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1.3二次函数的性质同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．抛物线与轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
3．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（ ）
A．x1=-，x2= B．x1=，x2=
C．x1=2-，x2= D．x1=，x2=
4．对于二次函数（），下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根
C．若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3
D．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．该函数有最大值
D．当时，
6．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（ ）．

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．可能只有一个实数根
7．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
9．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________；
10．已知抛物线过两点，，且，则_____．
11．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的另一个根是；
④b的取值范围为，其中正确结论的有______．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式．
14．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数”
(1)判断二次函数是不是“邻交函数”
(2)若二次函数是“邻交函数”，求的值．
(3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值．
15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值．
(1)求抛物线的解析式；
(2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值．
16．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点．
(1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集．
17．若抛物线（）经过点，．
(1)求与之间的关系式．
(2)若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围．
(3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：．
18．已知二次函数（为常数）．
(1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值；
(2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围；
(3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值．
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．D
5．D
6．A
7．C
8．D
9．
10．2
11．
12．②③④
13．【详解】（1）解：二次函数的图象过点，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴．
（2）解：由（1）知，
故二次函数转化为，
则，
∵函数的最大值为，
∴二次函数图象开口向下，即，且，
整理，得，
解得或（舍去），
故．
故抛物线的解析式为．
14．【详解】（1）解：在中，当时，，
解得，
∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为，
∵，
∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1，
∴二次函数是“邻交函数”；
（2）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1，
设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
综上所述，；
（3）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1，
在中，当时，，
解得，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，t有最大值，最大值为9．
15．【详解】（1）解：在抛物线中，，
故函数最小值在顶点处取得，
由题意得顶点横坐标为，
∴，即，
解得；
把点代入解析式得；
故抛物线解析式为；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，显然，
等式两边同时除以得：，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
16．【详解】（1）解：将点，点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
将点代入得：，
∴正比例函数的解析式为，
令，
解得：或，
当时，；当时，；
∵为点的坐标，
∴的坐标为．
（2）解：由（1）可得：，
∴，即，
∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，
∴．
17．【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和，
∴对称轴，
∴；
（2）解：将代入抛物线解析式得，
又由（1）知，
∴，
∴，
将该抛物线向下平移1个单位，得，
∵此时与轴没有交点，
∴开口向下，即，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)证明：∵，
∴，
∴，
∴，即
∵
∴
∴，
∵对于任意的，满足时，都有
∴
18．【详解】（1）解：，且二次函数的顶点的纵坐标为3，
，解得或．
二次函数图象的对称轴在轴的右侧，
∴对称轴，即，
的值为4．
（2）解：由（1）知：，
抛物线的解析式为．
当时，，即．
又，
抛物线的对称轴为直线．
若对于，都有，
则，解得．
（3）解：对于任意实数，都有，
整理，得．
该不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点，
判别式，即．
．
此时二次函数为，且与轴的交点分别为，．
由题意知轴，且，
设点，点，
解得
当时，，即．

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