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21.2.2 二次函数的图象和性质
第四课时 二次函数的图象和性质
1.会用配方法或公式法将一般式 化成顶点式
；（重点）
2.会熟练求出一般式 的顶点坐标、对称轴.（难点）
学习目标及重难点
函数 图象
图象特点 抛物线开口方向 抛物线顶点坐标 抛物线对称轴 抛物线的开口向上
抛物线的开口向下
顶点坐标是
顶点坐标是
直线
直线
O
O
O
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
函数 图象
函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值
O
O
O
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
当时，随着的增大而减小；
当时，随着的增大而增大
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小
当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
思考：通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二次函数 的图象特点，你认为怎样画函数 的图象较为简便？
探索1：二次函数 的图象和性质
我们可以先将这个函数的表达式配方，得
可见，函数 的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是 ，对称轴是直线 .
思考：通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二次函数 的图象特点，你认为怎样画函数 的图象较为简便？
我们可以先将这个函数的表达式配方，得
根据图象的对称性列表：
… – – …
… …
… – – …
… …
可见，函数 的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是 ，对称轴是直线 .
思考：通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二次函数 的图象特点，你认为怎样画函数 的图象较为简便？
我们可以先将这个函数的表达式配方，得
根据图象的对称性列表：
… – – …
… …
… – – …
… …
列表时，自变量 为什么只取大于或等于的值？
x
y
– 1
– 2
– 3
– 4
–5
–2
–3
3
1
O
–1
2
2
1
5
4
–4
–5
– 6
– 7
–8
… – – …
… …
描点、连线: 根据上表描点，并由函数图象的对称性画出它们关于直线 的对称点，用平滑的曲线顺次连接各点，即得函数 的图象.
思考1：函数 的图象有什么特点？函数有哪些性质？
函数
图象特点 抛物线开口方向
抛物线顶点坐标
抛物线对称轴
函数性质 函数增减情况
函数最大值或最小值
x
y
– 1
– 2
– 3
– 4
–5
–2
–3
3
1
O
–1
2
2
1
5
4
–4
–5
– 6
– 7
–8
一般式
顶点式
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小
当 时，函数取得最大值，
抛物线的开口向下
顶点坐标是
直线
思考2：二次函数 的图象有哪些特点？由此可看出函数有哪些性质？
如果将这个函数的表达式配方，则有
函数
图象特点 抛物线开口方向
抛物线顶点坐标
抛物线对称轴
抛物线的开口向上
抛物线的开口向下
顶点坐标是)
直线
直线
思考2： 二次函数 的图象有哪些特点？由此可看出函数有哪些性质？
一般式
顶点式
配方
顶点坐标是)
函数
函数性质 函数增减情况
函数最大值或最小值
思考2： 二次函数 的图象有哪些特点？由此可看出函数有哪些性质？
一般式
顶点式
配方
当时，随着的增大而减小；
当时，随着的增大而增大
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小
当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
例1：已知二次函数 ，当 时， 的值随 值的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
D
例2: 函数 的图象如下图，下列错误的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为抛物线与轴的交点在负半轴上，
所以
因为抛物线的对称轴是1,所以 即 ；
因为当时，函数值为0，所以
D
因为，且 ， 所以
已知二次函数上部分点的坐标的对应值如下表：
A.对称轴是直线 B.开口向下
C. 顶点坐标是（2，3） D.当时，
由上表可知，下列说法错误的是( )
0 1 2 3 4
1 3 1
D
随堂小练习
A
1.如图,抛物线与直线
的图象画在同一个平面直角坐标系中,可能是( 　 　)
习题1
2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：
O
y
x
–1
–2
3
（1）同号；
（2）当和时，函数值相等；
（3） ；
（4）当时，的值只能取；
其中正确的是 .
直线
（2）
习题2
3.如果三点和在抛物线的图象上,那 之间的大小关系是　 　 　 　.
习题3
解：(1)
，
顶点坐标为，对称轴为直线.
4.已知二次函数
(1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)自变量在什么范围内时，函数值？自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
习题4
解：(2)令，得，解得.
当时，.
由（1）知二次函数图象的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小．
4.已知二次函数
(1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)自变量在什么范围内时，函数值？自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
习题4
解：(1)把代入得
，
解得
这个二次函数的解析式为
5.如图，已知二次函数的图象经过两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与轴交于点，连接求的面积．
习题5
5.如图，已知二次函数的图象经过两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与轴交于点，连接求的面积．
习题5
(2)该抛物线对称轴为直线 ，
点的坐标为，
函数
图象特点 抛物线开口方向
抛物线顶点坐标
抛物线对称轴
抛物线的开口向上
抛物线的开口向下
顶点坐标是)
直线
直线
一般式
顶点式
配方
顶点坐标是)
函数
函数性质 函数增减情况
函数最大值或最小值
一般式
顶点式
配方
当时，随着的增大而减小；
当时，随着的增大而增大
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小
当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，

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