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等式与方程-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？”( )
A.， B.， C.， D.，
2．方程组的解集是( )
A. B. C. D.
3．方程组的解集为( )
A. B. C. D.
4．若方程组的解x和y的值互为相反数，则实数k的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5．方程组有唯一的一组解，则实数m的值是( )
A. B. C. D.1
6．设关于x的一元二次方程有两个实根，，则( )
A. B. C.1 D.m
7．若m，n满足，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数q的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.当时，，
C.当时， D.当，一正一负时，
10．若关于x的方程的解集中只含有一个元素，则实数k的可能取值是( )
A. B.0 C.1 D.5
11．下列叙述正确的是( )
A.的充分不必要条件是
B.关于x的方程的解集是空集，则
C.若，则函数的最小值为2
D.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是
三、填空题
12．已知不全相等的三个实数a、b、c,满足,,,则______.
13．二元一次方程组
（1）二元一次方程及其解集：含有________________个未知数，并且未知数的最高次项的次数是________________的方程叫做二元一次方程.适合一个二元一次方程的一组________________的值组成的集合，称为这个二元一次方程的解集，此解集是________________集.
（2）二元一次方程组及其解集：共含有________________个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.各个方程的解集的________________，称为这个二元一次方程组的解集.
（3）二元一次方程组的解法：________.
（4）二元一次方程（组）与一次函数的关系：二元一次方程的解与一次函数图像上的点的坐标________________，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的________.
14．三元一次方程组
（1）共含有________________个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
（2）解法：________.
注意：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
15．小亮解得方程组的解集为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则●的值为________________.
四、解答题
16．判定集合和之间的关系.
17．求下列方程的解集：
（1）；
（2）.
18．已知，求的值.
19．求方程的解集.
20．下列等式中，哪些是恒等式？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
参考答案
1．答案：A
解析：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意，可得，解得.故选A.
2．答案：A
解析：由，得，代入，得，解得，所以.故方程组的解集为.故选A.
3．答案：A
解析：由，可得，解得，代入①，得，所以方程组的解集为.
4．答案：C
解析：由题意，可知，代入，得，所以.将，代入，得，所以.
5．答案：C
解析：由，得，代入，得到关于x的方程，由题意，可知，解得.
6．答案：C
解析：由题意知，，故.
7．答案：A
解析：由题意知m，n是方程的两个不同实根，则，，所以.
8．答案：B
解析：因为有两个不相等的实数根，所以，所以.
9．答案：AC
解析：将方程化为，由题意可知，关于x的方程有两个不相等的实数根，则，解得，故A正确；
当时，方程为，所以，，故B错误；
当时，，解得，故C正确；
当，一正一负时，，，得，故D错误.
故选AC.
10．答案：ABD
解析：由已知方程得即且.由得.若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为0和1的解，，解得，此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1，由得，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0，由得，，此时方程另一根为，满足题意.综上所述，或0或5.故选ABD.
11．答案：BD
解析：对于A，取，，
则，但得不到，
所以不是的充分条件，故A不正确；
对于B，由得，
因原方程的解集是空集，所以是增根，
即，得，故B正确；
对于C，，
但，，
所以取不到等号，故C不正确；
对于D，由不等式恒成立，
得或，
所以得.故D正确；
故选：BD.
12．答案：3
解析：先证明a、b、c均不为,若否,不妨设,由可得,
再由可得,从而有,与题设条件矛盾,
所以,a、b、c均不为0,
将三个等式,,全加可得,
因为a、b、c是不全相等的三个实数,且满足,,,
所以,,,
将上述三个等式全部相乘得,
因为,所以,
即,
因为,所以,
因为,则,,,
所以,即,
因为,
所以,
因为,故.
故答案为:.
13．答案：（1）两个；1；未知数；无限集
（2）两个；公共部分
（3）消元法
（4）一一对应；解
解析：
14．答案：（1）三
（2）消元法
解析：
15．答案：8
解析：把代入中，得，解得，的值为.
16．答案：
解析：，，.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）令，则，则，
，或.
由得，；
由得.
方程的解集为.
（2），，
或.
由得，
或.
方程的解集为.
18．答案：24
解析：，
.
19．答案：
解析：，
所以方程的解集为.
20．答案：（1）（2）（4）
解析：（1）满足加法交换律，故（1）正确；
（2）满足加法结合律，故（2）正确；
（3），故（3）错误；
（4）利用平方差公式可得正确，故（4）正确.
综上所述，（1）（2）（4）是恒等式.
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