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统计案例-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．某校团委对“学生性别和喜欢某视频APP是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的，女生喜欢该视频APP的人数占女生人数的，若依据独立性检验，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢该视频APP和性别有关，则男生至少有( )
附：
0.050 0.010
3.841 6.635
，.
A.12人 B.6人 C.10人 D.18人
2．下列散点图中,两个变量的相关系数分别为,,,,则最大的是( )
A. B. C. D.
3．为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系,随机抽取若干名学生的成绩,用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为,则样本点的残差为( )
A. B.9.5 C. D.8
4．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲 乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到.
车型与地区
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
下列说法正确的是( )
A.在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人
B.在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
C.依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
D.依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
5．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则( )
x 2 3 4 5
y 4 7 8 13
A.经验回归直线必过点
B.
C.当时，预测值
D.当时，样本点对应的残差为0.2
6．观察下列散点图,其中图1两个变量的相关关系为,图2两个变量的相关关系为则判断一定正确的是( )
A. B. C. D.
7．为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )

A.x，y不具有线性相关性 B.x，y线性相关性变强
C.相关系数r变小 D.x，y负相关
8．已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B.回归直线必过样本中心点
C.数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为9.5
D.若随机变量，则σ越大越小
10．下列说法正确的是( )
A.回归直线恒过点
B.两个变量线性相关性越强，则样本相关系数r就越接近1
C.在线性回归方程中，当变量X每增加1个单位时，Y平均减少0.5个单位
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
11．下列说法正确的有( )
A.若随机变量ξ服从二项分布，则
B.若随机变量ξ服从正态分布，则
C.已知样本点的经验回归方程为，则样本点的残差为0.1
D.在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好
三、填空题
12．某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为_______________.（用“拒绝”或“接受”填空）
13．变量y与x满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，y的预测值为________.
14．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关,用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示:
电离辐射剂量 存活情况 合计
死亡 存活
第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
合计 20 30 50
由表中数据算得:____________________精确到,说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用____________________填“相同”或“不相同”.(已知)
15．已知变量x,y的统计数据如下表,对表中数据作分析,发现y与x之间具有线性相关关系,利用最小二乘法,计算得到经验回归直线方程为且当时,残差为-0.1.则当时,y的预测值为______________.
x 5 6 7 8 9
y 3.5 4 5 6 6.5
四、解答题
16．为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的.
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计 400
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；
(2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．人工智能对人们的生活有较大的影响,为了让老师更加重视人工智能,某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分）,若分数为80分及以上的为优秀,其他为非优秀,统计并得到如下列联表:
男教师 女教师 总计
优秀 20 15 35
非优秀 10 5 15
总计 30 20 50
（1）根据小概率值的独立性检验,能否认为这次成绩是否优秀与性别有关
（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中,随机抽取2人进行调研,记抽出的2人中女老师的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:,其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．某大型科技公司研发了一款新型代码生成助手.为了评估其效能，公司随机邀请了200名内部测试开发者使用该工具.测试后，从两个维度记录数据：开发者经验：资深（工作年限年）与初级（工作年限年）；使用评价：对助手的评价为“满意”和“不满意”.现调查统计的部分数据如下表（单位：人）：
满意 不满意 合计
资深 60
初级 50 120
合计 200
(1)完成上述样本数据的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“开发者对助手的满意度”与“开发者经验”是否有关？
(2)按照比例采用分层随机抽样的方法从“开发者对助手不满意”中随机抽取7人，再从这7人中选3名做进一步访谈.设这3人中初级的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．相关部门为研究全市高三年级学生的性别和身高的关联性,对该市高三年级的学生进行抽样调查,调查结果如下表.
性别 身高 合计
低于 不低于
女 30 10 40
男 15 45 60
合计 45 55 100
（1）依据小概率值的独立性检验,能否认为学生的性别与身高有关联
（2）以样本估计总体,以频率估计概率,现从全市高三年级男生中每次随机抽取1名学生,共抽取4次,且每次抽取的结果相互独立.记被抽取的4名男生中身高不低于的人数为X求.
附:,其中.
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20．某公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表：
性别 “微短剧”喜好 合计
喜欢 不喜欢
男 45 45 90
女 75 35 110
合计 120 80 200
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“微短剧”喜好与观众性别有关？
(2)现从喜欢“微短剧”的观众样本中按分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取8人，进行调研，再从这8人中随机抽取4人，记这4人中女观众的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考答案
1．答案：A
解析：设被调查的男生人数为x，则被调查的女生人数为，则列联表如下：
性别 对某视频APP的态度
喜欢 不喜欢 合计
男生 x
女生
合计 x
根据独立性检验，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜欢某视频APP和性别有关，则，
即，则，
又，，均为整数，
所以男生至少有12人.故选A.
2．答案：A
解析：易得图1和图3中的点呈正相关,即,
图1中的点较集中在一条直线附近,线性相关性较强,即,
图2图4中的点呈负相关,即皆负,无需考虑,
所以最大.
3．答案：D
解析：代入得,则残差.
4．答案：C
解析：对A：，故新能源车主有12人，故A错误；
对B：购买燃油车的人数为，
购买新能源车的人数为，
则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误；
对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，
由，故此推断犯错误的概率不大于0.001，故C正确、D错误.
5．答案：D
解析：对于A，因为，，
所以经验回归直线必过点，A错误；
对于B，因为经验回归方程为过点，
所以，解得，B错误；
对于C，将代入经验回归方程得，C错误；
对于D，当时，实际值，预测值，
所以残差为，D正确.
6．答案：A
解析：①分析图1的相关系数观察图1,散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内；
随着x的增大,y总体呈减小趋势,根据相关系数的定义,
两个变量呈负相关,故；
②分析图2的相关系数观察图2,散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内；
随着x的增大,y总体呈增大趋势；
根据相关系数的定义,两个变量呈正相关,故；
此外,观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近,
说明图2的线性相关性更强,即
选项,已知且,且,故 成立；
选项,因为且,所以,故选项B错误；
选项,因为且,则,选项C错误；
选项,因为且,则,显然不可能大于1,故选项D错误.
7．答案：C
解析：原有9组数据对应的散点整体呈从左下向右上的分布趋势，
表明x与y呈正相关，具备一定线性相关性.
加入点P后，该点x取值较小、y取值较大，偏离整体线性趋势，
会使变量间的线性相关程度减弱.正相关时相关系数，且越趋近于1，
线性相关性越强，因此相关性减弱对应相关系数r变小.
据此判断各选项：x，y仍具有线性相关性，仅相关程度下降，A错误；
线性相关性变弱，并非变强，B错误；相关系数r变小，C正确；
变量仍为正相关，D错误.
8．答案：C
解析：∵第一组散点图的点整体呈下降趋势，两变量为负相关，∴，不符合题意；
∵第二组散点图的点整体呈上升趋势，两变量为正相关，∴，不符合题意；
观察散点图可知第一组数据的散点更贴近拟合直线，线性相关程度更强，∴，故C错误，符合题意；
∵，且，∴，不符合题意.
9．答案：BCD
解析：A：因为样本相关系数r的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确；
B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确；
C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11，
因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确；
D：根据正态分布的性质可知：σ越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确.
10．答案：ACD
解析：对于选项A，回归直线恒过样本点的中心，A正确；
对于选项B，两个变量线性相关性越强，则就越接近1，B错误；
对于选项C，线性回归方程为，则变量X每增加1个单位时，Y平均减少0.5个单位，C正确；
对于选项D，由题知，则，所以，，D正确.
故选ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A，由于ξ服从二项分布，则，故A正确；
对于B，由于ξ服从正态分布，则，
所以，则，故B正确；
对于C，当，预测值为，则样本点的残差为，故C错误；
对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D正确.
12．答案：拒绝
解析：在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平α对应的临界值时，样本数据出现的概率小于α，
属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联，
本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响.
13．答案：
解析：据题意，将取自然对数得，
与给定的经验回归方程对比，得，，所以.
因此原回归方程为.
当时，.
14．答案：5.333;不相同
解析：由列联表中数据,计算得,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关,
即两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.
15．答案：8.2
解析：由已知得,所以,①
又因为时,残差为,故,②
联立①②得；所以经验回归直线方程为,
所以,当时,.
16．答案：(1)
性别 最佳舒适温度 合计
男 100 100 200
女 150 50 200
合计 250 150 400
可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关；
(2)
解析：(1)依题意可知，女性用户共有200人，
认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，
男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为.
列联表如下：
性别 最佳舒适温度 合计
男 100 100 200
女 150 50 200
合计 250 150 400
零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关.
根据表中的数据，计算得到，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关；
(2)由(1)得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人，
故抽取2人至少有1名女性的概率为.
17．答案：（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.
（2）
X 0 1 2
解析：（1）零假设:这次成绩是否优秀与性别无关.
根据表中数据,计算得到
根据小概率值的独立性检验,推断成立,所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.
（2）X的可能取值为0,1,2.
;;;
X的分布列为:
X 0 1 2
数学期望.
18．答案：(1)补全的列联表如下：
满意 不满意 合计
资深 60 20 80
初级 70 50 120
合计 130 70 200
根据小概率值的独立性检验，推断“开发者对AI助手的满意度”与“开发者经验”有关.
(2)ξ的分布列为：
ξ 1 2 3
P
数学期望.
解析：(1)资深总人数（人），资深不满意人数（人），
初级满意人数（人），满意总人数（人），
不满意总人数（人），
完整的列联表如下：
满意 不满意 合计
资深 60 20 80
初级 70 50 120
合计 130 70 200
零假设：开发者对AI助手的满意度与开发者经验无关。
其中，
因为，根据小概率值的独立性检验，我们有充分证据推断不成立
结论：认为“开发者对AI助手的满意度”与“开发者经验”有关。
(2)在“对AI助手不满意”的70人中，资深有20人，初级有50人，
按比例分层随机抽取7人：抽取的资深开发者人数（人），抽取的初级开发者人数（人），
从这7人（2名资深，5名初级）中随机选3人，设初级人数为ξ，可能取值为1，2，3，
，，，
所以ξ的分布列为：
ξ 1 2 3
P
数学期望.
19．答案：（1）能认为学生的性别与身高有关联
（2）
解析：（1）由列联表可知,,样本容量,
代入,
已知小概率值对应临界值,
故,由小概率值的独立性检验,原假设不成立,
即可认为学生的性别与身高有关联.
（2）由样本数据,男生中身高不低于的频数为45,频率为,
抽取4次且相互独立,故,由二项分布概率公式:
,
代入,.
20．答案：(1)见解析
(2)X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
数学期望为
解析：(1)能认为“微短剧”喜好与观众性别有关，理由如下：
认为“微短剧”喜好与观众性别无关，
，
故零假设不成立，能认为“微短剧”喜好与观众性别有关；
(2)男女比例为，故抽取的8人中，男生人数为3人，女生人数为5人，
X的可能取值为1，2，3，4，
，，，
，
故分布列为
X 1 2 3 4
P
数学期望为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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