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函数及其性质-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．已知函数则( )
A.0 B.1 C.2 D.
2．下列函数中,是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
3．已知是定义在R上且周期为2的奇函数，当时，，则( )
A. B.1 C.-1 D.
4．设函数，若，则( )
A.-1 B.0 C.2 D.4
5．下列说法正确的是( )
A.，对应关系是A到B的函数
B.和表示同一函数
C.若函数的定义域为，则函数的定义域为
D.函数的值域是
6．设函数,则( )
A. B. C. D.
7．已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则( )
A. B.1 C. D.
8．已知的展开式中的的系数是280，则( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
二、多项选择题
9．是定义在R上的偶函数,当时,,则下列说法中错误的是( )
A.的单调递增区间为
B.
C.的最大值为4
D.的解集为
10．下列说法正确的有( )
A.式子可表示y关于x的函数
B.函数的图象与直线的交点最多有1个
C.函数，则
D.与是同一函数
11．下列图象中可以作为函数图象的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．函数的定义域为________.
13．函数的最大值为_________.
14．若函数是偶函数，则____________.
15．已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时,,则________.
四、解答题
16．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
17．已知函数，，.
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程.
18．已知
（1）画出的图象;
（2）若,求x的值;
（3）若,求x的取值范围.
19．已知函数的图象经过点.
（1）求的解析式,并用定义其在上证明的单调性;
（2）求在上的值域.
20．已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明.
参考答案
1．答案：D
解析：因为
所以，.
2．答案：D
解析：选项A:设,定义域为R,关于原点对称,
,是偶函数,A错误.
选项B:设,定义域为,关于原点对称,
,
且,为非奇非偶函数,B错误.
选项C:设,定义域为R,关于原点对称,
,是偶函数,C错误.
选项D:设,定义域为R,关于原点对称,
,是奇函数,D正确.
3．答案：C
解析：根据题意， .
4．答案：C
解析：若，则，则，无解，舍；
若，则，得，
则
5．答案：C
解析：对于A，，对应关系，
当时，，不满足函数定义，故A错误；
对于B，定义域为，定义域为，
定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为，则函数需满足，
即，故函数的定义域为，故C正确；
对于D，函数是对勾函数，
当时取最小值，故最小值不是3，故D错误.
6．答案：B
解析：.
因为,所以.
所以
故选:
7．答案：A
解析：由是定义在R上的奇函数,得,
故,当时,,
所以,
8．答案：A
解析：二项式的展开式的通项为，其中.
令，解得，则项的系数为.
∵，，且已知的系数为280，
∴，即，解得.
9．答案：ABD
解析：A.两个单调区间中间要用和分开,故A错误;
B.因为是定义在R上的偶函数,所以,
又在上单调递减,则,故B错误;
C.当时,,最大值为4,
又因为是偶函数,所以的最大值为4,故C正确;
D.如图所示:的解集为,故D错误.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A，由有意义可得，，所以，
又对于任意的，存在唯一的y与之对应，所以A正确；
对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应，
所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确；
对于C，，
故，，故C错误；
对于D，函数与有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确.
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：根据函数的定义,对于B中存在一个x的值,y有两个值与之对应,所以不是函数图象,
ACD符合函数定义.
故选:ACD.
12．答案：
解析：要使函数有意义,所以,解得
所以函数的定义域为.
13．答案：1
解析：因为函数,
当,则,当且仅当时,等号成立;
当,则;
综上所述:函数的最大值为1.
14．答案：5
解析：
由题意知，函数的对称轴是y轴，所以，得，，
所以.
15．答案：
解析：由函数周期为2,根据周期函数性质:对任意,有,
可得:,
由是定义在R上的奇函数,根据奇函数性质:,可得:,
由于,代入已知区间的解析式,得:,
因此.
16．答案：（1）且
（2）且且
解析：（1）由得，
函数的定义域为且.
（2）由得且，
函数的定义域为且且.
17．答案：(1)；
(2).
解析：(1)因为，则，
所以，解得，所以，；
(2)因为，则，所以，，，
因此，在处的切线方程为，即.
18．答案：（1）作图见解析
（2）
（3）
解析：（1）函数的对称轴,当时,;当时,;
当时,,则的图象如图所示.
（2）,
由题意可得:当或时,无解;
当时,由,可得,
解得.
（3）由于,结合此函数图象可知,
使的x的取值范围是
19．答案：（1）,证明见解析
（2）
解析：（1）因为的图象经过点,
所以,解得,所以;
在上单调递减,证明如下:
任取,则,
因为,所以,,
所以,则,即,
所以在上单调递减;
（2）由（1）知在上单调递减,
因为,,
所以在上的值域为.
20．答案：(1)
(2)时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减
(3)见解析
解析：(1)当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减；
又，故.
(2)的定义域为，.
若，则当时，，故在上单调递增，
若，则当时，；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减；
(3)证明：由(2)知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，
当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即.
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