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圆与方程-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为( )
A. B. C.2 D.1
2．已知三点,点P在圆上运动,则的最大值与最小值之和为( )
A.96 B.98 C.100 D.102
3．设圆,（）与曲线交于A,B,C,D四点,若四边形为正方形,则( )
A.8 B.4 C. D.
4．已知函数在点处的切线为l,若l与圆相切,则a的值为( )
A. B.
C.或 D.或
5．若方程表示圆，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．已知实数x，y满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．已知关于直线对称,,则与的公切线的数量为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知直线l过点且与圆交于A,B两点,若是钝角三角形,则直线l的斜率可能为( )
A. B.0 C.1 D.2
二、多项选择题
9．已知圆,则下列说法正确的有( )
A.点在圆内
B.直线截圆O所得的弦长为
C.圆与圆O外离
D.圆O在点处的切线方程为
10．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C：，则( )
A.曲线C围成的图形面积为
B.曲线C上任意两个顶点间的最大距离为
C.若点在曲线C上，则最小值为
D.若直线与曲线C有公共点，则k的取值范围为
11．已知圆与圆,则( )
A.圆的圆心坐标为 B.圆心距
C.圆与圆相交 D.圆与圆的公共弦的长为
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为l，点在C上，以P为圆心的圆与l相切且截y轴所得的弦长为，则____________.
13．已知圆M的方程是,则该圆的半径是____________．
14．已知抛物线的焦点为F,点P为抛物线C第一象限上一点,由点P向圆引两条切线,切点分别为A,B,若四边形PAOB的面积为,则直线AB的方程为___________________.
15．已知球O是棱长为1的正方体的内切球，点M为球O表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________.
四、解答题
16．已知圆C经过三点.
（1）求圆C的方程;
（2）设点A在圆C上运动,点,且点M满足,记点M的轨迹为.
①求的方程;
②试探究:在直线上是否存在定点T(异于原点O),使得对于上任意一点P,都有为一常数,若存在,求出所有满足条件的点T的坐标,若不存在,说明理由.
17．已知右焦点为的椭圆过点.
（1）求C的方程.
（2）若点M在C上，点N为圆3上一点，求的最大值.
（3）过点F的直线l与C交于点A，B，与抛物线交于点P，Q，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
18．已知抛物线仅经过，，中的一点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过原点O作圆的两条切线，切点分别为R，S，且R，S恰在抛物线C的准线上，求r；
（3）过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线，分别交C于点E，H和点M，N，设线段EH，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
19．已知椭圆的离心率,且过点,
（1）求椭圆C的方程;
（2）设椭圆C的上顶点为点A,若直线与椭圆C交于P、Q两点,
（i）证明:以线段为直径的圆过点A;
（ii）求面积的最大值.
20．已知点在椭圆上,椭圆C的左右焦点分别为,,的面积为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆相切,记直线PA,PB的斜率分别为,.
（i）证明:;
（ii）证明:直线AB过定点.
参考答案
1．答案：A
解析：设外接圆的半径为R，
因为，，由正弦定理，，
解得，故外接圆的周长为.
2．答案：D
解析：由点P在圆上运动,设,
所以
,显然的最大值、最小值分别为57和45,
所以的最大值与最小值之和为102.
故选:D
3．答案：D
解析：由圆,与曲线都关于x轴,y轴对称,且它们的交点为A,B,C,D,
又四边形为正方形,则不妨设,,,,其中,
所以,解得,
又为圆O的直径,所以.
4．答案：C
解析：由求导得：,则函数在点处的切线斜率为,
又,故切线方程为：,
由题意,圆心到直线的距离为,
解得：.
故选：C.
5．答案：A
解析：方程可化为，因为该方程表示圆，
故，，A正确.
6．答案：B
解析：
由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为2，
如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的10倍，
圆心A到直线的距离，
即直线与圆相离，点B到直线的距离，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为，故B正确.
7．答案：B
解析：,则,半径,
因为关于直线对称,
所以在上,则有,解得,则,
,则,半径,
,,,故与相交,
则与的公切线的数量为2,故选项B正确.
8．答案：B
解析：的圆心为,半径为2,
当直线l的斜率不存在时,此时直线l方程为,
圆心到直线的距离为,
故直线l与圆无交点,不合要求,舍去;
设直线,要使得是钝角三角形,则需为钝角,
则圆心到直线的距离,
其中,即,故,
解得,其中,解得,只有B满足要求.
9．答案：ACD
解析：对于A,将点代入圆方程得：,所以点在圆内,A正确；
对于B,直线到圆心距离为,则直线截圆O所得的弦长为：,故B错误；
对于C,两圆圆心距为,两圆半径和为,从而两圆外离,故C正确；
对于D,易得A在圆O上,且在A点处切线与垂直.,则切线斜率为,切线方程为：,故D正确.
10．答案：ABD
解析：对配方得：
曲线C关于x轴、y轴、原点对称，也关于、对称，
本质是四个圆心为、半径为的圆拼接成的闭合曲线，逐个分析选项：
A：连接曲线与坐标轴交点，，，，得到中间正方形，
正方形对角线长为2，面积为： ，
正方形每条边外对应一个半圆，半圆直径为，半径，
四个半圆总面积为： 总面积，正确.
B：根据定义，顶点是优美曲线和其所有对称轴的交点.
曲线C的对称轴为，，，求得所有顶点为，，，.
任意两顶点的最大距离为与（或与）的距离：
，B正确
C：是点M到直线的距离d，即.
曲线C上离l最近的点为，满足，确实在曲线C上，
代入得：最小值为1，C错误.
D：直线恒过点，曲线C上点的最大纵坐标约为，
直线与曲线有公共点等价于圆心到直线距离小于等于半径.
对上方两个圆心，相切时满足距离等于半径，计算得相切时；
当时直线平缓，与曲线无交点，当时存在公共点，
因此k的范围为，D正确.
11．答案：BCD
解析：由得,所以圆的圆心坐标为,半径为,故A错误;
由圆得圆心,半径,所以,故B正确;
又,所以,所以圆与圆相交,故C正确;
由,两式相减得:,
由圆心到直线的距离为:,
所以圆与圆的公共弦的长为,故D正确.
12．答案：4
解析：
已知抛物线的准线为l，则l的方程为：，
已知点在C上，则，
以P为圆心的圆与l相切，设圆的半径为r，则，
又圆与l相切且截y轴所得的弦长为，
，解得，即，
，解得.
13．答案：5
解析：依题意得,故圆的半径是5.
14．答案：
解析：设则由题意,
设为切点,因为是圆的切线,所以
故即整理得
又因为点A在圆上,所以
于是同理,对点B也成立.
所以直线经过点,其方程为,
设
圆心O到直线的距离为
因为是圆的一条弦,所以.
又点P到直线的距离为因此,
而这两个三角形有公共底边,故
从而得到
又因为从而得到所以即
将代入,得
即解得或.
因为点P在第一象限,所以于是
又因为,故所以
将代入,得,即直线的方程为.
15．答案：
解析：如图所示，在正方体中，可得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
要使得平面，且点M为球O表面上一动点，
所以点M在平面与球O的截面圆上，且截面圆恰为的内切圆，
因为正方体的棱长为1，可得正的边长为，其内切圆的半径为，
以所在直线为x轴，以的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
可得，，内切圆的方程为
设，则，
因为表示内切圆上点到原点的距离，
可得内切圆与y轴的交点为时，距离最大，最大距离为，
则的最大值为.
16．答案：（1）;
（2）①;
②存在,定点为.
解析：（1）设圆C的方程为,将三点分别代入得
,解得,
所以圆C的方程为;
（2）①设,则:,
,,
点A在圆C上运动,,
即:,,
所以点M的轨迹方程为,
它是一个以为圆心,以1为半径的圆;
②假设存在一点满足(其中为常数),
设,则:,
整理化简得:,
∵P在轨迹上,
,
化简得:,
所以,
整理得,
,
解得:;
存在满足题目条件.
17．答案：（1）
（2）
（3）存在
解析：（1）由题意得解得
所以C的方程为.
（2）设，由题意知，，
则，，
所以，
因为，所以当时，，
所以.
（3）由题意得直线l的倾斜角不为0，
故设直线l的方程为，
，，，.
联立消去x并整理，得，
所以，，.
所以
.
联立消去x并整理，得，
所以，，，
所以.
所以
，
若为定值，则，即，
所以存在，使得为定值.
18．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）根据抛物线的对称性，以及点，关于x轴对称，
可知点和要么都在C上，要么都不在C上.
抛物线C只经过三个点中的一个，
和都不在抛物线C上，
点在C上，将其坐标代入中，解得，
抛物线C的方程为.
（2）由，知，O，R，D，S四点共圆，且该圆是以OD为直径的圆，
，该圆的方程为，
与圆D的方程相减，可得直线RS的方程为.
又R，S恰在抛物线C的准线上，
，解得.
（3）证明：由（1）知，
设，，则，
易知直线EH，MN的斜率均存在且不为0，故设直线EH的方程为，
由消去y整理得，
则，，，
则，，
同理可得.
当时，，
则直线PQ的方程为，即，
当时，，此时直线PQ过定点；
当时，，，此时直线PQ过点.
综上，直线PQ过定点.
19．答案：（1）
（2）（i）证明见解析;
（ii）9
解析：（1）因为椭圆的离心率,所以,所以,
所以椭圆C的方程为,又椭圆C过点,
所以,解得,所以椭圆C的方程为;
（2）（i）由（1）知椭圆C的上顶点为点,设直线与椭圆C交于,
由,得,整理得,
所以,,
又,
所以
,
所以,所以以线段为直径的圆过点;
（ii）因为直线过定点,
所以
,
令,
则
所以,可得,
所以函数在上单调递增,所以,
所以,即,所以.
所以当时,面积的最大值为9.
20．答案：（1）
（2）（i）证明见解析;
（ii）证明见解析
解析：（1）由题知,,的面积等于,
所以,解得,,所以,椭圆C的方程为.
（2）（i）设直线PA的方程为,
直线PB的方程为,由题知,
所以,所以,
同理,,
所以,是方程的两根,所以.
（ii）设,,设直线AB的方程为,
将代入得,
所以,①
,②
所以,③
,④
又因为,⑤
将①②③④代入⑤,化简得,
所以,所以,
若,则直线,此时AB过点P,舍去.
若,则直线,此时AB恒过点,
所以直线AB过定点.
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