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直线与方程-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．直线与互相垂直,则这两条直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
2．在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为( )
A. B.1 C. D.2
3．经过抛物线与的两个交点的直线方程为( )
A. B. C. D.
4．直线:被圆:所截得的弦长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．已知角,直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．曲线在点处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7．若圆与圆交于M，N两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
8．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
二、多项选择题
9．如图,已知直线,点A是之间的一个定点,点A到的距离分别为1和2.点B是直线上一个动点,过点A作,交直线于点C,,则( )
A. B.面积的最小值是
C. D.不存在最小值
10．已知直线,,则下列说法中正确的有( )
A. B.存在a,使得
C.直线过定点 D.直线过定点
11．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知两条平行直线,,则与间的距离为_____.
13．若直线与直线平行,则实数________.
14．过点与直线垂直的直线方程是___________.
15．已知P是椭圆上一点,Q是直线上一点,则的最小值为___________.
四、解答题
16．已知直线与抛物线的一个交点是，求抛物线C的焦点到直线l的距离.
17．已知的顶点分别为、、
（1）求边上的中线的方程;
（2）求的外接圆的方程.
18．求满足下列条件的直线的方程:
（1）经过两条直线和的交点,且平行于直线;
（2）垂直于直线,且到点的距离为1.
19．已知的三个顶点分别是，，，D为中点.
(1)求中线和线段分别所在的直线方程；
(2)求的面积.
20．已知两定点,满足的动点P的轨迹是曲线E.过点且不与两坐标轴平行的直线与曲线E交于两点(点在上方),记弦的中点为M,O为坐标原点.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知直线过点M且交x轴于点N,,且与的斜率之积小于0.
(i)证明:;
(ii)若直线交轴于点Q,直线交直线于点D,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由直线与互相垂直,可得,解得,
将代入直线,得到,
联立方程组,解得,交点坐标为.
故选：C.
2．答案：D
解析：.
3．答案：A
解析：联立，得，即，解得或，
所以两抛物线的交点为，，
故过两个交点的直线方程为.
4．答案：C
解析：由题意得圆心在直线上,直线,二者之间的距离,
所以圆心C到直线l的距离为,
所以直线l被圆C所截得的弦长.
故选:C.
5．答案：D
解析：设直线的倾斜角为,则,
故角的取值范围是.
故选:D.
6．答案：B
解析：，所以.
，所以.
7．答案：B
解析：已知圆，即①，
圆②，
①-②消去二次项，得：，化简得直线的方程为，
因此直线斜率，又，由，可得.
8．答案：C
解析：该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为.
9．答案：ACD
解析：设中点为F,连接,以D为原点,,方向分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系,

则,,设,,,且m,
所以,,因为,所以,
即,故,即,
所以,,,
因为,所以,即,
因为,故,所以A正确；
因为,所以,即,
所以三点共线,且G为靠近F的三等分点,
所以
,
当且仅当,即时取等,所以B错误；
因为,
所以,
当且仅当,即时取等,故,所以C正确；
因为,；
所以,
因为且,所以,
记,由函数和在上递增,
可知在上单调递增,没有最值,即没有最小值,所以D正确.
10．答案：AC
解析：若,,,显然成立,
若,的斜率为,的斜率为,,所以,所以无论a为何值,,故A正确,B错误;
的方程可化为,即,所以过定点,故C正确,
,所以过定点,故D错误.
故选:AC.
11．答案：BC
解析：记点、、，
设直线、的倾斜角分别为α、β，函数在点B、C处的切线的倾斜角分别为θ、φ，
对于A选项，由图可知，，则，
即，即，A错；
对于B选项，由图可知，，所以，，B对；
对于C选项，由图可知，，所以，，C对；
对于D选项，由图可知，，所以，，D错.
故选：BC.
12．答案：
解析：可化为,
则与间的距离为.
故答案为:.
13．答案：
解析：直线的斜率为a,在y轴上的截距为2,
因为两条直线平行,
故直线的斜率存在,且与直线的斜率相等,在y轴上的截距不为,故,
所以直线的斜率为,在y轴上的截距为,
所以,且,
解得,即实数.
14．答案：
解析：设所求直线为
过点,故
直线方程为
故答案为：.
15．答案：/
解析：设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为,
联立,得,
判别式,解得,
当时,切线为,与直线l的距离,
当时,切线为,与直线l的距离.
所以的最小值为.
故答案为:
16．答案：
解析：由已知可得点在和上，
所以，，即，.
所以抛物线的焦点到直线的距离为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为、,所以线段的中点为,,
所以边上的中线所在直线的方程为,即.
（2）设的外接圆的方程为,
则,解得,
所以外接圆的方程为,即.
18．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）联立,得,
设平行于直线的直线方程为,代入点,
得,得,
所以满足条件的直线方程为;
（2）设垂直于直线的直线方程为,
点到直线的距离,解得或,
所以满足条件的直线方程为或.
19．答案：(1)，
(2)5
解析：(1)由，，D为中点，可得，
由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；
由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；
(2)由点到直线的距离公式可得点C到直线的距离为：.
由两点间的距离公式可得，两点间距离：
.
所以的面积.
20．答案：(1);
(2)(i)证明见解析;
(ii)证明见解析
解析：(1)根据双曲线的定义可知点P的轨迹为以为焦点的双曲线的右支,
由可得,由可得,
所以,故曲线E的方程为.
(2)(i)依题意可设直线,与E的方程联立
整理得,过双曲线的右焦点且不与x轴平行,
则必与双曲线有两个交点,且分别在轴上下方,设,
则由韦达定理可得,
中点M坐标满足,代入得,
且有,
由得,设,则,
解得,此时的斜率,
而的斜率为,所以,不符合条件,
或,此时的斜率,
而的斜率为,满足,所以.
(ii)直线交直线于点D,由(i)得,
令得D点的纵坐标,依题意
即为与直线的夹角,而垂直于轴,所以,
即为与直线的夹角,的斜率为,
,
于是有,
将代入得,
即,故.
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