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随机变量及其分布-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本.现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是( )
A. B. C. D.
2．甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙是否投进互不影响，两人各投三次，一共投中四次的概率为( )
A. B. C. D.
3．某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设X为决出冠军时比赛的局数，则( )
A. B. C. D.
4．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则( )
A. B. C. D.
5．设随机变量，则函数有零点的概率是( )
A. B. C. D.
6．甲、乙两人独立地破译一份密码,已知甲能破译密码的概率为,乙能破译密码的概率为,则这份密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为X，则随着k的增大，下列说法正确的是( )
A.增大，增大 B.增大，减小
C.减小，增大 D.减小，减小
8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.B与C互斥 D.
二、多项选择题
9．下列选项中的随机变量X服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
10．如图所示，已知一个系统由I，II两个部分组成，其中I部分由甲、乙、丙三个部件组成，II部分由丁、戊两个部件组成.当甲、乙都正常工作，或丙正常工作时，I部分正常工作；当丁正常工作或戊正常工作时，II部分正常工作.当I，II部分均正常工作时，整个系统就能正常工作.图中所示数值为每个部件不能正常工作的概率，下列结论正确的是( )
A.甲、乙部件都正常工作的概率为 B.I部分正常工作的概率为
C.II部分正常工作的概率为 D.整个系统正常工作的概率为
11．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球、两个绿球；绿色盒子内装有两个红球、两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.若抽到红球获得1块月饼，抽到黄球获得2块月饼，抽到绿球获得3块月饼，小明所获得的月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是( )
A.在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D.小明获得4块月饼的概率是
三、填空题
12．已知随机变量X有三个不同的取值,分别是0,1,x,其中,又,,则随机变量X方差的最小值为_____________.
13．一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则随机变量X服从超几何分布，记作，则.现一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机不放回地摸出3个球作为样本，用X表示样本中白球的个数，则______.
14．若随机变量，且，则______________.
15．某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为0.4和0.6，乘火车迟到的概率为0.2，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率为_______________.
四、解答题
16．某食品厂为检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：g），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求质量不低于的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于的件数，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于的件数，求Y的分布列.
17．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；
(2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率.
18．在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值.
(1)直接补全下列列联表（用m表示）：
单位：个
x y 合计
m

合计 100
(2)若按样本频率得到的x与y相互独立，即.
(i)求m的值，并计算单次输出时满足的概率p；
(ii)现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.
19．某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩
人数 5 5 15 25 10
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生为X，求X的分布列.
20．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.
(1)求甲以获胜的概率；
(2)设比赛场数为ξ.试求ξ的分布列及数学期望；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以.故选A.
2．答案：C
解析：设甲投三次，投中的次数为X，则，设乙投三次，投中的次数为Y，则，则，又，，，所以一共投中四次的概率为.
3．答案：A
解析：表示“前3局甲1胜2负，第四局甲负”或“前3局甲2胜1负，第四局甲胜”.“前3局甲1胜2负，第四局甲负”的概率；“前3局甲2胜1负，第四局甲胜”的概率.所以.
4．答案：B
解析：由题意得该产品可以销售的概率为，X的取值范围为，设表示一箱产品中可以销售的件数，则.
方法一：，，，故.
方法二：，，故.
5．答案：C
解析：因为函数有零点，所以，解得.根据二项分布的概率公式，可知.
6．答案：B
解析：记甲、乙能破译密码分别为事件,
由题意可知:,可得,
所以这份密码被成功破译的概率为.
故选:B.
7．答案：B
解析：随机变量X服从两点分布，其分布列为：，
，
当k增大时，减小，因此增大，
两点分布的方差公式为，其中，故：
，
由对勾函数性质，当时，随k增大而递增，因此分母增大，减小.
综上，增大，减小.
8．答案：C
解析：样本空间，共包含12个等可能的基本事件.
事件A包含的样本点为，，，共3个，故.
事件B包含的样本点为，，，共3个，故.
事件包含的样本点为，共1个，故，因，故A与B不相互独立，A错误.
事件C包含的样本点为，，共2个，故，D错误.
事件包含的样本点为，共1个，故，因为，故A与C不相互独立，B错误.
事件B与C没有公共样本点，即，故B与C互斥，C正确.
9．答案：BCD
解析：由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选BCD.
10．答案：BD
解析：设甲、乙、丙、丁、戊不能正常工作分别为事件A，B，C，D，E，则，，，，，所以甲、乙部件都正常工作的概率为，A错误；I部分正常工作的概率为，B正确；II部分正常工作的概率为，C错误；根据上述分析可知，整个系统正常工作的概率为，D正确.
11．答案：ACD
解析：记红球的标号均为1，黄球的标号均为2，绿球的标号均为3，记事件表示第一次取到标号为i的球，，表示第二次取到标号为i的球，.对于A，若第一次抽到绿球，则第二次在绿盒中抽球，此时绿盒中有5个球，其中绿球有1个，所以，A正确.对于B，因为，，，，，由全概率公式知，B错误.对于C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为，C正确.对于D，若小明获得4块月饼，则可能的情况有三种：①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为；②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为；③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为，所以小明获得4块月饼的概率是，D正确.
12．答案：
解析：由,,得,
所以随机变量X的数学期望,
则方差
当 时,取到最小值,
故答案为：
13．答案：
解析：由题意可得试验符合超几何分布，且，，
则.
14．答案：0.1
解析：因为，且，则，
所以.
故答案为：0.1
15．答案：0.38
解析：乘火车、飞机的事件分别为A，，这人迟到的事件为B，
则，，，，
因此，
所以这个人迟到的概率为0.38.
16．答案：（1）12件
（2）分布列见解析
（3）分布列见解析
解析：（1）由题图可知，质量不低于的产品的频率为，
所以质量不低于的产品为（件）.
（2）质量不低于的产品为12件，则质量低于的产品为28件，X服从超几何分布，X的取值范围为.
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于的概率为.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布，
则Y的取值范围为，且.
所以，
，
.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
17．答案：(1).
(2).
解析：(1)记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件M，
所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为.
(2)记“小张在两轮比赛中答对i题”为事件，
“小胡在两轮比赛中答对i题”为事件，
“在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件C，
所以，，，
，，，
所以，
即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为.
18．答案：(1)
x y 合计
m 60
40
合计 50 50 100
(2)(i)，
(ii)X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
解析：(1)设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，
依题意可得解得
设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，
依题意可得解得
由信号对的频数为m，可得当时，与的频数分别为m与，当时，与的频数分别为与.
故补全的列联表如下：
单位：个
x y 合计
m 60
40
合计 50 50 100
(2)(i)由，得，
解得.
由上述结果可知信号对出现的频数为，故样本中满足的总频数为，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率.
(ⅱ)由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量X服从二项分布，即.
随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，
，，，
，.
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
因为，所以.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A.
因为60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，
所以，
所以可估计这名学生考核优秀的概率为.
（2）用分层抽样方法在考核成绩为的学生中任取8人，
则考核成绩在的学生应抽取3人，考核成绩在的学生应抽取5人.
由题意可得X的取值范围为，
所以，，
，.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
20．答案：(1)
(2)ξ的概率分布列为：
ξ 3 4 5
P
(3)甲应该采用“五局三胜制”.
解析：(1)若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为，
所以.
(2)易知ξ取值为3，4，5.
，
，
，
故ξ的概率分布列为：
ξ 3 4 5
P
所以ξ的数学期望为：.
(3)采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：
；
采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：
因为，所以甲应该采用“五局三胜制”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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