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计数原理-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．“皖美十六运,加宿向未来”,安徽省第十六届运动会2026年在宿州举办,现有4名志愿者参与三天省运会宣传工作,每人仅工作一天,4名志愿者全部安排上岗；要求三天每天均有志愿者工作,且第一天恰有两名志愿者工作,则符合条件的安排方案有______种( )
A.81 B.64 C.24 D.12
2．在二项式的展开式中,第4项和第5项的二项式系数最大,则二项式展开式中的系数为( )
A.14 B. C.84 D.
3．已知,下列有关排列数、组合数的等式中不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐,小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐,且在这五天里将这四种套餐都尝一遍,则不同的方案共有( )
A.120种 B.144种 C.240种 D.288种
5．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6．若，则( )
A.40 B.41 C. D.
7．如图所示是一个蜂巢截面，其中竖直线段和斜线都表示通道.现在有一只蜜蜂从入口处向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左或者向右到达下一层的可能性是相同的.记蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为，例如：，.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
二、多项选择题
9．已知的展开式中共有8项，则下列结论正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为
C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项
10．若，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.含项的系数是112
11．关于多项式的展开式,下列结论正确的是( )
A.各项系数之和为32 B.常数项为80
C.项的系数为 D.展开式一共有21项
三、填空题
12．在的展开式中,的系数为_________.
13．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________________.
14．若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，，则称为D的一个“有序子集列”.若D有5个元素，则D的“有序子集列”的个数为______________.
15．甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用)则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有______________种.
四、解答题
16．某中学共有N个社团,学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会.每场博览会需随机邀请其中k个社团参展(,k为常数).两场博览会的邀请工作独立进行,每次均从N个社团中等可能地选取k个不同的社团.记至少参展过一场博览会的社团总数为X.
(1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率;
(2)求使概率取得最大值的整数m的值(用表示);
(3)记随机变量X的数学期望为,方差为;
(ⅰ)求;
(ⅱ)证明:.
附:对服从超几何分布的离散型随机变量,即,有,.
17．计算:
（1）
（2）
18．甲、乙两人进行一项比赛，初始时，甲有个球，乙有个球.在每轮比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且获胜方从对方那里拿走一个球（即获胜方增加一个球）.当任意一方的球的个数变为0时，比赛立即终止，另一方获胜.设当甲有个球时，甲最终获胜的概率为.
(1)求和.
(2)求的表达式，并证明.
(3)已知当随机变量X与Y相互独立时，.设比赛进行t轮后甲有个球.若存在正实数，使得与t无关，求λ的值.
19．我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数,且存在,使得,则称为的自映射区间．已知函数,．
(1)若,任取的一个自映射区间,求其区间的长度的概率；
(2)若存在自映射区间,
①求m的取值范围；
②求证：,且的长度．
20．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？
参考答案
1．答案：D
解析：由题意知第一天2人,剩下2人分到第二天和第三天,每天各1人,
第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务,安排方案有种,
第二步：剩下2名志愿者,要分配到第二天和第三天,且每天1人,安排方案有种,
根据分步乘法计数原理,安排方案共有种.
2．答案：C
解析：因为在的展开式中,只有第4项和第5项的二项式系数最大,
所以展开式共有8项.
故,解得；
设展开式的通项公式为,
令,解得,所以展开式中项系数为.
3．答案：C
解析：选项A：由组合数性质知,,故A正确；
选项B：当时,,故B正确；
选项C：
,故C错误；
选项D：法一、直接计算,
法二、展开式中的系数：
右边：
.
左边：.
即,故D正确.
4．答案：C
解析：由题意可得,小王同学有两天吃同一种套餐,先从5天中选出两天吃同一种套餐,
然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中,则不同的方案共有种.
故选:C.
5．答案：D
解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为，所以抽取的60名学生中初中部应有（人），高中部应有（人），所以不同的抽样结果共有种，故选D.
6．答案：B
解析：方法一：（赋值法）依题意，令，可得，令，可得，以上两式相加可得，所以，故选B.
方法二：（通项法）的展开式的通项为，分别令，可得，，，所以，故选B.
7．答案：B
解析：由题可知，，且，结合组合数性质：可推得.因为，所以，因为，，，，所以可能取到0，1，2，7，8，9，所以所求的解集为.
8．答案：B
解析：先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式.所以不同的安排方式共有（种）.故选B.
9．答案：AD
解析：对于A，因为的展开式中共有8项，所以，
故所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，可得所有项的系数和为，故B错误；
对于C，因为二项展开式的通项为，，1，2，…，7，
所以当，时，设项系数最大，
由解得则，
故第3项的系数最大，故C错误.
对于D，由为整数，且，1，2，…，7可知，r值可以为0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选AD.
10．答案：ACD
解析：令，得，A正确；，则，B错误；令，得，C正确；项的系数只能来自的展开式，故含项的系数是，D正确.
11．答案：AC
解析：由题意得多项式展开式的通项如下,
为 ,
即,
对于A,令得,
所以各项系数之和为32,故A正确；
对于B,常数项中x的次数为0,则或或,
则,故B错误；
对于C,令,得或,
所以项为,
故项的系数为,故C正确；
对于D,因为,x的指数为的整数,
化简可得,
所以展开式一共有9项,故D错误；
12．答案：15
解析：因为的展开式的通项公为,
由,得到,所以的系数为,
故答案为:.
13．答案：
解析：从8张卡片中随机抽出3张，共有种不同的情况.若要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为这8张卡片上的数字之和的一半，即，则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5这3种情况，所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
14．答案：960
解析：因为，，均只有一个元素，且，作出Venn图如图所示，
则从D的5个元素中选择3个元素分别排在x，y，z三个位置，不同的排法共有（种），剩余的2个元素，每个均有4个位置可以排，不同的排法共有（种），所以D的“有序子集列”共有（个）.
15．答案：216
解析：甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种.
不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，
则乙每轮所出数字有以下三种情况：
①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，
不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，
有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况；
②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，
不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，
有1，2，4，3一种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况；
③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同，
则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况.
故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种，
所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种.
故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种.
故答案为：216.
16．答案：(1)
(2)当能被整除时,和;
当不能被整除时,;(表示的整数部分)
(3)(i);(ii)证明见解析
解析：(1)设社团“星火社”至少参加一次博览会为事件M,则;
(2)当时,同时收到两次邀请的社团数为,
仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为,
则由乘法计数原理知事件所含基本事件数为,
此时,
令,即得,
解得,
则当能被整除时,
在和处取得最大值,
当不能被整除时,在处取得最大值;
(表示的整数部分)
(3)记“某社团参加周一的博览会”为事件A,“某社团参加周三的博览会”为事件B,
记两次都参加的社团数,则,S满足超几何分布,
(i);
(ii)证明:,
所以
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
18．答案：(1)，
(2)，证明见解析
(3)
解析：(1)由题意可得，.
(2)当时，考虑下一轮比赛，甲赢，球数变为，此后甲获胜的概率为，
甲输，球数变为，此后甲获胜的概率为，得，
整理得，即，
设，则，
则，
又，所以，
则，
因为，
所以由二项式定理得，
又，所以，
所以，所以，即.
(3)设随机变量表示第t轮比赛造成的甲持有的球个数的变化量，则，，
比赛进行t轮后，可以表示为，
由与相互独立，即，
得，
因为与t无关，所以对任意的都有，
由于且初始状态，的，则，
，
整理得，因为，所以.
19．答案：(1)
(2)①②见解析
解析：(1)因为恒成立,则在上单调递增,
若存在自映射区间,则,
即方程,即至少有两个不同实数解．
则的解集为,所以区间的选择共有种．
若,共有6种选择,
所以区间的长度的概率为．
(2)①因为在上单调递增,
若存在自映射区间,则,
即至少有两个零点,
因为时,单调递增；
时,单调递减；
若要存在两个零点,则,即．
此时,使得．
因为当时,,即函数单调递减,
所以,又,
所以,则,使得．
所以m的取值范围为．
②因为,所以,
下证：．记,
则,
则在上单调递增,则,即,
即,所以．
所以,所以．
记,则,
时,单调递减；时,单调递增；
所以,即,
则,即,同理
因为函数的,且对称轴为,
则方程存在两根,且,
又,且,所以,
则,
所以区间的长度．
20．答案：(1)240；
(2)144；
(3)840.
解析：(1)2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种，
则唱歌节目排在两头，有种排法；
(2)2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体，
3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体，
把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空，
将2个小品节目插入这3个空中，排法有种，
则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，
有种；
(3)7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种.
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