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空间向量与立体几何-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．已知向量，，满足，则x的值为( )
A.2 B.-2 C. D.
2．向量,若,则( )
A. B. C.4 D.5
3．已知空间直角坐标系中的满足，，则( )
A. B.3 C. D.5
4．如图,在四面体OABC中,为BC的中点,,且P为OG的中点,则( )
A. B.
C. D.
5．向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6．已知向量,则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.不能构成空间向量一个基底
7．如图,在平行六面体中,若,则有序实数组( )
A.
B.
C.
D.
8．如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线与直线是相交直线 B.直线与直线共面
C.直线与直线平行 D.直线与直线垂直
二、多项选择题
9．下列命题中,是真命题的为( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量满足,则
C.若空间向量满足,则
D.在正方体中,必有
10．关于三角函数性质说法正确的是( )
A.对称轴为, B.对称中心为,
C.在定义域上单调递增 D.最大值为
11．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为____________.
13．直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若，则____________.
14．已知,向量,若,则__________.
15．正方体的棱长为2,上底面的中心为,现将上底面绕旋转角度后得到一个十面体（如图）,则在旋转过程中,该十面体体积的最大值为___________.
四、解答题
16．已知点关于z轴的对称点为Q,则Q的坐标为( )
A. B. C. D.
17．如图,四面体OABC各棱的棱长都是1,D是的中点,E在上,且,记,,.
(1)用向量,,表示向量；
(2)求OE的长.
18．长方体中,,,M为中点.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
19．如图,在直三棱柱中,,,P是线段上靠近的三等分点,分别是线段,的中点.
（1）求证:⊥平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．如图，在三棱柱中，平面，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：，，
，
解得
故选：A.
2．答案：D
解析：因为,,
所以,即,解得.
故选:D.
3．答案：C
解析：由向量加法得，
所以.
4．答案：A
解析：由题意,
,
故选:A
5．答案：C
解析：向量在向量上的投影向量为.
6．答案：B
解析：向量,
对于A:,故A正确;
对于B:,故B不正确;
对于C:,故C正确;
对于D:,故是共面向量,
不能构成空间向量的一组基底,故D正确.
故选:B.
7．答案：C
解析：由题意得
,
结合可得,
故,
故选:C
8．答案：B
解析：对于A，直线在平面内，点M在平面内但不在直线上，点A不在平面内，
所以直线与是异面直线，故A错误；
对于B，连接，，因为M，N分别为棱，的中点，所以在中，为中位线，所以.
又因为在正方体中，，所以，所以，B，N，M四点共面，
即直线与共面，故B正确；
对于C，取的中点E，连接，，
因为N为的中点，E为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
若，则，但，且M，E不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
所以与不平行，故C错误；
对于D，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，，
，.，
所以直线与不垂直，故D错误.
9．答案：CD
解析：当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等的向量起点、终点不一定相同,A错误；
模相等的两个向量的方向是任意的,即模相等的两个向量的方向不一定相同,也不一定相反,B错误；
由相等向量的传递性,知若,则,C正确；
在正方体中,四边形是矩形,向量与的方向相同,模也相等,即,D正确,
故选：CD.
10．答案：ABD
解析：对于,令,可得,,即为函数图象的对称轴,A对,
对于,令,可得,,即,是函数图象的对称中心,B对,
对于,其定义域为,单调区间为,而在整个定义域内不单调,C错,
由且,结合正弦函数的性质知其最大值为,D对.
11．答案：BC
解析：依题意构成空间的一个基底,
对于A选项,由于,所以共面,故A不正确.
对于B选项,由于不存在实数使,所以不共面,B正确.
对于C选项,由于不存在实数使,所以,不共面,故C正确.
对于D选项,由于,所以共面,故D不正确.
故选：BC.
12．答案：9
解析：由已知，，
则的坐标表示为，的坐标表示为，
则向量在上的投影长为9.
13．答案：0
解析：因为，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，即.
代入，，得，
整理得，解得.
14．答案：
解析：由得,,
解得,所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：设原正方体的中心为O.连接O与十面体的各个顶点,
则十面体可分成以O为公共顶点、以十面体各个面为底面的若干个小棱锥.辅助图如下.
上下两个四边形面均为边长为2的正方形,且O到这两个面的距离均为1,所以这两部分体积和为
下面计算侧面部分体积.以侧面三角形为例,取为的中点,则,且
所以
设点A到平面的距离为,则
由于十面体关于中心成对称,侧面八个三棱锥可以两两配对,因此侧面部分的体积可写成
于是
下面求.以为原点建立空间直角坐标系,使原上底面所在平面为平面,
原正方体中心为.可取,
上底面绕旋转后,有
,,
,,
以为例,平面的一个法向量可取
由点到平面的距离公式得
.
同理可得
所以
代入体积表达式,得
即
因为且,
所以,
因此的最大值为1,从而
故
16．答案：C
解析：因为点关于z轴的对称点为Q,
所以,故C正确.
故选:C
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接OD,
则.
(2)由(1)得
,.
18．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接,如图,
,,因此,又,
则,可得；又平面,而平面,
得,又,平面,
故平面,又平面,故.
(2)以D为原点,,,方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则,,
可得,,显然,
即可得,又,平面,所以平面,
即平面的一个法向量为,又,
设与平面所成的角为,
故所求线面角的正弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:在中,因为分别为线段的中点,所以,
因为,所以,
又因为三棱柱为直三棱柱,所以平面,
因为平面,所以,
又因为,且平面,所以平面.
（2）因为,且平面,
以C为原点,以所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,由,
可得,
因为P是线段上靠近的三等分点,且,所以,
又因为分别是线段的中点,可得,
可得,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
设平面与平面夹角为,可得,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，得平面.
(2)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，可得，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则有即
取，则，
记直线与平面所成的角为θ，
故.
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