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分课时学案
课题 1.7位似第1课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念,能识别位似图形并找出位似中心,掌握位似图形的基本性质。 2.掌握以定点为位似中心将图形放大或缩小的作图方法,规范完成位似作图,提升几何作图与空间想象能力。 3.经历从生活实例到数学概念的抽象过程,发展几何直观、数学抽象与逻辑推理素养。 4.理解位似是特殊的相似,体会图形变换的内在联系,感受数学与生活的紧密联系。
重点 1.位似图形的概念、性质理解与位似中心识别。 2.以定点为位似中心进行图形放大与缩小的规范作图。
难点 位似图形的本质理解(对应点连线共点、对应线段平行)及反向延长线位似作图的准确性。
教学过程
导入新课 情境 夜晚,手电筒照射一张小三角形纸片,在墙上投射出一个大三角形影子。 问题 1.小三角形与墙上大三角形是什么关系？ 2.光源、纸片上顶点、墙上对应顶点有什么位置特点？ 3.对应线段之间有怎样的位置关系？
新知讲解 探究活动一:位似的概念 我们知道,把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相似.如何把一个图形放大或缩小？下面我们来学习一种简单可行的方法. 观察:图1.7-1是把幻灯片上的一只小熊图案放映到屏幕上的示意图(点O表示光源).幻灯片与屏幕上的两个小熊图案之间有什么关系？ 在图1.7-1中的左边小熊的头顶上和尾巴尖上分别取点A,B,右边小熊的头顶上和尾巴尖上的A′,B′分别为点A和点B的对应点.此时我们会发现点A,A′与点O在一条直线上,点B,B′与点O也在一条直线上. 分别量出线段的长度(精确到),计算: , , 思考:在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点连线有什么关系？ 抽象:从上面的例子受到启发,可以引出下述概念: 取定一个点O,把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′,使得,其中k是非零常数,当k>0时,点P′在射线OP上,当k<0时,点P′在射线OP的反向延长线上.特别地,点O对应 到它自身.我们把图形的这种变换称为位似,把这个图形与它在位似下的像称为位似图形,这个点O叫作位似中心,常数k叫作位似比. 在图1.7-1中,幻灯片与屏幕上的两个小熊图案是位似图形. 方法总结： 探究活动二:位似的性质 思考:在图1.7-1中,连接,可以抽象出图,则吗？吗？ 由此受到启发,可得如下命题:若两个图形是位似图形,则这两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应线段平行(或在同一条直线上). 方法总结: 探究活动三:画位似图形 由位似的定义可知,利用位似可以把一个图形进行放大或缩小. 思考:如何把放大为原来的倍？ 做一做:(1)已知外一点,以点为位似中心,将缩小为原图形的； (2)若点在内部,以点为位似中心,分别将缩小为原图形的、放大为原图形的倍. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.已知△ABC∽△A'B'C',下列图形中,△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是(　　) A　　　B　　　　C　　　D 2.如图,已知DE∥BC,则下列关于△ABC与△ADE的说法中不正确的是(　　) A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心 C.AB:AD是位似比 D.点B与点E,点C与点D是对应位似点 3.如图,六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形,O为位似中心,且OD=OD1,则A1B1:AB=(　　) A.2:3　　　　B.3:2　　　　 C.1:2　　　　D.2:1 4.如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为-,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 5.如图,以点O为位似中心,把△ABC的各边放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是(　　) A.△ABC∽△A'B'C' B.点C、点O、点C'在同一直线上 C.AO:AA'=1:2 D.AB∥A'B' 6.如图,直角梯形AEFH是由直角梯形ABCD经过位似变换得到的,点A是位似中心,若这两个直角梯形的周长比为3:4,AE=6,则BE=　　　　. 7.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,O为位似中心,若△OAE的面积为4,△OA'E'的面积为9,则五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的面积比为　　　　. 8.画出下列图形的位似中心. 9.如图,在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,四边形ABCD的顶点均在格点上. (1)请以点O为位似中心,在网格图中作出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,且=2; (2)填空:线段BB'的长为　　　　,△A'D'O的面积为　　　　.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标： 1．如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2:3,点A,B的对应点分别为点A′,B′.若AB＝6,则A′B′的长为( ) A．8B．9C．10D．15 2．如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,连接EF,FG,GH,EH,则下列说法不正确的是( ) A．△OEF和△OAB是位似图形 B．△OEH和△OFG是位似图形 C．△EFH和△ABD是位似图形 D．△OHG和△OGF是位似图形 3．如图,BC∥ED,下列说法不正确的是( ) A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．点B与点D、点C与点E是对应位似点 D．AC:AB是位似比 4．如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,点B在OD上,AE,CB分别是△OAB,△OCD的中线,则AE:CB的值为___. 5．如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP＝∠CBP. (1)求证:△ADP∽△BCP； (2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？ (3)若AB＝8,CD＝4,DP＝3,求AP的长． 能力提升： 6．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF,这两个三角形不是位似图形的是( ) 7．如图所示是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 8．在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 9．如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且BC:EF＝3:2,则S△ABC:S△DEF＝____. 10．如图,在平行四边形ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF分别交AC,CD于点P,E,则图中的位似三角形共有____对． 11．如图,△ACC′是由△ABB′经过位似变换得到的 (1)求出△ACC′与△ABB′的位似比,并指出它们的位似中心； (2)△AEE′是△ABB′的位似图形吗？如果是,求位似比；如果不是说明理由； (3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是什么？ 12.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且位似比是1:2,若AB＝2cm,求A′B′的长度,并在图中画出位似中心O. 拓展迁移： 13．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD的中点,连接CM交BD于点N,且ON＝1. (1)求BD的长； (2)在直线AC的同侧,以点O为位似中心,作出△CON的位似三角形,并使△CON与和它位似的三角形的位似比是1:2.(不写作法,保留作图痕迹). 14．如图1,在6×8的网格图中,每个小正方形边长均为1m,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1:2； (2)台风过后,一片狼藉,如图2,小明测量发现,一棵被吹倾斜了的树影长为3m,与地面的夹角为45°,同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似(树干对应BC边),求原树高．(结果保留根号)
参考答案：
情境问题：
1.两个三角形相似。
2.光源、纸片顶点、墙上对应顶点三点在同一条直线上。
3.对应线段互相平行。
探究一：
答案:,.
继续在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点都与点O在一条直线上,且每一对对应点与点O所连线段的比与的值相等.
探究二：
解:因为,
所以.
于是,.
.
探究三：
方法一:如图1.7-3(1)1.在三角形外任意取一点O,连接
2.分别在线段的延长线上取点A′,B′,C′,使得
3.依次连接点,则所得到的就是所要求的图形.
方法2:如图,我们还可以按以下步骤:
1.在三角形外任意取一点,连接
2.分别在线段的反向延长线上取点,使得
3.依次连接点,则所得到的就是所要求的图形.
解:(1)解:如图:为缩小后的图形。
(2)如图:为缩小后的图形。
如图,为放大后的图形:
课堂练习：
1.D　根据位似图形的概念可知,选项A、B、C中的三角形存在位似关系,而选项D中,△ABC与△A'B'C'不存在位似关系,故选D.
2.D　根据位似图形的定义可得:A.两个三角形是位似图形,说法正确;B.点A是两个三角形的位似中心,说法正确;C.AB:AD是位似比,说法正确;D.点B与点D,点C与点E是对应位似点,说法错误,故选D.
3.D　∵六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形,
∴六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,DE∥D1E1,
∴=,△ODE∽△OD1E1,∴==,∴==,
∴A1B1:AB=2:1.故选D.
4.D　∵图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为-,
∴AB:A'B'=3:5,∵AB=6,∴A'B'=10,故选D.
5.C　∵以点O为位似中心,把△ABC的各边放大为原图形的2倍得到△A'B'C',∴△ABC∽△A'B'C',点C、点O、点C'在同一直线上,AB∥A'B',AO:OA'=1:2,故选项C中的说法错误,符合题意.故选C.
6.2
解析　由题意得=,∴=,∴AB=8,∴BE=AB-AE=8-6=2.
7.4:9
解析　∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,O为位似中心,∴AE∥A'E',=,∴△OAE∽△OA'E',
∴===,∴==.
8.解析　画出两对对应点的连线,找出它们的交点,即位似中心.
如图,P、O即为所求的位似中心.
(1)　　　　　　　　(2)
9.解析　(1)如图,四边形即为所求.
(2),.
故答案为6;10.
课后提升：
1.B;2.D;3.D;4.1:2;
5.解:(1)∵∠DAP＝∠CBP,∠DPA＝∠CPB,∴△ADP∽△BCP；
(2)△ADP与△BCP不是位似图形,
因为它们的对应边不平行,对应点的连线不交于一点；
(3)∵△ADP∽△BCP,
∴＝,又∠APB＝∠DPC,
∴△APB∽△DPC,
∴＝,即＝,
解得AP＝6.
6.B;7.C;8.A;9.9:4;10.6;
11.解:(1)△ACC′与△ABB′的位似比为:CC′:BB′＝2:1；它们的位似中心是A；
(2)△AEE′是△ABB′的位似图形,
位似比为:EE′:BB′＝4:1；
(3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是△ADD′.
12.解:∵△ABC与△A′B′C′是位似图形,
∴△ABC∽△A′B′C′,
∵位似比是1:2,∴AB:A′B′＝1:2,
∵AB＝2cm,∴A′B′＝4cm.
位似中心如图,点O即为所求．
13.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD＝BC,OB＝OD,
∴DM∥BC,
∴△MND∽△CNB,
∴MD:BC＝DN:BN,
∵M为AD的中点,∴MD:BC＝1:2,
∴DN:BN＝1:2,即BN＝2DN,
设OB＝OD＝x,则BD＝2x,BN＝OB＋ON＝x＋1,DN＝x－1,
∴x＋1＝2(x－1),解得x＝3,
∴BD＝2x＝6；
(2)如图,△HOG为所作．
14.解:(1)如图1所示,△A′B′C′即为所求．
(2)∵OB＝OC＝4,
∴∠OBC＝∠DEF＝45°,
BC＝＝4,
∵△DEF∽△ABC,
∴＝,
即＝,
∴EF＝2.
答:原树高为2米．
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