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函数的应用-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．函数的零点是( )
A.2 B. C. D.2或
2．的零点为( )
A. B. C. D.
3．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
4．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
5．甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节,奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后,血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后,进入消除期,其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度,k为消除速率常数）．根据临床数据,某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值,服用10小时后血药浓度降至峰值的50%,则k的值大约为( )（参考数据：,）
A.0.087 B.0.076 C.0.0693 D.0.092
6．已知某放射性同位素的含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，t的值约为( ).附：.
A.23 B.33 C.45 D.62
7．某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据上表数据,函数①,②,③,④.能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是( )
A.① B.② C.③ D.④
8．函数的零点个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.函数的零点是
B.若定义在上的函数满足,则为增函数
C.函数的定义域为R,则
D.已知函数,则值为
10．实验室测试发现，某款手机的应用启动时间t（单位：ms）与系统资源占用率x（单位：，）近似满足函数关系.下列关于函数的说法，正确的有( )
A.函数在区间上有2个极值点
B.函数在区间上单调递增
C.函数的图象与直线有3个不同的交点
D.直线与函数的图象相切
11．已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是( )
A.的最小正周期为8 B.
C.的图像关于点中心对称 D.在区间内的零点个数为1
三、填空题
12．已知函数在区间上恰有两个零点,则的取值范围是__________.
13．若关于x的方程在区间上有实数根,则a的取值范围为__________.
14．已知函数则的零点之和为_____________.
15．若函数在区间上恰有两个零点，则ω的最大值是________.
四、解答题
16．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式.
17．经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以x（单位：t,)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为x的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
18．已知函数，.
(1)求φ；
(2)若，求的最小值；
(3)求函数的单调区间.
19．某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚后以30元/个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完.
(1)若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润y（单位：元）关于当天蛋糕需求量n（单位：个，）的分段函数关系式；
(2)蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：
日需求量n 17 18 19 20 21 22 23
频数（天） 10 20 20 14 13 13 10
日利润 x y z a a a a
（i）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求x，y，z，a及这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率.
20．已知函数，，m为常数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)讨论函数零点的个数；
(3)若函数有两个不相等的零点，，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意令,因为,所以,即.
故选：A.
2．答案：B
解析：令,得：,
即,
两边取自然对数,得：.
故选：B
3．答案：D
解析：根据题意，令，，则，
根据指数函数的图象性质，可知在R内单调递减，
根据一次函数的图象性质，可知在R内单调递减，
所以为R上的减函数，
又，，
所以的零点所在区间是.
故选：D
4．答案：C
解析：因为，在定义域R内单调递增，
可知函数在定义域R内单调递增，
所以函数至多有一个零点，
又因为，，
所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是.
5．答案：A
解析：某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值,即进入消除期,
则,
得,
得,
故选：A.
6．答案：D
解析：由题意得，即，
两边取对数得，即，
解得.
7．答案：B
解析：根据上表数据,西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数,也不是单调函数,
而,,,在时,均为单调函数,这与所提供的数据不符,
故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是,
故选:B
8．答案：B
解析：函数的定义域为R,由,得,
令,,当时,函数在上都单调递增,
则函数在上单调递增,,
函数在上有唯一零点,即方程在有唯一解;
当时,对两边取对数,得,即,
而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点,
显然或时,等式成立,因此直线与对数函数的图象有两个交点,
即方程在有两解,所以函数的零点个数为3.
9．答案：AD
解析：A选项,令,解得,所以函数的零点是,故A选项正确；
B选项,根据增函数的定义可知,若定义在上的函数满足,则不一定为增函数,故B选项错误；
C选项,函数的定义域为R,,
当时,符合题意,当时,,解得,
综上,,故C选项错误；
D选项,, ,故D选项正确；
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：因为，，所以.
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在和处取得极值.
对于A，由以上分析，得函数在区间上有2个极值点，故A正确；
对于B，由以上分析，得函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数.
方程可化为，方程只有2个不同的实数根和，
所以函数的图象与直线只有2个交点，故C错误；
对于D，因为，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
所以直线与函数的图象相切，故D正确.
11．答案：BD
解析：对于A，由题可知该函数的最小正周期，A错误；
对于B，因为，所以，
将代入得，
而，B正确；
对于C，由B选项可知，
所以的图象不关于点中心对称，C错误；
对于D，由题可知，，因为，所以，
所以，，则，，
令，则，即，
所以，，所以，，
因，则，即得函数在区间内的零点只有2，
故在区间内的零点个数为1，D正确.
12．答案：
解析：函数在区间上恰有两个零点,
则在区间上有两个实数解,
由可得,
又,故有在上有两个不同的实数解,
而当时,,所以,
解得,即的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：
解析：原题条件等价于方程在区间上有实数根,
故只需求函数的值域,求导得,
当,时,,当时,,
所以函数在,上单调递减,在上单调递增,注意到,,
,,即函数的值域为,所以a的取值范围为.故答案为.
14．答案：1
解析：当时,令,得;
当时,令,得,
所以的零点之和为.
15．答案：
解析：，
由可得，
因为，，则，
因为函数在区间上恰有两个零点，则，解得.
故ω的最大值为.
16．答案：
解析：由题意，对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资万元，
所以销售甲种商品所得利润是万元，销售乙种商品所得利润是万元，
所以总利润y关于x的函数关系式为：.
17．答案：(1)
(2)0.7
解析：(1)由题意得,当时,,
当时,,
.
(2)由(1)知,利润T不少于57000元,当且仅当.
由直方图知需求量的频率为0.7,
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
18．答案：(1)
(2)
(3)单调递增区间为，，单调递减区间为，
解析：(1)由题得，
则，，由，得，.
(2)由(1)得，由，
得，，则.
故的最小值为.
(3)
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，.
由，，
得，，
所以的单调递减区间为，.
19．答案：(1)
(2)（i），，，，平均数937；（ii）0.7
解析：（1）当日需求量时，利润；
当日需求量时，利润；
利润y关于当天需求量n的函数解析式
（2）（i）由（1）得，，，，
这100天的日利润的平均数为：
，
（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19个，
故当天的利润不少于900元的概率为.
20．答案：(1)
(2)当或时，有0个零点，
当时，有1个零点，
当时，有2个零点.
(3)见解析
解析：(1)
令，则
，，
当时，，
所以的值域为.
(2)令，则，，
当或时，有0个零点，
当时，有1个零点，
当时，有2个零点.
(3)函数在区间上有两个不相等零点，
所以，是方程的两个不相等的实根；
，
即
，
，，
在上单调递减，，
即.
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