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统计-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．为落实“五育并举”育人理念,某校随机对10名学生的劳动教育素养进行测评,10名学生的得分情况如下（满分10分）:4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,则这组数据的下四分位数是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是( )
A.解释变量和响应变量线性相关 B.相关系数
C.决定系数 D.残差平方和等于1
3．气象学上判定春季进入夏季的标准为:当某地连续5天的日平均气温达到或超过时,便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下:甲地:中位数是27,平均数是26.
乙地:最高气温31,平均数是26,方差是10.4.
丙地:中位数是24,众数是22.
则由此判断一定进入夏季的地区是( )
A.乙地 B.丙地 C.甲地,乙地 D.乙地,丙地
4．某班级15名学生的物理单元测试成绩如下：72，75，78，80，81，83，85，86，88，90，92，93，95，97，98，则这组数据的第25百分位数为( )
A.78 B.79 C.80 D.83
5．在如下图给出的频率分布直方图三种分布形态中,关于平均数,众数和中位数的说法正确的是( )
A.图1中,中位数平均数众数
B.图2中,众数中位数平均数
C.图3中,中位数平均数众数
D.三个图中,中位数与平均数和众数都大致相等
6．某市某月10天的空气质量指数如下：10，14，16，18，23，25，35，36，40，40则这组数据的第30百分位数是( )
A.16 B.17 C.18 D.20.5
7．下列频率分布直方图中,平均数大于中位数的是( )
A. B.
C. D.
8．某市有大型商场100家，中型商场200家，小型商场700家.为了解各类商场的营业情况，计划采用按比例分层抽样的方法随机抽取一个容量为100的样本，则应从中型商场抽取的家数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
二、多项选择题
9．已知一组数据,,,,的平均数,方差,则( )
A.每个数据都加2后,新数据的平均数为7
B.每个数据都加2后,新数据的方差为4
C.每个数据都乘以3后,新数据的平均数为15
D.每个数据都乘以3后,新数据的方差为18
10．下列说法正确的是( )
A.样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B.回归直线必过样本中心点
C.数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为9.5
D.若随机变量，则σ越大越小
11．下列说法正确的是( )
A.回归直线恒过点
B.两个变量线性相关性越强，则样本相关系数r就越接近1
C.在线性回归方程中，当变量X每增加1个单位时，Y平均减少0.5个单位
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
三、填空题
12．某射击运动员8次的训练成绩分别为：,则这8次成绩的第80百分位数为_____________.
13．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行,奖牌榜前10名金牌数如下:18,12,10,10,8,8,8,6,5,5,则这组数据的第60百分位数为______.
14．温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地,相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位:万人）,将样本数据分成,,,,,,七组,绘制频率分布直方图如图所示.估计日游客数量的第75百分位数为____________.
15．3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子
志愿者人数 30 60 50 40 20
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为___.
四、解答题
16．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.
(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
(2)将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为μ，σ的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，，.
17．某大数据发展有限公司深耕新能源算力、数字科创等特色产业,为夯实产业发展基础、汇聚科研创新力量,该公司计划科学合理增加科创研发资金投入.为了解新能源算力科创研发投入额x（单位：千万元）对数字产业年产值提升额y（单位：千万元）的影响,经分析知y与x具有较强的线性相关关系,现对2019年至2025年科创研发投入额和数字产业年产值提升额进行研究,得到相关数据如下：
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码i 1 2 3 4 5 6 7
新能源算力科创研发投入额 10 30 40 60 80 90 110
数字产业年产值提升额y 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若数字产业年产值提升额与新能源算力科创研发投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“云创年份”,从上面的7个年份中任意取3个,记表示这3个年份为“云创年份”的个数,求X的分布列及数学期望.
参考数据：.
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,
18．某单位承办了马拉松志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100个面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3.
(1)求a，b的值，并估计这100个面试成绩的中位数（结果精确到小数点后3位）；
(2)为了进一步研究情况，从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，落在第二组的面试成绩的平均数和方差分别为63和18，落在第四组的面试成绩的平均数和方差分别为72和27，据此估计这两组的面试成绩的方差.
19．人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面,重塑着人们的生活方式.为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系,某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动,现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据,将样本答卷中分数x（）分成六组：,……,,并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)求样本数据的第75百分位数；
(3)已知落在内样本数据的平均数是55,方差是6；落在内样本数据的平均数是64,方差是,且这两组数据的总方差是22,求落在内样本数据的方差.
20．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的上四分位数；
(3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
参考答案
1．答案：B
解析：下四分位数为第25百分位数,且,
所以这组数据的下四分位数为数据的第三位数,是5.
2．答案：D
解析：直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.
因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确.
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误
故选：D
3．答案：B
解析：设5天气温从小到大排列为.
甲地:中位数,平均数.
因中位数大于平均数,所以必有,可构造28..入夏,如21,26,27,28,28..
乙地:天平均气温为26,总和为,方差,故气温与均值差的平方和为.
假设存在一天气温为21（低于22）,与均值差为,平方为25,最高气温31,
剩余4天平方和只需,又因为.
所以完全可以构造出五个数满足总和130,方差10.4,最大为31的数值,
因此乙地不能保证每天气温,不一定进入夏季,如21,25.,26.,27,31.
丙地:中位数,众数,,故;
众数为22,则,5天均,一定入夏.
4．答案：C
解析：因为，则这组数据的第25百分位数为取排序后第4个数据，即80.
5．答案：B
解析：对于图1,频率分布直方图单峰对称,则中位数平均数众数,故A错误；
对于图2,由频率直方图单峰不对称且“右拖尾”,最高峰偏左,众数最小,
平均数易受极端值的影响,与中位数相比,平均数总是在“拖尾”那边,
故平均数大于中位数,所以众数中位数平均数,故B正确,D错误；
对于图3,由频率直方图单峰不对称且“左拖尾”,最高峰偏右,众数最大,
平均数易受极端值的影响,与中位数相比,平均数总是在“拖尾”那边,
故平均数小于中位数,所以平均数中位数众数,故C错误.
6．答案：B
解析：已知数据升序排列为：10，14，16，18，23，25，35，36，40，40，样本量为，
第30百分位数的位置为：，
i为整数时，第p百分位数取第i和第项数据的平均值，
第30百分位数为：.
7．答案：D
解析：根据拖尾效应,对于选项A和B,根据频率分布直方图关于中线对称,所以平均数等于中位数,所以A和B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图左拖尾,易得平均数小于中位数,所以C错误;
对于选项D,根据频率分布直方图右拖尾,易得平均数大于中位数,所以D正确.
故选:D.
8．答案：B
解析：∵该市商场总数量为家，计划抽取的样本容量为100，
∴按比例分层抽样的抽样比为.
∵中型商场共有200家，
∴应从中型商场抽取的家数为.
9．答案：ACD
解析：由题意得,即,
,
对于AB,记新数据为,
则,
,故A正确,B错误,
对于CD,记新数据为,
,
,
故CD正确.
10．答案：BCD
解析：A：因为样本相关系数r的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确；
B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确；
C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11，
因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确；
D：根据正态分布的性质可知：σ越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确.
11．答案：ACD
解析：对于选项A，回归直线恒过样本点的中心，A正确；
对于选项B，两个变量线性相关性越强，则就越接近1，B错误；
对于选项C，线性回归方程为，则变量X每增加1个单位时，Y平均减少0.5个单位，C正确；
对于选项D，由题知，则，所以，，D正确.
故选ACD.
12．答案：89
解析：,这8次成绩的第80百分位数为从小到大排列的数据的第7个数据,即89.
13．答案：9
解析：将题中数据按从小到大排列为5,5,6,8,8,8,10,10,12,18,
因为,所以这组数据的第60百分位数为.
14．答案：9
解析：由频率分布直方图可知,
,,,,,,各组的频率分别为:
0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,0.05,0.05,
所以日游客数量少于8万人的频率为,日游客数量少于10万人的频率为,
所以日游客数量第75百分位数落在这个区间内,
设第75百分位数为x,则,
即.
15．答案：
解析：由题意得样本中澧水船工号子的人数为，所以X可取0，1，2，并且服从超几何分布，
，，，
所以.
故答案为：
16．答案：(1)80.5
(2)16
(3)
解析：(1)由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为80.5；
(2)由题意有，因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，即，所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16；
(3)由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为0.35和0.15，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件A：抽取3份试卷来自不同区间，事件B：取出的试卷有2份来自区间，
所以，，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
17．答案：(1)
(2)
X 0 1 2 3
P
解析：(1),,
所以y关于x的线性回归方程为.
(2)由题意,7个年份中数字产业年产值提升额与新能源算力科创研发投入额的比值大于0.1的有3个,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望.
18．答案：(1)；69.444
(2)第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42
解析：(1)由题意可知，，解得；
，
所以中位数为.
(2)设第二组、第四组的平均数分别为，，方差分别为，，
且各组频率之比为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
，
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42.
19．答案：(1)
(2)84
(3)
解析：(1)由题意,
解得；
(2)由频率分布直方图知,
前3组数的频率为,
前4组数的频率为,
因此第75百分位数在第5组即区间上,
设第75百分位数为m,则,
解得；
(3)样本数据在区间的个数为,在区间上的个数为,
所以,
而,
解得.
20．答案：(1)；
(2)84；
(3)总平均数为65；总方差为37.
解析：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，则；
(2)成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设上四分位数为m，由，得，
故上四分位数为84；
(3)成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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