资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量的实际背景及基本概念-2027届高考数学一轮复习专题特训
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等 B.若，，则
C.零向量没有方向 D.若，则
2．下列各量属于向量的是( )
A.速度 B.质量 C.距离 D.电流
3．在中，，则是( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
4．已知点,,则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.
5．下列说法不正确的是( )
A.单位向量的模一定相等
B.若,则
C.在等边三角形中,与的夹角为
D.若,则平面四边形一定是平行四边形
6．设，为非零向量，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．下列结论中不正确的是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,则 D.
8．已知点O固定，且，则A点构成的图形是( )
A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若,则与的长度相等且方向相同或相反
B.向量的长度与向量的长度相等
C.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
D.若与同向,且,则
10．下列有关向量命题，不正确的是( )
A.若，则
B.已知，且，则
C.若，，则
D.若，则且
11．关于平面向量,下列说法正确的( )
A.若,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
三、填空题
12．已知,求与向量方向相同的单位向量为______________.
13．给出下列命题:
①若,则或;
②向量的模一定是正数;
③起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
④向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一直线上.
其中正确命题的序号是___________.
14．在中,,,则的最小值为_____.
15．设点，，.若，则mn的值为_____________.
四、解答题
16．已知四边形ABCD的顶点分别为，，，，求证：四边形ABCD是平行四边形.
17．已知向量,.
(1)求与垂直的单位向量的坐标；
(2)若,求的坐标；
(3)若,求与的夹角的余弦值.
18．在如图的方格纸中,小方格的边长为1,画出下列向量.
(1),点A在点O的正西方向；
(2),点B在点O的北偏西方向；
(3)根据(1)(2),作出向量并求出的值.
19．已知向量与的夹角为,且,.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角.
20．已知平面向量,其中.
（1）若为与方向相同的单位向量,求的坐标;
（2）若且与垂直,求向量夹角的余弦值及向量在向量上的投影向量的坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：A选项：单位向量的模长都为1，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；
B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；
C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；
D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确.
2．答案：A
解析：向量是既有大小又有方向的量,
质量,距离,电流只有大小,没有方向,属于标量,
速度既有大小,又有方向,属于向量,故选项A正确.
3．答案：D
解析：在中，，则是等边三角形.
4．答案：D
解析：,,,则,
因此,与向量方向相反的单位向量是.
故选:D.
5．答案：B
解析：对于A,单位向量为模为1的向量,故A正确;
对于B,若,由于方向不确定,故不一定相等,故B错误;
对于C,在等边三角形中,与的夹角为,故C正确;
对于D,若,则平面四边形一定是平行四边形,故D正确.
6．答案：B
解析：若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
7．答案：B
解析：对A,当中至少有一个为零向量时,成立,
当都为非零向量时,由知或,
所以,综上,A正确;
对B,若为零向量时,满足,,
但是不一定成立,故B错误;
对C,,
所以,即,故C正确;
对D,因为
,
所以,所以,故D正确.
8．答案：C
解析：因为，
所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上，
故A点构成的图形是一个圆.选C.
9．答案：BC
解析：A:向量的模相等只能说明长度相等,但方向可以任意,不一定相同或相反,错;
B:向量和的长度都等于线段AB的长度,因此相等,对;
C:两个相等的向量具有相同的长度和方向,若起点相同,则终点必然重合,对;
D:由向量的性质知,向量不能比较大小,错.
10．答案：AB
解析：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；
若，且，即，则，或，B错误.
故选：AB.
11．答案：BD
解析：对于A,向量既有大小,又有方向,因此向量不能比较大小,A错误；
对于B,相等向量是共线向量,B正确；
对于C,当时,可以是任意向量,因此不一定共线,C错误；
对于D,由,,得,D正确.
12．答案：
解析：由,得,所以,与向量方向相同的单位向量是.
故答案为：.
13．答案：③
解析：①错误.由仅说明与模相等,但不能说明它们方向的关系.
②错误.的模为零.
③正确.对于一个向量,只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的.
④错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反即可,并不要求两个向量,必须在同一直线上.
故答案为:③
14．答案：/0.8
解析：由可得,
两边平方得:,又,
所以,即,
所以,所以,
由,根据正弦定理角化边得,所以,
所以,
故答案为:.
15．答案：15
解析：，，，
，
解得
.
故答案为：15.
16．答案：证明见解析
解析：证明：由题意知，，，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形.
17．答案：(1)或
(2)或
(3)
解析：(1)设与垂直的单位向量的坐标为,所以,
解得或,
即与垂直的单位向量的坐标为或.
(2)因为,设,则,
解得.
因此或.
(3)因为,所以,
解得,
设与的夹角为,所以,
即与的夹角的余弦值为.
18．答案：(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析,
解析：(1)因为,点A在点O的正西方向,故向量如图所示.
(2)因为,点B在点O的北偏西方向,故向量如图所示.
(3)向量如图所示,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因.
则,
故.
(2)因,
,
由
因,则.
故与的夹角为.
20．答案：（1）
（2）,
解析：（1）设,,
由得.
解得.所以.
（2）因为与垂直,所以,
即.
又因为,,
所以,
所以向量夹角的余弦值.
向量在向量上的投影向量的坐标为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑