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25.3 实际问题与一元二次方程
第三课时 循环问题
学习目标及重难点
1.在探究过程中正确找到数量关系，建立一元二次方程;
2.通过解决“循环问题”，体验建立方程模型解决问题的一般过程;
3.体会一元二次方程的数学模型作用，增强应用意识和应用能力.
问题：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
回到本章第一节中的排球邀请赛问题.
探索一：循环问题
问题：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
第1队
···
其他个参赛队
第2队
第3队
第队
分析: 设应邀请 支球队参赛，
每支球队要与其他支球队各赛1场，
则此次邀请赛共需进行 场.
问题：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
解: 设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程
整理并化简，得
解方程，得 （不合题意，舍去）
因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.
单循环问题
解：设共有 人参加聚会，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：共有 个人参加聚会．
随堂小练习
个人参加聚会，每两人都握 次手，所有人共握手 次，共有多少人
探究1：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算的对吗？为什么？
分析：双循环比赛是指参赛所有参赛彼此间进行两场比赛. 如果有
支球队参赛，那么比赛的总场数为
假设这个算得对，即支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么
解方程，得
由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算的不对.
双循环问题
元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有 名学生，那么所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
D
随堂小练习
探究2：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
边形一共可以作 条对角线.
解：设这个凸多边形为 边形，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：这个凸多边形为 边形．
探究2：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
解：假设存在有18条对角线的凸多边形，即 边形共有18条对角线,那么
解方程，得
由于 不是完全平方数，所以 不可能为整数.
因此，不存在有18条对角线的凸多边形．
类型 特点 常见实际问题 个元素情况下的循环总次数
单循环问题 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题
双循环问题 每两个元素之间算两次 互赠贺卡
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸边形对角线条数问题
1.某次同学聚会上，每人都向其他人赠送一份礼品，小丁同学因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学都给小丁送了礼品，所有同学共送出份礼品，求到现场参加聚会的人数.设到现场参加聚会的同学有 名，根据题意列出的方程是（　A　）
A. B.
C. D.
A
习题1
2. 已知一个凸多边形的对角线条数是 14，那么这个多边形的边数是________.
7
习题2
A1
A2
A3
An–1
An
3.某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八（6）班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队方式.设八（6）班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式： .
　
习题3
4.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手，则所有参加会议的人共握手20次.参加这次会议的专家有多少人
解：设参加这次会议的专家有 人.
根据题意，得
解得 (不合题意，舍去)，.
答：参加这次会议的专家有 人.
习题4
5. 2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛．
(1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了_______场比赛．
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 的值．
10
习题5
5. 2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛．
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 的值．
习题5
解：根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：如果北区第一阶段比赛总场数为20场， 的值为5．
类型 特点 常见实际问题 个元素情况下的循环总次数
单循环问题 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题
双循环问题 每两个元素之间算两次 互赠贺卡
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸边形对角线条数问题

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