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圆锥曲线-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2．已知抛物线,则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3．已知曲线是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的等轴双曲线,点在上,则的实轴长为( )
A.10 B.9 C.8 D.6
4．若双曲线C：与椭圆的焦点相同，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.4
5．已知点到点的距离为d,则d的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6．在平面内动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与C交于,B两点,且线段的中点M到y轴的距离为3,直线与轴交于点.若,则C的标准方程为( )
A. B.
C. D.
8．已知双曲线的左右焦点分别为,,经过的直线与C的右支交于A,B两点,且,,则C的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知抛物线，O为坐标原点，过点作斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，其中A在第一象限，直线交抛物线C于另一点D，其中，直线与直线交于点P.则( )
A.
B.当时，直线l的方程为
C.当O，A，D，B四点共圆时，
D.点P落在定直线上
10．已知抛物线与圆交于两点,则下列说法正确的是( )
A.圆心坐标为 B.
C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交
11．已知双曲线G：的一个焦点为，则双曲线G的( )
A.焦距为6 B.实轴长为
C.离心率为 D.渐近线方程为
三、填空题
12．双曲线的渐近线方程为______.（写出一个即可）
13．双曲线的离心率为________.
14．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为____________.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为,,以为焦点的抛物线与双曲线C在第一象限交于点P,若,则双曲线C的离心率______.
四、解答题
16．已知抛物线的焦点为为C上一点,且.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若直线交抛物线C于两点,且（O为坐标原点）,记直线过定点Q,证明:直线过定点P,并求出的面积.
17．已知抛物线C：上一点到准线的距离是3.
(1)求p；
(2)求曲线C在点A处的切线方程.
18．如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为C，直线与曲线C交于E，F两点，求线段的中点坐标和弦长.
19．已知焦点在x轴上的双曲线C,离心率等于2,实轴长为.
(1)求此双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C相交于两点,O为坐标原点.如果,求a的值.
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1.
(1)求C的标准方程.
(2)过点T的直线l与C交于A，B两点，设M为线段的中点.
(i)证明：点M在曲线上；
(ii)若的面积为，求l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可知，，则焦点坐标为.
2．答案：B
解析：将抛物线化为标准式得,所以,
所以其焦点坐标为,B正确.
3．答案：D
解析：由等轴双曲线的性质,设曲线的方程为,
将点代入方程,得,
可得,
因此,双曲线的标准方程为,
可得,即,
因此,实轴长.
4．答案：C
解析：对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为.
对双曲线C：，其中，所以，.
又椭圆与双曲线焦点相同，所以.
所以双曲线C的离心率为：.故选项C正确.
5．答案：D
解析：因为点,设,则,
所以点A在直线上,
同理,点在圆上,圆心为,半径为,
由圆心到直线的距离为,
则点到点的距离即圆上的点到直线的最小距离为,
即点到点的距离为d的最小值为.
6．答案：D
解析：设动点P的坐标为,则点P到定点的距离为,
点P到定直线的距离为,
由题意得,
化简得：,即.
7．答案：C
解析：抛物线的焦点为,
设,由题意可知M到y轴的距离为3,即,
设,则,
由,得,得,则,
故C的标准方程为.
8．答案：A
解析：设,则,
由双曲线的定义,可得,所以,
又由,
因为,所以,
在中,由余弦定理得,
,即,
即,所以,则,
在中,由余弦定理得,
即,解得,所以,
所以双曲线的离心率为.
9．答案：ACD
解析：因为点，则，又，则，
所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确；
所以抛物线C的方程为，
设直线l方程为，
设，，联立，
消y得到，
则，，
当时，，
所以或，且，即得，
所以直线l的方程为，B选项错误；
当O，A，D，B四点共圆时，则有，，故，
则，所以，
又，，，，
所以，即，
整理得到，又，所以，故直线l的方程为，C选项正确；
由，，得到直线，
由，，得，
直线，联立方程，解得，，
，
由，，得，
所以点P落在定直线上，D选项正确；
10．答案：BCD
解析：A选项,由,故圆心为,A错误；
B选项,联立抛物线与圆消去y得,
解得或1,当时,,不合要求,舍去；
当时,,解得,即,则,B正确；
C选项,抛物线的准线为,圆心到的距离为2,等于圆的半径,
故抛物线的准线与圆相切,C正确；
D选项,抛物线焦点坐标为,此时直线过圆的圆心,则与圆一定相交,D正确.
11．答案：ACD
解析：由双曲线G的方程，可得，
已知一个焦点为，故，
根据双曲线性质，代入得，即，
对于A，双曲线焦距为，A正确；
对于B，双曲线实轴长为，B错误；
对于C，离心率，C正确；
对于D，渐近线方程为，整理得，D正确.
12．答案：（或）
解析：双曲线的实半轴长，虚半轴长，
因为双曲线的焦点在y轴上，
则该双曲线的渐近线方程为.
13．答案：
解析：由，得，
所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，，
所以双曲线的离心率为.
14．答案：3
解析：由双曲线的定义，，，
则.
故答案为：3
15．答案：3
解析：如图所示:
抛物线的焦点为,准线为,
则,得,得抛物线方程为,
设抛物线与双曲线C在第一象限交于点P的坐标为,
过点P作准线,交准线于点H,则,
由,得,得,
再由及,解得,
由,得,
在中,,
整理得,得,
即,得.
故答案为:3
16．答案：（1）
（2）证明见解析;
解析：（1）因为在上,所以,
又,所以,则,
所以,则,解得或,
当时,,满足要求;当时,,不满足,
故,所以抛物线的方程为.
（2）设,
联立,消去y整理得,
所以,且,所以,
因为,解得,
所以直线的方程为,则直线过定点,
直线,即过定点,
又,所以,
所以.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意可得，准线方程为：，
∴点A到准线的距离为，
∴，
∴.
(2)由(1)可得C的方程为，
在C上，∴，.
又，故.
当时，，∴切线方程为：，
当时，，∴切线方程为：.
18．答案：（1）；
（2）的中点坐标为，弦长
解析：（1）连接，由题意得圆A的圆心为，半径为4，且，所以，
根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，其方程为.
（2）设，
联立方程组，整理得，
则，且，，
所以的中点坐标为，弦长.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意设双曲线方程为,
则,解得,
所以双曲线C的标准方程为.
(2)设,,
由,消去y整理得,
则且,则且,
所以,,
所以
,
因为,,,
所以,即,解得,符合题意,
所以.
20．答案：(1)
(2)(i)见解析 (ii)或.
解析：(1)椭圆C：的上顶点为，右顶点为.
由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以.
由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以.
因此椭圆C的标准方程为.
(2)(i)证明：当直线l不垂直于x轴时，设其方程为.
代入，得，整理得.
设交点A，B的横坐标分别为，，则，
所以中点M的横坐标为.
因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为.
于是，
即点M在曲线上.
当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为，
易得线段的中点也满足.
综上，点M在曲线上.
(ii)若直线l垂直于x轴，则，点M，T重合，不合题意.
故由(2)(i)，得，而，，
所以的面积为.
由题意，得，所以，即.
令，则，且，整理得，即，所以，
故或.
因此直线l的方程为或，即或.

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