比赛当天才会公布，且每名学生必须恰好参加其中一个项目。要赢得比赛，学生们必须赢下全
部11个选定的项目。为确保能赢得锦标赛，学生们决定提前准备。己知每名学生花1小时准备就能
精通一个项目，从而保证在该项目中获胜。每名学生各自准备，但他们会提前商定好每个人练习哪些
项目。
求无论比赛当天需要参加哪些项目，都能保证赢得锦标赛所需的最少总准备时长。
解答
下界：至少需要132小时
固定任意一名学生。因为比赛当天公布的11个项目可能是任意11个项目，所以这名学生必须保证：
无论公布哪11个项目，他至少会其中一个。
如果某名学生只准备了至多11个项目，那么在22个项目中，他没有准备的项目至少有
22-11=11
个。比赛当天完全可能正好公布这11个他没准备的项目。这样他必须参加其中一个项目，但他一个都
不会，无法保证全胜。
所以每名学生至少要准备12个项目。共有11名学生，因此总准备时间至少为
11·12=132
小时。
构造：132小时可以做到
把22个项目编号为
1,2,,22
把11名学生编号为
S1,S2,,S11
安排如下：
·学生S:准备项目i,其中1≤i≤11：
·所有学生都准备项目12,13，.，22。
也就是说，每名学生准备：
1个专属项目+11个公共项目=12个项目

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