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(共34张PPT)
21.2.1 二次函数的图象和性质
第二课时 二次函数的图象和性质
1.会用描点法画出 的图象；（重点）
2.通过图象理解二次函数图象的性质.（难点）
学习目标及重难点
二次函数 图象的形状 图象的特点 函数的性质
1. 开口向上，向轴左右方向无限延伸
2. 是轴对称图形，对称轴是轴
3. 在轴左侧是从左向右下降的，在轴右侧是从左向右上升的
4. 顶点就是原点，顶点是图象的最低点. 图象向上无限延伸
自变量的取值范围是全体实数
对于和可得到相同的函数
当时，随着的增大而减小；
当时，随着的增大而增大
当时，函数取得最小值，，且没有最大值，即.
探索1：二次函数 的图象和性质
例2：在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象．
解：列表.
… …
… …
… …
… …
描点、连线，即得这两个函数的图象.
x
y
4
3
2
1
–1
–2
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3
1
O
–1
2
–2
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5
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… …
… …
x
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O
–1
2
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7
6
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… …
… …
x
y
4
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–2
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O
–1
2
–2
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9
8
探究：1.观察二次函数 和 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点 图象何时上升，何时下降
开口向上
对称轴是轴
顶点坐标(0，0)
有最低点
x
y
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2
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–1
–2
–3
3
1
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–1
2
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8
探究：2.你能根据抛物线 和 的共同特点，总结出二次函数 的性质吗？
开口向上
对称轴是轴
顶点坐标(0，0)
有最低点
二次函数 图象的形状 图象的特点 函数的性质
1. 开口向上，向轴左右方向无限延伸
2. 是轴对称图形，对称轴是轴
3. 在轴左侧是从左向右下降的，在轴右侧是从左向右上升的
4. 顶点就是原点，顶点是图象的最低点. 图象向上无限延伸
自变量的取值范围是全体实数
对于和可得到相同的函数
当时，随着的增大而减小；
当时，随着的增大而增大
当时，函数取得最小值，，且没有最大值，即.
O
探究：3. 仿照例1、例2在同一平面直角坐标系中，画出函数
和 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是最低点？图象何时上升，何时下降？
解：列表.
… …
… …
… …
… …
解：列表.
… …
… …
… …
… …
… …
… …
描点、连线，即得这三个函数的图象.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
… …
… …
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
… …
… …
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
… …
… …
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
探究：3. 仿照例1、例2在同一平面直角坐标系中，画出函数
和 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是最低点？图象何时上升，何时下降？
开口向下
对称轴是轴
顶点坐标(0，0)
有最高点
探究：4.根据函数和的图象特点，仿照上面的表格，总结出二次函数的图象特点和函数性质.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
开口向下
对称轴是轴
顶点坐标(0，0)
有最高点
x
y
O
二次函数 图象的形状 图象的特点 函数的性质
1. 开口向下，向轴左右方向无限延伸
2. 是轴对称图形，对称轴是轴
3. 在轴左侧是从左向右上升的，在轴右侧是从左向右下降的
4. 顶点就是原点，顶点是图象的最高点. 图象向下无限延伸
自变量的取值范围是全体实数
对于和可得到相同的函数
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小
当时，函数取得最大值，，且没有最小值，即.
探究：5.分别比较函数与、与、
与的图象，指出它们之间相同与不同之处.
函数
相同点 (1)都是轴对称图形，且对称轴是轴；
(2)顶点坐标都是(0，0).
函数
不同点
开口向上
开口向下
在轴左侧是从左向右下降的，在轴右侧是从左向右上升的
顶点是图象的最低点. 图象向上无限延伸
在轴左侧是从左向右上升的，在轴右侧是从左向右下降的
顶点是图象的最高点. 图象向下无限延伸
思考：(1)当 时，函数 的图象与时有什么不同？
图象
不同点
开口向上
开口向下
在轴左侧是从左向右下降的，在轴右侧是从左向右上升的
顶点是图象的最低点. 图象向上无限延伸
在轴左侧是从左向右上升的，在轴右侧是从左向右下降的
顶点是图象的最高点. 图象向下无限延伸
思考：
(2) 的大小对函数 的图象的开口大小有什么影响？
越大，抛物线的开口越小；
越小，抛物线的开口越大.
例1：已知下列二次函数：
①；②；③；④；⑤ .
(1)其中开口向上的是 (填序号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是 (填序号)；
(3)有最高点的是 (填序号).
②③⑤
越小，开口越大
①
开口向下
把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）
（1）的图象是_______；
（2）的图象是_______；
（3）的图象是_______；
（4）的图象是_______．
③
①
④
②
随堂小练习
例2: 已知一次函数和二次函数，其中，则下面选项中，图象可能正确的是( )
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
C
×
×
1.下列关于抛物线 ， ， 的说法：①都是开口向上；②都以点为顶点； ③都以轴为对称轴；④开口最大的是 ．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
习题1
2.二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系
中的大致图象可能是( ) .
A.&9& B.&1 0& C.&11& D.&12&
习题2
D
3.已知二次函数.
(1)若点与在此二次函数的图象上，则 _____ ；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点，长方形的顶点、在轴上，恰好在二次函数的图象上，点的横坐标为，求图中阴影部分的面积之和．
<
习题 3
3.已知二次函数.
(2)如图，此二次函数的图象经过点，长方形的顶点、在轴上，恰好在二次函数的图象上，点的横坐标为，求图中阴影部分的面积之和．
习题 3
(2)解： 二次函数的图象经过点，
当时，.
抛物线和长方形都是轴对称图形，且轴为它们的对称轴，
在长方形内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
解：∵函数为二次函数，
且，
解得，．
（1）其函数图象开口向上，
，解得
．
函数关系式为；
4.函数为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当时，随的增大而减小，求函数的解析式．
习题 4
解：∵函数为二次函数，
且，
解得，．
（2）当时，随的增大而减小，
，
函数关系式为
4.函数为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当时，随的增大而减小，求函数的解析式．
习题 4
解：（1）函数是关于的二次函数，
，且，
∴解得：；
5.已知函数是关于的二次函数，求：
（1）满足条件的的值；
（2）当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，为何值时，随的增大而增大？
（3）当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当为何值时，与的增大而减小？
习题 5
解：（2）抛物线有最高点，
图象开口向下，即，
，
最高点为，当时，随的增大而增大．
5.已知函数是关于的二次函数，求：
（1）满足条件的的值；
（2）当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，为何值时，随的增大而增大？
（3）当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当为何值时，与的增大而减小？
习题 5
解：（3）函数有最小值，
图象开口向上，即，
，
最小值为，当时，随的增大而减小．
5.已知函数是关于的二次函数，求：
（1）满足条件的的值；
（2）当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，为何值时，随的增大而增大？
（3）当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当为何值时，与的增大而减小？
习题 5
函数
图象特点 抛物线开口方向 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下
抛物线顶点坐标 顶点坐标是 顶点坐标是
抛物线对称轴 对称轴是轴 对称轴是轴
函数性质 函数增减情况 当时，随着的增大而 减小；当时，随着的增大而增大 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小
函数最大值或最小值 当时，函数取得最小值， ， 当时，函数取得最大值，
，

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