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导数及其应用-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．曲线在点的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知函数，则( )
A.-1 B.e C. D.
3．已知，则( )
A.e B.1 C.-1 D.0
4．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是( )
A. B. C. D.
5．已知是函数的导函数，，则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7．已知函数，则( )
A.0 B.2 C.3 D.4
8．一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数，则____________.
13．函数的所有极值点之和为_____________.
14．已知函数的定义域为R，且为的导函数，若，则____________.
15．已知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围为________.
四、解答题
16．已知函数，，其中a为常数，e为自然对数的底数，.
(1)当时
①求函数在处的切线方程；
②证明：；
(2)若函数有零点，求a的取值范围并证明函数的零点是唯一的.
17．已知函数
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
18．已知函数在处有极值.
(1)求a的值；
(2)求在上的最值.
19．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论的单调性,并求其极值.
20．已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有极小值,且,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：对函数求导可得，
将代入导函数，得，
即曲线在点处的切线斜率为4，对应选项D.
2．答案：B
解析：因为，所以，则，
故选：B
3．答案：B
解析：由题可知，故.
4．答案：B
解析：当时，，所以在单调递增，
且的值在上越来越大，在上越来越小，
即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误.
5．答案：C
解析：由，求导得，
所以.
6．答案：C
解析：因为，令，得，所以的单调递增区间是.
故选：C.
7．答案：D
解析：，
.
8．答案：A
解析：由题意得，所以，
即该质点在时的瞬时速度为.
故选：A.
9．答案：AD
解析：选项A,根据指数函数求导公式,令,即,选项A正确;
选项B,根据对数函数求导公式,令,即,选项B错误;
选项C,根据复合函数求导法则,,选项C错误;
选项D,根据余弦函数求导公式,,选项D正确.
10．答案：BC
解析：记点、、，
设直线、的倾斜角分别为α、β，函数在点B、C处的切线的倾斜角分别为θ、φ，
对于A选项，由图可知，，则，
即，即，A错；
对于B选项，由图可知，，所以，，B对；
对于C选项，由图可知，，所以，，C对；
对于D选项，由图可知，，所以，，D错.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：因为，，，，故AC正确，BD错误.
12．答案：2
解析：，故
13．答案：-1
解析：∵，∴
令得或，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点.
函数的所有极值点之和为.
14．答案：3
解析：由导数的定义，可得函数在处的导数满足：
，
则
解得.
15．答案：
解析：令，得，
设，显然在上单调递增，
而，则，
依题意，方程有两个不等的实根，
显然，故存在两个不同的零点，
设，则，
(i)当时，则，，此时在上单调递增，
最多一个零点，不合题意；
(ii)当时，此时，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以，
要使有两个零点，则，解得.
故答案为：.
16．答案：(1)①；②证明见解析；
(2)，证明见解析；
解析：(1)①当时，，，
因为，，
所以函数在处的切线斜率为，
由，
知函数在处的切线方程为.
②因为，所以，
令，得，（其中为的导函数），
于是在单调递减，在单调递增
由，，，
知存在唯一零点使得
当时，，当时，，
即在单调递增，在单调递减，
而，
所以在区间内恒成立，得证.
(2)当时，，
由②知，即此时无零点，
当时，，
令，，
由在单调递增，且，，，
所以存在唯一零点t使得，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，知，即此时无零点.
下证：当时，在区间内有零点，并且零点是唯一的，
，，
，故，，
又，得，（其中是的导函数），
于是在区间内单调递增，有唯一零点为的最小值点，
即，
我们断言：，否则，从而，在区间上单调递增，与矛盾，现列表如下：
x 0 1
- 0 + +
+ 单调递减，正变负，有唯一零点 - 单调递增，负变正，有唯一零点 +
再列表如下：
x 0 1
+ + 0 - 0 + +
0 单调递增，+ + 单调递减，正变负，有唯一零点 - 单调递增，- 0
综上，，在区间内的零点是唯一的.
17．答案：(1)；
(2)单调递增区间是，，单调递减区间是.
解析：(1)函数，求导得，则，而，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
(2)函数的定义域为R，由(1)得，
由，得或，由，得，
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
18．答案：(1)；
(2)最小值为，最大值为.
解析：(1)因为函数，所以，
因为函数在处有极值，所以，
此时，则时，当时，
所以函数在处有极值，所以.
(2)由(1)可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数的最小值为，最大值为.
19．答案：（1）
（2）在上单调递减,在上单调递增,极小值为,无极大值
解析：（1）因为,所以,
设切线的斜率为k,由斜率的几何意义得,
而,得到切点为,则切线方程为,
化简得,故切线方程为.
（2）,令,可得,
令,可得,
则在上单调递减,在上单调递增,
得到极小值为,无极大值.
20．答案：(1)
(2)当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(3)
解析：(1)当时,,
则,,,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2),,
若,可得时,,所以在上单调递增;
若,当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增;
综上所述:当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(3)由(2)可知,当时,有极小值,
极小值为,此时极小值也是最小值,
由,可得,因,可得,
令,求导得,即在上单调递减,
又,
当时,,当时,,
所以时,,此时满足,
所以a的取值范围为.
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