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不等式的性质-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．已知,使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
2．已知，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3．若,,则( )
A. B. C. D.
4．若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5．若,,则( )
A. B. C. D.
6．南宋时期,秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法,他在《数书九章》载有“天池盆测雨”题,使用一个圆台形的天池盆接雨水.观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半,体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积,若盆口半径为,盆底半径为,根据如上事实,可以抽象出的不等关系为( )
A. B. C. D.
7．对于实数a,b,c,下列说法正确的是( )
A.存在,使得 B.若,则
C.若,则 D.存在,使得
8．已知,下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若则
D.若,则
二、多项选择题
9．已知,,下列说法正确的是( )
A.若,,则.
B.设,,则.
C.若,则的最小值为.
D.若,则的最大值为2.
10．在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列命题正确的是( )
A.若,则或
B.若,,则
C.若,,,则的最小值为9
D.若,,则的最大值为18
三、填空题
12．若实数满足,则的取值范围是__________.
13．已知,,则的取值范围是___________.
14．已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为__________.
15．已知对于实数x,y,满足,,则的最大值为____________.
四、解答题
16．（1）已知,,求的取值范围;
（2）已知,且,求的最小值.
17．某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰,经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支,平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元）,然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点,制定了如下促销策略:若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完,则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验,降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕,且当天不再购进该种玫瑰,由于库房限制每天最多加工6箱.
（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰,在下午3点以前售出4箱,且当天售出的全部6箱被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡,则恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少
（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位:箱）,统计结果如下表所示（视频率为概率）:
t/箱 4 5 6
频数 30 x y
①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少
②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本）,求x的取值范围.
18．2025年5月25日,多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛,王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军,夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练.
(1)假设每局比赛结果相互独立,且每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,若比赛采用三局两胜制,求甲获胜的概率；
(2)若第一局甲获胜,则下一局甲获胜的概率为,若第一局甲失败,则下一局甲获胜的概率为,已知第一局甲获胜的概率为,在前两局比赛中,用X表示甲获胜的次数,求X的方差；
(3)如果每局比赛甲获胜的概率为P,且,比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择,对于甲选手来说,选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p,证明:.
20．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.某市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成频数分布表如表所示（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：
消费金额（单位:百元）
频数 20 35 25 10 5 5
（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望.
（2）该市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、 、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，
然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停
在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
（1）设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列；
（2）若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,若,由不等式的性质,可得成立,即充分性成立；
反之：若,则成立,即必要性成立,
所以是的充要条件,所以A不符合题意；
对于B,若,当时,可得；当时,可得,即充分性不成立；
反之：若,当时,可得；当时,可得,即必要性不成立；
所以是的既不充分也不必要条件,所以B不符合题意；
对于C,例如：当时,满足,此时,所以C不符合题意；
对于D,若,则,所以,可得,所以充分性成立；
反之：若,当时,可得,即必要性不成立,
所以是的充分不必要条件,所以D符合题意.
2．答案：D
解析：对于A，由可得，故，
因此，即，A正确，
对于B，，，故，B正确，
对于C，（由于，故等号取不到），C正确，
对于D，取，，则，故D错误，
故选：D
3．答案：D
解析：A选项,当时,,A错误；
B选项,当时,,B错误；
C选项,当时,,C错误；
D选项,因为,所以,又因为,所以,D正确；
故选：D.
4．答案：B
解析：当时,,A不正确；
因为,所以,即,B正确；
当时,满足,但是,C不正确；
当时,满足,但是,D不正确；
故选：B.
5．答案：D
解析：A选项,当时,,A错误;
B选项,当时,,B错误;
C选项,当时,,C错误;
D选项,因为,所以,又因为,所以,D正确;
故选:D.
6．答案：D
解析：经圆台形的天池盆补形为圆锥,则以a为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为,如图所示,
设以a为底面半径的圆锥体积为,则以b为底面半径的圆锥体积为,
以为底面半径的圆锥体积为,
则由题意,即.
故选:D.
7．答案：C
解析：对于A,,,A不正确;
对于B,当时,由,可得,B不正确;
对于C,若,则,
,,,
,两边同除以,得,C正确;
对于D,若,则,所以,D不正确.
故选:C.
8．答案：C
解析：对于A：取,,故A错误；
对于B：,则,故B错误；
对于C：则,所以,故C正确；
对于D：取,则,故D错误.
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A,若,,则,所以A不正确;
对于B,由
因为,可得,所以,
可得,所以,所以B正确;
对于C,若,可得,
当且仅当时,即时,等号成立,所以C错误;
对于D,若且,
由,即,可得,
当且仅当时,即时,等号成立,
因为,所以,
即的最大值为,所以D正确.
10．答案：ABC
解析：对于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，，则成立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，边长为1，，的三角形，满足，但，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AC
解析：A,分式不等式等价于,整理得,解得或,A正确;
B,举反例:若,满足,但,不等式不成立,B错误;
C,已知,则,
等号成立当且仅当,最小值为9,C正确;
D,设,解得,即,
已知,则,最大值为16,D错误.
12．答案：
解析：因为,所以,故,
即.
故答案为:
13．答案：
解析：因为,,则,
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得，，，
因为，故点处的切线方程为，
则，所以，
则，
结合题意可得，
所以，可得，
的取值范围为.
15．答案：7
解析：由,可得,,
因为,,
所以,故,则的最大值为7,
故答案为：7.
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,所以,
因为,所以,
所以,即的取值范围为;
（2）因为,所以,
,
当且仅当,即,时等号成立,即的最小值为.
17．答案：（1）
（2）①21天;
②,
解析：（1）设这6位顾客是A,B,C,D,E,F,
其中3点以前购买的顾客是A,B,C,D,3点以后购买的顾客是E,F.
从这6位顾客中任选2位有15种选法:,,,,,
,,,,,,,,,,
其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的有:
,,,,,,,,共8种,
则恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是.
（2）①依题意,则,
所以估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是天;
②批发店每天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:
元;
批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:
元;
批发店每天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:
,
由,解得,又,,则,
即x的取值范围为,.
18．答案：(1)
(2)
(3)五局三胜对甲有利,理由见解析
解析：(1)设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”,
则.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
,
,
.
所以期望为；
方差为；
(3)采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率,
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：
.
令,
因为时,,所以,选择五局三胜对甲有利.
19．答案：（1）函数在上单调递增;
（2）证明:依题意,抽取的20个号码互不相同的概率为,
而,同理,,,,,
因此,即,
当时,由（1）知,函数在上单调递增,
所以.
即当时,,取,得,
即,则,因此,
所以,
所以
所以.
解析：
20．答案：（1）
（2）①证明见解析
②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析
解析：（1），
因为Z服从正态分布，所以.
所以，所以X的数学期望为.
（2）①证明：棋子开始在第0格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.理由如下：
由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
.
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
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