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分课时学案
课题 1.7位似第2课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心,位似图形对应顶点的坐标变化规律,能根据位似比求对应点坐标。 2.能利用坐标规律准确画出位似图形,规范完成坐标系中位似放大与缩小操作。 3.经历规律探究与归纳过程,提升数形结合、几何直观、坐标运算与归纳推理能力。 4.体会代数与几何的内在联系,增强用坐标方法研究图形变换的意识。
重点 1.原点为位似中心时,位似变换的坐标变化规律。 2.利用坐标规律画位似图形、求对应点坐标。
难点 坐标变化规律的理解与准确应用,以及位似中心为原点这一前提条件的把握。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.位似图形的两个核心特征是什么？ 2.位似中心、位似比分别表示什么？ 探究问题 把平面直角坐标系中原点为一个顶点的三角形各顶点坐标都乘2,得到的新图形与原图形是否位似？位似中心是谁？
新知讲解 探究活动一:用坐标表示位似 思考：如图1.7-5,已知△AOB的顶点坐标为A(2,4),O(0,0),B(6,0). (1)将△AOB的各个顶点的坐标分别扩大为原来的2倍,画出对应的△A′OB′. (2)点A′是否在直线OA上？点B′是否在直线OB上？是否有OA′/OA=2,OB′/OB=2？△AOB与△A′OB′是位似图形吗？如果是,位似中心是哪个点？位似比是多少？ 做一做：如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB的顶点坐标分别为A(3,6),O(0,0),B(6,0). (1)将各个顶点坐标分别缩小为原来的,画出所得到的图形； (2)以点O为位似中心,分别在线段OA、OB的延长线上取点A′′,B′′,使==,依次连接点A′′,O,B′′,画出所得到的图形,你发现了什么？ 方法总结: 探究活动二:用坐标表示位似的应用 例：如图1.7-8,在平面直角坐标系中,已知 OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),C(1,2).以坐标原点O为位似中心,将 OABC放大为原图形的3倍. 分析要将 OABC放大为原图形的3倍,由位似图形的定义可知k=3,因此我们可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘3. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( ) A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4) 2.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标为( ) A.(-1,-1) B.(-,-1) C.(-1,-) D.(-2,-1) 3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为( ) A.(0,0) B.(0,1) C.(-3,2) D.(3,-2) 4.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,-2),以原点O为位似中心,把△ABO扩大为原来的2倍,则点B的对应点B'的坐标是　 　. 5.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系. (1)点A的坐标为　　　　　,点B的坐标为　　　　　,点C的坐标为　　　　　. (2)以原点O为位似中心,将△ABC放大,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2:1,请在网格内画出△A1B1C1. (3)求出△A1B1C1的面积. 6.如图.在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5),(0,5),(0,-1),(4,-1).若线段AB和CD是位似图形,位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为( ) A.(0,1) B.(0,) C.(0,) D.(0,3) 7.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是( ) A.1 B.2 C.2 D. 8.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2),若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍,则第一象限内点B'的坐标为　　. 9.如图,已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形,P是位似中心,若点A的坐标为(0,6),点E的坐标为(2,3),则点B的坐标为　　. 10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2). (1)①以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1. ②画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2. (2)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形,若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标;若不是,请说明理由.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC与矩形OA′B′C′是以点O为位似中心的位似图形,点B的坐标为(8,4).若AA′＝2,则CC′的长是( ) A.3B.4C.4.5D.6 2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(2,2),B(4,2),C(4,4),以原点为位似中心,在原点的异侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且位似比为1:2,则线段DF的长度为( ) A.B.2C.2D.4 3.如图,在平面直角坐标系中,矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,其中对应点C和F的坐标分别为(－4,4),(2,1),则位似中心的坐标是( ) A.(0,2) B.(0,2.5) C.(0,3) D.(0,4) 4.在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(2,1),C(－1,2),以原点O为位似中心,位似比为2,把四边形OABC放大,则点C对应点C′的坐标为( ) A. B.(－2,4) C.或 D.(－2,4)或(2,－4) 5.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且位似比为,点A,B,E在x轴上.若正方形ABCD的边长为2,则点F坐标为( ) A.(8,6) B.(9,6) C. D.(10,6) 6.(2023·东营中考)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的横坐标是a,则点B的对应点B′的横坐标是( ) A.－2a＋3 B.－2a＋1 C.－2a＋2 D.－2a－2 能力提升: 7.如图,已知△OAB与△OA′B′是位似比为1:2的位似图形,点O为位似中心,若△OAB内一点P(x,y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点,则P′的坐标是____. 8.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果△OA′B′与△OAB关于点O位似,且△OA′B′的面积等于△OAB面积的,则点B′的坐标为( ) A. B.或 C.(3,2) D.(3,2)或(－3,－2) 9.在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以坐标原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB＝2,则点C的对应点A的坐标为____. 10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线相交于点E,A(2,0),B(6,0),将正方形ABCD以A为位似中心,1:2为位似比缩小,点E的对应点E′的坐标是____. 11.如图,正六边形OABCDE与正六边形OA′B′C′D′E′是关于原点O的位似图形,位似比为3:2,若点C′(6,0),则正六边形OABCDE的周长为____. 12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,1),B(－1,4),C(－3,2). (1)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A1B1C1； (2)直接写出C1点坐标为________；若线段AB上D的坐标为(a,b),则对应的点D1的坐标为________； (3)△A1B1C1的面积为________. 拓展迁移: 13.已知,如图,平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A(4,3),B(3,1),C(5,2),点M(2,1). (1)以M为位似中心,在第一象限内画出与△ABC相似的△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC的相似比为3:1,写出A′,B′,C′的坐标； (2)△ABC中的一点P(a,b),在(1)中位似变换下对应△A′B′C′中P′点,请直接写出点P′的坐标(用含a,b的代数式表示). 14.如图,△ABC与△DOE是位似图形,A(0,3),B(－2,0),C(1,0),E(6,0),△ABC与△DOE的位似中心为M. (1)写出D点的坐标. (2)在图中画出M点,并求M点的坐标.
参考答案：
复习回顾：
1.对应点连线交于一点；对应线段平行(或共线)。
2.位似中心是对应点连线的交点；位似比是对应点到位似中心距离的比。
3.是位似图形；位似中心是坐标原点。
探究一：
(1)将△AOB各顶点的坐标分别乘2,得点A′(4,8),O(0,0),B′(12,0),如图1.7-6,依次连接点A′,O,B′,得到△A′OB′.
(2)可以发现,点A′在直线OA上,点B′在直线
OB上,OA′/OA=OB′/OB=2,△AOB与△A′OB′是以坐标原点O为位似中心,位似比为2的位似图形.
探究二：
解：将 OABC的各顶点的坐标分别乘3,得O(0,0),A′(9,0),B′(12,6),C′(3,6).依次连接点O,A′,B′,C′,则四边形OA′B′C′即为所要求的图形,如图1.7-8所示.
课堂练习：
1.C;2.B;3.C;4.(10,-4)或(-10,4)；
5.解:(1)A(-2,1),B(-3,-2),C(1,-2);
答案:(-2,1)　(-3,-2)　(1,-2)
(2)如图,△A1B1C1为所作;
(3)△A1B1C1的面积=×8×6=24.
6.D;7.B;8.(4,6);9.(-4,6);
10.【解析】(1)①如图,△OA1B1为所作;
②如图,△O2A2B2为所作;
(2)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形.如图,点M为所求,坐标为M(-4,2).
课后提升：
答案：1.B;2.A;3.A;4.D;5.B;6.A;7.(-2x,-2y);8.D;9.(4,6)或(－4,－6);
10.(3,1)或(1,－1);11.27;
12.解:(1)根据题意画出图形,如图所示：
(2)点C1的坐标为(－6,4),D为(a,b),位似比为1:2,变换后D的对应点D1的坐标为(2a,2b).
答案：(－6,4)　(2a,2b)
(3)由图可得,A1(－4,2),B1(－2,8),C1(－6,4),所以△A1B1C1的面积为4×6－×2×2－×2×6－×4×4＝8.
13.解:(1)
A′(8,7),B′(5,1),C′(11,4).
(2)P′(3a－4,3b－2).
14.解:(1)过点D作DH⊥OE于点H,
∵△ABC与△DOE是位似图形,A(0,3),B(－2,0),C(1,0),E(6,0),
∴BC＝3,OE＝6,
△AOB∽△DHO,
∴位似比为3:6＝1:2,
∴OH＝2OB＝4,DH＝2OA＝6,
∴D点的坐标为(4,6).
(2)连接DA并延长,交x轴于点M,则点M即为△ABC与△DOE的位似中心；
则MO:MH＝1:2,
设MO＝x,则MH＝x＋4,
∴x:(x＋4)＝1:2,
解得x＝4,
∴M点的坐标为(－4,0).
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