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等差数列-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．已知等差数列的前n项和为.若，，则的最小值为( )
A.-12 B.-15 C.-16 D.-17
2．已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为( )
A.127 B.192 C.235 D.747
3．已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则( )
A. B. C. D.
4．“”是“数列为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5．记等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.9 B.36 C.45 D.54
6．已知数列（非常数列）前n项和为,为等差数列,,,且,,成等比数列,则的值为( )
A. B.80 C.81 D.90
7．一个等差数列的首项为,从第10项起各项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．已知是公差不为零的等差数列,,若成等比数列,则( )
A. B. C.16 D.18
二、多项选择题
9．设等差数列的前n项和为.若，，则( )
A. B. C. D.
10．已知为等差数列的前n项和,,,,则( )
A. B. C. D.
11．记数列的前n项和,已知（且）,则( )
A. B.是等比数列
C.是递增数列 D.若,则
三、填空题
12．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____________.
13．已知数列中,,则______________．
14．数列满足,且,则_____________.
15．已知数列与的前n项和分别为，，且， ，，，则的取值范围是____.
四、解答题
16．设数列的前n项和为,且,,设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求;
（3）设数列的前n项和为,求.
17．已知等差数列的前n项和为,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,令,求数列的前n项和.
18．已知数列的前n项和为,且数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足为数列的前n项和,求.
19．已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程.
(2)若有3个不同的零点.
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若成等差数列,求该数列的公差d
20．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，可求得，，
，故时取的最小值为-16.
2．答案：D
解析：设数列的前n项和为，
因为，
所以
.
3．答案：C
解析：已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列，
通项为，已知，则，解得，故，
故，则是首项为4，公差为3的等差数列，
故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1，
故公共项为，，，..，即，则.
4．答案：B
解析：必要性验证:若数列为等差数列,根据等差中项的性质:对任意,若,则,
令,可得,故必要性成立;
充分性验证:若仅满足,无法推出数列为等差数列,
例如构造数列:1,1,2,3,3,此时,,满足,但该数列相邻项差值不恒定,不是等差数列,故充分性不成立,
因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件.
5．答案：C
解析：由题意知，，，是等差数列，即6，15，是等差数列，
则，得.
6．答案：B
解析：因为为等差数列,,
所以数列的首项为,设其公差为d,
则,
所以,
所以,,,
又因为,,成等比数列,
所以,
即,
解得或,
当时,,
当时,,
所以,为常数数列,不满足题意,故舍去;
当时,,
当时,,
所以,不是常数数列,满足题意,
所以,
所以,
所以.
7．答案：D
解析：由题意可得
即,
解得.
8．答案：C
解析：设等差数列的公差为,
因为成等比数列,且,
所以,即,解得或（舍去）,
所以.
故选:C.
9．答案：BC
解析：设等差数列的公差为d，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
10．答案：ACD
解析：A选项,因为是等差数列,且,,所以,,
所以,所以A选项正确；
B选项,由A选项解析得：,,则,所以B选项错误；
C选项,,所以,,则,所以C选项正确；
D选项,因为,所以是以首项为,公比为4的等比数列,
所以,所以D选项正确.
11．答案：BC
解析：A选项,,,
故,A错误；
B选项,且,当时,,
当时,,
显然时,满足,综上,时,,
,为公比为q的等比数列,B正确；
C选项,由B知,,
若,则,由,故,是递增数列；
若,则,由,故,是递增数列；
综上,是递增数列,C正确；
D选项,若,则,即,,
且,解得,D错误.
12．答案：-2
解析：由题意得，，，故，，
因为为等比数列，所以，解得，
又因为，，所以与同号，即，
故.
故答案为：-2.
13．答案：195
解析：因为,
所以,
所以,
所以数列是等差数列,首项为6,公差为3,
所以.
14．答案：
解析：对递推式两边同乘,可得,
设,则,因此是首项,公差的等差数列,
根据等差数列通项公式得：,
因此,即,将代入得：.
15．答案：中，对应的那些值
解析：当时，得，因为，所以，
当时，，，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以
，
因为数列为递增数列，所以，又，
所以的取值范围是.
故答案为：中，对应的那些值.
16．答案：（1）
（2）4117
（3）
解析：（1）在中,
令,得,即.
由,得,
以上两式相减,得,即,
所以,
又,所以,
所以数列是首项为4,公比为4的等比数列.
所以,即.
（2）由（1）得,
因为,,
所以,都是中的项.
因为,,
所以数列的前1024项是由数列的前1030项去掉数列的前6项后构成的,
即.
（3）由（1）（2）得,
,
设数列的前项和为,
则,
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,
则由,
可得,解得
因此.
（2）由（1）知,①
,②
①-②得:
,
.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题知,则,
所以.
当,
又也符合,所以.
（2）,
所以,
.
19．答案：(1)
(2)（i）；（ii）
解析：(1)当时,,
当时,,所以.
又,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)（ⅰ）当时,由得单调递增,且.
当时,,
若,因为,所以,即在上单调递增,且,
从而在R上单调递增,不可能有3个零点,不符合题意,
若,令,可得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
又当时,当时,
所以要使有3个零点,则,即,解得.
所以实数a的取值范围为
（ⅱ）由题可知,,,
所以,
则①,②.
设公差为,即,
由①可得,,由②可得,,
则,化简得,解得（负值舍去）,
即公差.
20．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)由题意及(1)得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
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