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第21章 二次函数与反比例函数
【新教材沪科版】
知识点 二次函数的概念
一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0.
二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
知识点 二次函数y＝ax2的图象和性质
1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.
2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
知识点 二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法
（1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
（，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小
（，） 轴 ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
2. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象．
知识点 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为．
2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
函数图像
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小
最值 当时, 当时,
知识点 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与系数的关系
二次函数的图象特征与的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
a(开口方向) 抛物线开口向上
抛物线开口向下
b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号
对称轴在y轴左侧，即 a、b同号
c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点
交于y轴正半轴
交于y轴负半轴
(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式：；
关于x轴对称的抛物线的解析式：．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式：；
关于y轴对称的抛物线的解析式：．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
关于顶点对称的抛物线的解析式：；
关于顶点对称的抛物线的解析式：．
知识点 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
（示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
知识点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．
知识点 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
二次函数 的图像
一元二次方程 的根 ， 没有实数根
不等式 的解集 的一切实数 全体实数
不等式 的解集 无解 无解
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数
使用配方法，则当时，y有最大（小）值．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
知识点 反比例函数的概念
定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数．
自变量取值范围：，因变量取值范围：．
反比例函数的形式：①；②；③．
k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且．
知识点 列反比例关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和变量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
知识点 反比例函数的图象与性质
1.描点法做图
步骤 解读 图示
①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值
②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点
③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交
2.反比例函数的性质
反比例函数
x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点）
k的符号 k＞0 k＜0
图象
图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限
性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大
知识点 比例系数k的几何意义
过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于.
连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于.
若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式.
知识点 求反比例函数的表达式
利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤
知识点 反比例函数与一次函数图象的交点问题
1. 反比例函数与正比例函数图象的交点：
当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点．
2. 反比例函数与一次函数图象的交点：
联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点．
3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或：
（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，；
（2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集．
如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或．
知识点 利用反比例函数解决问题
1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围．
2. 常见反比例关系举例
（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为；
（2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为；
（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为；
（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为；
（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．

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