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1.1生活中的立体图形（2）-北师大版数学七上同步分层训练
一、基础训练
1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一周可得到一个圆柱；
B、旋转一周可得到一个圆台；
C、旋转一周可得到一个鼓，即所给立体图形；
D、旋转一周可得到一个圆球；
故答案为： C.
【分析】点动成线、线动成面、面动成体.
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．宋代诗人邵雍在《春雨吟》中写道“春雨细如丝，如丝霡霂时”，这里把雨滴看成了点，通过“如”字将春雨比作丝线，用数学知识解释这一现象为（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交得到线
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：∵雨滴可视为点，春雨被比喻为丝线，即线，∴点移动形成线，对应“点动成线”的几何原理．
故答案为：A．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”并结合题干中的信息分析求解即可.
4．《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为　 　．
【答案】点动成线
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线，
故答案为：点动成线
【分析】根据点动成线即可求出答案.
5．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是　 　．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：这个过程体现的数学原理是线动成面．
故答案为：线动成面．
【分析】根据线动成面解答即可．
6．如图，第一行的平面图形绕虚线旋转一周能得到第二行的一个几何体，请用线连起来.
【答案】解：如图
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【分析】由旋转的定义可以知道：半球绕对称轴旋转一周是球；第二个图形绕对称轴旋转一周是圆锥和圆柱的组合体；长方形绕对称轴旋转一周是圆柱；第四个图形绕对称轴旋转一周是圆台；三角形绕对称轴旋转一周是圆锥.
二、同步提升
7．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A.
【分析】根据将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，据此得到答案.
8．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面面相交成线
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：笔尖是一个点，在移动过程中形成笔画，即从点变为线，这一现象符合点动成线的原理，
故答案为：A．
【分析】本题结合条件可知，笔尖可看作一个点，因此在纸上移动形成笔画就是线，因此这符合点动成线的数学原理．
9．老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：
特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；
特征②：它一共有9条棱．
则盒子里面放的几何体是（　　）
A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥
【答案】C
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：A．长方体有6个面、12条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
B．三棱锥有4个面、6条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
C．三棱柱有三个侧面，都是长方形，上、下底面都是三角形，有三条侧棱，上、下底各有三条棱，共有9条棱，符合题意；
D．五棱锥有6个面、10条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题先分析各选项中立方体的特征，只有同时满足特征①和特征②的立方体只有C选项。
10．如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是
，
故答案为：A
【分析】
本题考查 “面动成体” 的几何概念，即一个平面图形绕着一条直线（轴）旋转一周所形成的立体图形的形状判断。对于给定的平面图形，绕虚线（轴）旋转一周：图形中间部分向轴凹陷，上下部分相对突出，旋转后形成的几何体是中间细、两头粗，类似腰鼓的形状，根据平面图形的轮廓，想象其绕轴旋转一周后所得到立体图形的形状，并与给定实物形状进行匹配，即可得出答案.
11．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　 　．
【答案】10
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：依题意有 n（n+1）+1=56，
解得n1=﹣11（不合题意舍去），n2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10．
【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n= n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．
12．唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号）　 　．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线）
【答案】①
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：诗句“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”中，雨滴可视为点，下落时由于运动轨迹形成雨丝，即线状，这对应几何变换中的点动成线原理．
故答案为：①．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，判断即可.
13．如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用　 　的数学原理来解释.
【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】由平面图形变成立体图形的过程是面动成体
故答案为：面动成体.
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可.
14．如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是　 　，这给我们“　 　”的形象．
【答案】圆柱；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象；
故答案为：圆柱，面动成体．
【分析】根据“面动成体”解答即可.
三、能力应用
15．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　.
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 11.1生活中的立体图形（2）-北师大版数学七上同步分层训练
一、基础训练
1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
3．宋代诗人邵雍在《春雨吟》中写道“春雨细如丝，如丝霡霂时”，这里把雨滴看成了点，通过“如”字将春雨比作丝线，用数学知识解释这一现象为（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交得到线
4．《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为　 　．
5．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是　 　．
6．如图，第一行的平面图形绕虚线旋转一周能得到第二行的一个几何体，请用线连起来.
二、同步提升
7．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
8．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面面相交成线
9．老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：
特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；
特征②：它一共有9条棱．
则盒子里面放的几何体是（　　）
A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥
10．如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　 　．
12．唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号）　 　．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线）
13．如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用　 　的数学原理来解释.
14．如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是　 　，这给我们“　 　”的形象．
三、能力应用
15．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　.
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一周可得到一个圆柱；
B、旋转一周可得到一个圆台；
C、旋转一周可得到一个鼓，即所给立体图形；
D、旋转一周可得到一个圆球；
故答案为： C.
【分析】点动成线、线动成面、面动成体.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：∵雨滴可视为点，春雨被比喻为丝线，即线，∴点移动形成线，对应“点动成线”的几何原理．
故答案为：A．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”并结合题干中的信息分析求解即可.
4．【答案】点动成线
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线，
故答案为：点动成线
【分析】根据点动成线即可求出答案.
5．【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：这个过程体现的数学原理是线动成面．
故答案为：线动成面．
【分析】根据线动成面解答即可．
6．【答案】解：如图
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【分析】由旋转的定义可以知道：半球绕对称轴旋转一周是球；第二个图形绕对称轴旋转一周是圆锥和圆柱的组合体；长方形绕对称轴旋转一周是圆柱；第四个图形绕对称轴旋转一周是圆台；三角形绕对称轴旋转一周是圆锥.
7．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A.
【分析】根据将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，据此得到答案.
8．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：笔尖是一个点，在移动过程中形成笔画，即从点变为线，这一现象符合点动成线的原理，
故答案为：A．
【分析】本题结合条件可知，笔尖可看作一个点，因此在纸上移动形成笔画就是线，因此这符合点动成线的数学原理．
9．【答案】C
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：A．长方体有6个面、12条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
B．三棱锥有4个面、6条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
C．三棱柱有三个侧面，都是长方形，上、下底面都是三角形，有三条侧棱，上、下底各有三条棱，共有9条棱，符合题意；
D．五棱锥有6个面、10条棱，均不满足特征①和特征②，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题先分析各选项中立方体的特征，只有同时满足特征①和特征②的立方体只有C选项。
10．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是
，
故答案为：A
【分析】
本题考查 “面动成体” 的几何概念，即一个平面图形绕着一条直线（轴）旋转一周所形成的立体图形的形状判断。对于给定的平面图形，绕虚线（轴）旋转一周：图形中间部分向轴凹陷，上下部分相对突出，旋转后形成的几何体是中间细、两头粗，类似腰鼓的形状，根据平面图形的轮廓，想象其绕轴旋转一周后所得到立体图形的形状，并与给定实物形状进行匹配，即可得出答案.
11．【答案】10
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：依题意有 n（n+1）+1=56，
解得n1=﹣11（不合题意舍去），n2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10．
【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n= n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．
12．【答案】①
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：诗句“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”中，雨滴可视为点，下落时由于运动轨迹形成雨丝，即线状，这对应几何变换中的点动成线原理．
故答案为：①．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，判断即可.
13．【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】由平面图形变成立体图形的过程是面动成体
故答案为：面动成体.
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可.
14．【答案】圆柱；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象；
故答案为：圆柱，面动成体．
【分析】根据“面动成体”解答即可.
15．【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
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