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数系的扩充与复数的概念-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．若复数满足,则的虚部为( )
A.1 B. C. D.
2．已知复数z是方程的根,则z可以是( )
A. B. C. D.
3．复数，则z的虚部为( )
A. B. C.2 D.-2
4．已知复数的共轭复数为,则下列各式的运算结果是纯虚数的是( )
A. B. C. D.
5．已知复数，则z的虚部为( )
A.i B.1 C. D.
6．在复平面内,若,则z的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．复数的虚部是( )
A. B. C. D.
8．已知复数z满足,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若复数（），则( )
A.当z为实数时，
B.当z为纯虚数时，
C.当z的实部与虚部相等时，
D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限
10．已知复数，则下列说法正确的有( )
A.z的虚部为 B. C. D.
11．已知复数,z的共轭复数为,复数z在复平面中对应的点为M,则下列说法正确的是( )
A.M在第一象限 B. C. D.
三、填空题
12．i是虚数单位，则的值为________.
13．已知复数，i为虚数单位，则________.
14．若复数z满足,则z的虚部为______.
15．已知,z的共轭复数为,则__________.
四、解答题
16．已知复数在复平面内对应的点位于第一象限,且满足
（1）求a;
（2）若z是关于x的方程的一个复数根,求pq的值.
17．(1)设，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件：的点Z的集合的图形面积；
(2)已知复数， ，且，求λ的范围.
18．设复数，（其中a，）.
(1)若，求的值；
(2)若是关于x的方程的一个根，求实数m的值.
19．已知复数z的共轭复数为，z在复平面上对应的点在第一象限，且满足，
(1)求复数z；
(2)求复数的模长.
20．已知i是虚数单位,复数.
（1）若复数满足,求;
（2）若关于x的实系数一元二次方程有一个根是z,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,,
所以复数的虚部为.
故选:C.
2．答案：C
解析：解得或,
结合选项,z可以是.
3．答案：D
解析：由可得：，故z的虚部为-2.
故选D.
4．答案：C
解析：复数的共轭复数为,
对于A,是实数,A不是;
对于B,是实数,B不是;
对于C,是纯虚数,C是;
对于D,,D不是.
5．答案：B
解析：复数，则虚部为1.
6．答案：C
解析：因复数的共轭复数为,
其对应的点的坐标为,在第三象限.
7．答案：C
解析：.
所以的虚部为1.
8．答案：D
解析：由可得,
可得.
故选:D.
9．答案：ABD
解析：对于A，复数是实数，则，A正确；
对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确；
对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误；
对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解，
因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.
故选：ABD
10．答案：CD
解析：，z的虚部为-3，则选项A错误；，则选项B错误；
，则选项C正确；，则选项D正确.
11．答案：AD
解析：由,对应点为在第一象限,且,
所以,,,
所以A、D对,B、C错.
故选：AD
12．答案：
解析：.
13．答案：
解析：因为复数，所以.
故答案为：.
14．答案：4
解析：设,则,所以,解得,
所以z的虚部为4.
15．答案：
解析：设,则,
所以,
所以,解得,所以,
,所以.
故答案为:
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为,
因为点Z在第一象限,所以,
由,得,
即则所以.
（2）由（1）知,由z是关于x的方程的一个复数根,可知是的另一个复数根,
因此,解得.
所以
17．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由复数的几何意义知：满足条件的点Z的集合的图形为圆环，
其中大圆半径为3，小圆半径为2，
故所求面积为.
(2)因为， ，且，
所以，所以且，
故，
因为，，
所以当时，λ有最小值为-5，
所以λ范围为.
18．答案：(1)3
(2)或
解析：(1)由可得，又，即.
解得，因此.
(2)依题意，也是方程的根.
由韦达定理，，解得，即；
，即.
当时，；当时，，故m的值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)设，，则，
由题意可得，解得，
又因为z在复平面上对应的点在第一象限，即，所以.
(2)由(1)可知，则，
所以.
20．答案：（1）
（2）9
解析：（1）由复数,可得,因为,可得,
所以.
（2）因为为实系数方程的一根,
所以,整理得,
所以且,解得.
所以.
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