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概率-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A.0.72 B.0.8 C.0.86 D.0.9
2．现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为( )
A. B. C. D.
3．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女的政策.假定生男孩和生女孩的概率相等，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是( )
A. B. C. D.
4．一箱产品共有12件,其中有若干件为次品,从这一箱产品中任取2件,恰有1件次品的概率为P,且,则这箱产品中次品的个数可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5．已知事件A和B互斥，满足，，则( )
A. B. C. D.
6．先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是( )
A.甲与丙 B.甲与丁 C.乙与丙 D.丙与丁
7．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
8．某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次,记前次所抛的骰子正面向上的点数之和为,是满足的前n次抛掷的情况总数,则( )
A. B.
C. D.
10．设A,B是一个随机试验中的两个事件,且,,,则( )
A.是相互独立事件 B.事件A,B互斥
C. D.
11．随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临.暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地.设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则( )
A.事件A与事件C相互独立 B.事件A与事件D相互独立
C.事件B与事件C相互独立 D.事件B与事件D相互独立
三、填空题
12．2026年春晚的机器人舞蹈表演令人印象深刻.现有一机器人从坐标原点O出发,每次等可能地向左、向右、向上、向下移动1个单位长度,总计移动3次.已知该机器人有且仅有一次途经（含到达）点,在此条件下,机器人全程仅在水平方向移动3次的概率是___________.
13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为X，在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是__________

14．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是_______________.
15．已知事件M与N相互独立,,,则________.
四、解答题
16．人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用,然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能:“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况,从该地区随机抽取了120名大学生,统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项）,统计结果如下:
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数 40 20 40 20
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.
（1）从该地区大学生中随机抽取1人,试估计此人最喜爱“视频创作”的概率;
（2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,其中最喜爱“视频创作”的人数为X,求X的分布列和数学期望;
（3）若某学生最喜爱视频创作,则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8;若最喜爱语言翻译,则超过1小时的概率为0.5;若最喜爱图像修复或智绘设计,则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人,发现他每天使用该软件超过1小时,求他最喜爱视频创作的概率.
17．某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.A等级排名占比，赋分分数区间是；B等级排名占比，赋分分数区间是；C等级排名占比，赋分分数区间是；D等级排名占比，赋分分数区间是；E等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；并估计这100名学生原始成绩的平均分；
(2)现用分层随机抽样的方法，从这100名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求这2人原始成绩均在的概率；
(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）.
18．某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站,按照自南向北依次编号为1,2,…,n.为测试数据回传系统,控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这n个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为X,第二次指令选中的气象站编号为.
（1）若两次指令选中同一个气象站,则会引发“数据重载”;若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧,则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率;
（2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况,将X与Y中的较大值记为U（即相对偏北的站点编号）,将X与Y中的较小值记为V（即相对偏南的站点编号）.
（ⅰ）记两次指令的选中编号之和为S,即,求;
（ⅱ）定义两次指令的空间跨度,证明:.
（参考公式:）
19．某校高一年级进行数学单元测试（满分120分），随机抽取了50名学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求x的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)从，这两组成绩中分别选2名和4名学生，再从这6名学生中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
20．某技术部门招工有四项考核，已知每个应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过这四项考核，只要有一项考核不通过就被淘汰.
（1）求应聘者被淘汰的概率；
（2）求应聘者在通过第一、三项考核的情况下仍被淘汰的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：设“种子发芽”为事件A，“幼苗成活”为事件B，则，，所以随机抽取一粒种子，这粒种子能成长为幼苗的概率.
2．答案：D
解析：设事件M表示“两根筷子都是红色的”，则.设事件N表示“取到的筷子中有红色的”，则.由事件的包含关系可知，所以.
3．答案：D
解析：设“这个家庭有女孩”为事件A，“这个家庭有男孩”为事件B，{（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}，{（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女）}，故所求概率为.
4．答案：A
解析：设这一箱产品中有n件次品,服从超几何分布,
则从这一箱产品中任取2件,恰有1个次品的概率,
又因为,所以,
即,解得或,
又因为,所以这箱产品中次品件数可能为3或9,结合选项A正确.
5．答案：C
解析：已知，，
所以，整理得，解得.
因此.
6．答案：B
解析：先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果.
第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故，
第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故，
两次点数之和为8有共5种等可能结果，，
两次点数之和为7有共6种等可能结果，，
对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故，
又，
所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误；
对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故，
又，
所以，所以甲与丁相互独立，故B正确；
对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故，
又，
所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误；
对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故，
又，
所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误.
7．答案：B
解析：记甲、乙能破译密码分别为事件A，B，
由题意可知：，，可得，，
所以这份密码被成功破译的概率为.
故选：B.
8．答案：D
解析：设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,
则,
,
所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A,表示前2次抛掷点数之和的所有情况总数,
列举得共种情况,即,故A正确;
对于B,前3次抛掷的总可能情况数为,表示前3次抛掷点数之和,
要满足,则的可能取值为,
当时,组合为,只有种情况;
当时,组合为的排列,即,共种情况;
当时,组合为的排列和的排列,共种情况;
当时,组合为的排列、的排列以及,
共种情况;
即满足的情况数共有种,则,故B正确;
对于C,表示前3次抛掷点数之和,表示前4次抛掷点数之和,
则表示第4次抛掷的点数,设第4次抛掷的点数为,则有,
则的可能取值为,的情况包括3,4,5,6,共4种,总情况数为6,
因此,即,故C错误;
对于D,设分别表示第i次抛掷的点数,其中,
是满足的所有抛掷情况总数,
即求的正整数解的个数,其中,
令,则且,则不等式变为,
即,
不考虑的限制,计算的非负整数解的个数
等价于的非负整数解的个数,其中是剩余量,
根据隔板法,解的个数为,
接下来排除违反的限制的情况,这意味着存在,由于总和是6,
因此只存在一个,其余,这种情况有6种,
因此,满足条件的情况总数为,即,故D正确.
10．答案：AC
解析：对于A,由,
解得,所以,所以是相互独立事件,所以A正确；
对于B,若互斥,则,由A项知,所以不互斥,所以B错误；
对于C,因为,且与互斥,
根据互斥事件的概率加法公式,可得,
所以,所以C正确；
对于D,根据条件概率的公式,可得,
因为,,
可得,所以,所以D错误.
11．答案：AC
解析：甲乙两人各从4个城市选一个，则有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州），
（漳州，龙岩），（漳州，漳州），（漳州，厦门），（漳州，泉州），（厦门，龙岩），（厦门，漳州），
（厦门，厦门），（厦门，泉州），（泉州，龙岩），（泉州，漳州），（泉州，厦门），（泉州，泉州）16种等可能的情况.
甲选龙岩共有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州）4种，.
乙选择龙岩或厦门共（龙岩，龙岩），（龙岩，厦门），（漳州，龙岩），（漳州，厦门），（厦门，厦门），
（厦门，龙岩），（泉州，龙岩），（泉州，厦门）8种，.
两人选同城市共（龙岩，龙岩），（漳州，漳州），（厦门，厦门），（泉州，泉州）4种情况，.
至少一人选龙岩，共（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州），（漳州，龙岩），
（厦门，龙岩），（泉州，龙岩）共7种情况，.
选项A.是"甲选龙岩且两人同城市"，即（龙岩，龙岩），，，
满足，正确.
选项B.，，不相等，错误.
选项C.是"乙选龙岩/厦门且两人同城市"，即（龙岩，龙岩）、（厦门，厦门），，
，
满足，正确.
选项D.共5种，即乙选龙岩时4种加乙选厦门甲选龙岩1种，，，
不相等，错误.
12．答案：
解析：设事件“有且仅有一次途经（含到达）点”,
事件“仅在水平方向移动3次”,
按移动到点位置需要1步还是3步分类讨论,记向左,向右,向上,向下;
若第1步到为事件,第2步有4种走法,第3步有3种走法,可以满足机器人有且仅有一次途经（含到达）点,
即;
若第3步到为事件,则移动3次满足要求的是,共5种走法,
所以;
因为,且互斥,
所以;
满足的情况有,共3种走法,
所以;
所以.
13．答案：
解析：记Y表示向右的次数，则Y服从二项分布，
此时质点对应的数，
记“”为事件A，，，
于是：，
记事件“有且仅有一次经过1”为B，
则事件的情况有：，，，，（其中R表示向右走，L表示向左走），共5种，
则，于是.
14．答案：0.88
解析：因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，
所以两人均没有击中目标的概率为，
所以至少有1人击中目标的概率是.
15．答案：0.85
解析：因为事件M与N相互独立,故,由,
可得;
故.
16．答案：（1）
（2）分布列为:
X 0 1 2
P
（3）
解析：（1）设从该地区的大学生中随机抽取1人,此人选择“视频创作”的事件为A,
用频率估计概率,则.
（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为,
所以X的所有可能取值为0,1,2,
,,,
所以X的分布列为:
X 0 1 2
P
,
（或,则）;
（3）定义以下事件:抽取学生喜爱的视频创作;:抽取学生喜爱的图像修复;
:抽取学生喜爱的语言翻译;:抽取学生喜爱的智绘设计;
B:学生每日使用软件超过1小时.
由题意得
,,,,
,,,
由
得
.
每天使用该软件超过1小时,他最喜爱视频创作的概率为
.
17．答案：(1)，平均分为71分
(2)
(3)74分
解析：(1)由频率分布直方图可知，组距为10，则，解得，
即，所以，
这100名学生原始成绩的平均分为：
分.
(2)原始成绩在区间，，的频率分别为：，，，
对应的人数分别为人，人，人，
采用分层随机抽样抽取6人，抽样比为.则在区间，，中抽取的人数分别为2人，3人，1人，
记抽取的6人中，成绩在的3人为A，B，C，其余3人为d，e，f.从6人中随机抽取2人，
总的基本事件数为，
设“这2人原始成绩均在”为事件M，则事件M包含的基本事件数为.所以，
(3)由题意可知，B等级及以上（含B等级）的排名占比为，
即需要估计原始分的前的分数线，
由直方图可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
因为，所以B等级及以上的原始分分数线位于区间内，
设原始分不少于x分才能达到赋分后的B等级及以上，则，解得，
所以，
因为结果保留整数，且分数需不少于该值，
所以估计该校本次化学成绩原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）;
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）根据题意,X与Y均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择,因此组合的所有可能结果共有种,且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”,即.此时可以是,,…,,共n种情况.故.
设事件B为“顺向传输”,即.在种总情况中,除去的n种情况,剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知,包含的情况数均为种.故.
（2）（ⅰ）由于且,对于任意一对实数,其最大值与最小值之和永远等于这两数之和,因此恒等式成立,即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性,有:.对于离散型均匀分布的随机变量X和Y,其可能的取值为1,2,…,n,对应的概率均为.
故.
因此,.
（ⅱ）证明:依题意,.所有可能的取值为0,1,2,…,.当时,对应,概率为.当时,满足的站点对有两类组合方式:
第一类,此时为,,…,,共种;
第二类,此时为,,…,,共种;
即有种基本事件组合.所以,.
,
而,因为且,显然.
所以,.
19．答案：(1)，中位数为65
(2)
解析：(1)由题意得，解得；
在频率分布直方图中前两组频率和为，
第三组频率为，所以中位数在第三组，
设中位数为x，则中位数为；
(2)记在这一组内选的2名学生为a，b，在这一组内选的4名学生为C，D，E，F，
从6人中任取2人有，，，，共15种选法，
其中抽取的2人恰好都在有，，共6种选法，
所以所抽取的2人恰好都在这组的概率为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件“应聘者最终通过考核”，分别表示应聘者通过第一、二、三、四项考核，
则，，，.
因为各项考核是相互独立的，
所以，
因此应聘者被淘汰的概率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为
.
所以通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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