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物理
新高考适用
选择性必修第二册 第二章　电磁感应
目 录
CONTENTS
第 1 节 电磁感应现象 楞次定律 实验：探究影响感应电流方向的因
微专题28
电磁感应中的电路和图像问题
第 2 节 法拉第电磁感应定律 自感和涡流
微专题29
基础单杆模型
微专题30
含容含源单杆模型
微专题31
双杆模型
微专题32
线框模型
第1节 动电磁感应现象　楞次定律　
实验:探究影响感应电流方向的因素
电磁感应现象和楞次定律的理解及应用T1、2、3、5、6、7　 实验:探究影响感应
电流方向的因素T4、8
1.★★(2024江苏,10,4分)如图所示,a、b为正方形金属线圈,a线圈从图示位置匀速向右
拉出匀强磁场过程中,a、b中产生的感应电流方向分别为 ( )
A.顺时针、顺时针
B.逆时针、逆时针
C.顺时针、逆时针
D.逆时针、顺时针
　 A　
五年高考
课本素材 追本溯源:人教版教材必修第三册P118,T3、T4。
教材中通过第3、4题展现了产生感应电流的两种情况以及判断感应电流方向的方法,
本道高考题把两种情况综合起来,并以二次感应现象判断感应电流的方向,考查学生理
解能力、推理论证能力。
解析　将线圈a从磁场中匀速拉出的过程中,穿过线圈a的磁通量在减小,根据楞次定律
可知线圈a中的感应电流方向为顺时针,B、D错误;由于线圈a从磁场中匀速拉出,根据
法拉第电磁感应定律可知,a中产生的感应电动势恒定,则a中产生的感应电流恒定,a中
感应电流产生的磁场恒定,则a靠近线圈b的过程中,穿过b的磁场方向垂直纸面向外且
在增强,穿过线圈b的磁通量增大,可知线圈b产生的感应电流方向为顺时针,C错误,A正
确。
2.★★(2025北京,10,3分)绝缘的轻质弹簧上端固定,下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧
原长位置由静止释放,磁铁开始振动,由于空气阻力的影响,振动最终停止。现将一个闭
合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面上(如图所示),仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释
放,振动最终也停止。则( )
A.有无线圈,磁铁经过相同的时间停止运动
B.磁铁靠近线圈时,线圈有扩张趋势
C.磁铁离线圈最近时,线圈受到的安培力最大
D.有无线圈,磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同
　 D　
解析　有线圈时,磁铁受到电磁阻尼的作用,振动更快停止,A错误;磁铁靠近线圈时,穿
过线圈的磁通量增大,根据楞次定律,此时线圈有缩小的趋势,B错误;磁铁离线圈最近
时,磁铁与线圈的相对速度为零,感应电动势为零,感应电流为零,线圈受到的安培力为
零,C错误;有无线圈,磁铁最终均静止,对磁铁受力分析可知,磁铁静止时弹簧的伸长量
相同,即弹簧的弹性势能相同,即有无线圈,则系统损失的机械能相同,D正确。
3.★★★(多选)(2023河北,8,6分)如图1,绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成
矩形,彼此接触良好,匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动,1、4同时沿图1箭
头方向移动,移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图2位置
时,金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中 ( )
A.金属杆所围回路中电流方向保持不变
B.通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加
C.金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反
D.金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同
　 CD　
解析　由数学知识可知金属杆所围回路的面积先增大后减小【点拨:围成的矩形周长
不变,当矩形长等于宽时,即围成正方形时,围成的面积最大】,金属杆所围回路内磁通
量先增大后减小,根据楞次定律可知电流方向先沿逆时针方向,后沿顺时针方向,A错误;
由于金属杆所围回路的面积非均匀变化,故感应电流的大小不恒定,通过金属杆截面的
电荷量随时间不是均匀增加的,B错误;由上述分析,再根据左手定则,可知金属杆1所受
安培力方向与运动方向先相同后相反,金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相
同,C、D正确。
4.(2025浙江1月,14-Ⅱ,3分)在“探究影响感应电流方向的因素”实验中,当电流从
“-”接线柱流入灵敏电流表,指针左偏;从“G0”或“G1”接线柱流入,指针右偏。如
图所示是某次实验中指针偏转角度最大的瞬间,则

(1)此时磁铁的运动状态是___________(选填“向上拔出”“静止”或“向下插
入”)。
　　向下插入　
(2)只做以下改变,一定会增大图中电流表指针偏转角度的是____________(多选)。
A.磁铁静止,向上移动线圈
B.增大(1)中磁铁运动速度
C.将导线从接线柱G1移接至接线柱G0
D.将一个未与电路相接的闭合线圈套在图中线圈外
　 BC　
解析 (1)根据题图中灵敏电流表指针的偏转方向【点拨:指针左偏,表明电流从“-”
接线柱流入】可知螺线管中的感应电流的方向是逆时针方向(俯视),由安培定则可知
感应电流产生的磁场方向向上,再由楞次定律可知磁铁运动造成的磁通量的变化应是
向下的磁通量变大或向上的磁通量变小,已知磁铁的下端为N极,可判断磁铁正向下插
入。
(2)磁铁静止,向上移动线圈,磁通量的变化率不一定变大,即产生的感应电动势不一定
变大,感应电流不一定变大,电流表指针偏转角度不一定变大,A不符合题意。增大(1)中
磁铁的运动速度,增大了磁通量的变化率,可以增大感应电动势,从而增大感应电流,进
而增大电流表指针偏转角度,B符合题意。将导线从接线柱G1移接至接线柱G0,换了更
小的量程,通过的电流不变,可以增大电流表指针偏转角度,C符合题意。将一个未与电
路相接的闭合线圈套在图中线圈外,对电流表指针的偏转角度没有影响,D不符合题
意。
易错警示
(1)易混淆磁铁运动方向与磁通量变化的直接联系,“向下插入”对应磁通量在增加,
“向上拔出”对应磁通量在减少;
(2)混淆“磁通量变化”与“磁通量变化率”,错误地认为只要磁通量增加电流就会增
大。
5.★★(2025届八省联考·四川)如图,水平面MN下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,纸面
为竖直平面。不可形变的导体棒ab和两根可形变的导体棒组成三角形回路框,其中ab
始终保持水平,框从MN上方由静止释放,框面始终在纸面内,在框落入磁场且ab未到达
MN的过程中,沿磁场方向观察,框的大致形状及回路中的电流方向为 ( )


　 C　
三年模拟
解析　由楞次定律可知回路框中的感应电流方向为逆时针方向,根据左手定则可知左
侧可形变的导体棒所受安培力垂直棒指向右上方,右侧可形变的导体棒所受安培力垂
直棒指向左上方【易错:因电流产生的磁场的磁感应强度小于原磁场的磁感应强度,不
能用“同向电流相互吸引,反向电流相互排斥”的二级结论判断所受安培力的方向】,
C正确。
6.★★★(2026届江苏南京六校联合体调研)如图所示,有一根竖直向下的长直导线,导
线中通有向下的恒定电流,从靠近导线的位置以水平向右的速度抛出一金属圆环,圆环
运动过程中始终与导线处于同一竖直面内。不计空气阻力,下列说法正确的是
( )
A.圆环中不会产生感应电流
B.圆环中会产生顺时针方向的感应电流
C.圆环做平抛运动
D.开始的一小段时间内,圆环所受安培力向左
　
　 D
解析 根据右手螺旋定则可知导线右边的磁场方向垂直纸面向外,圆环以水平向右的
速度抛出,离长直导线越远,磁感应强度越小,故穿过圆环的磁通量向外且变小,根据楞
次定律,可判断出圆环中产生的感应电流方向为逆时针方向,A、B错误;圆环中有感应
电流,则圆环在运动过程中会受到安培力的作用,不是只受重力,所以圆环做的不是平抛
运动,C错误;开始的一小段时间内,圆环中产生逆时针方向的感应电流,把圆环中电流看
成由无数小段电流元组成,根据对称性及左手定则可知,左半圆环受到的安培力的合力
方向向左,右半圆环受到的安培力的合力方向向右,FA=BIL,越靠近直导线处磁感应强度
越大,则左半圆环受到的安培力比右半圆环受到的大,所以圆环所受安培力向左,D正
确。
7.★★★(2025届河南郑州外国语学校模拟)一个长直密绕螺线管N放在一个金属圆环
M的中心,圆环轴线与螺线管轴线重合,如图甲所示。螺线管N通有如图乙所示的电流,
下列说法正确的是 ( )
A.t= 时刻,圆环有扩张的趋势
B.t= 时刻,圆环有收缩的趋势
　 A　
C.t= 和t= 时刻,圆环中的感应电流相同
D.t= 和t= 时刻,圆环中的感应电流不同
解析　由题图乙可知在t= 时刻,通过螺线管的电流增大,则螺线管产生的磁场增大,所
以穿过圆环的磁通量增大,圆环有扩张的趋势【点拨:圆环中同时存在着两个方向相反
的磁场,应满足“增扩减缩”而不是“增缩减扩”】,A正确,B错误;因感应电动势E=
= 【点拨:电流产生的磁场和电流大小成正比】,感应电流i'= = ,则若要判
断圆环中感应电流的大小,仅需判断图乙所示i-t图线的斜率,t= 和t= 时刻,圆环中感
应电流的大小相等、方向不同,t= 和t= 时刻,圆环中感应电流的大小相等、方向相
同,C、D错误。
8.(2025届黑龙江大庆实验中学月考)甲、乙、丙三位同学分别进行电磁感应现象的探
究。
(1)如图a,甲同学在断开开关时发现电流计指针向左偏转,下列操作中也能使指针向左
偏转的为___________。

　 B　
A.闭合开关
B.开关闭合时将A线圈从B线圈中拔出
C.开关闭合时,将滑动变阻器滑片向左滑动
D.将A线圈减速插入B线圈
(2)如图b所示,乙同学在研究电磁感应现象时,将一线圈两端与电流传感器相连,强磁铁
从长玻璃管上端由静止下落,电流传感器记录了强磁铁穿过线圈过程中电流随时间变
化的图像,如图c所示,t2时刻电流为0。下列说法正确的是____________。
A.在t2时刻,穿过线圈的磁通量的变化率为0
B.在下落初始的一小段时间内,强磁铁的加速度小于重力加速度
C.强磁铁穿过线圈的过程中,受到线圈的作用力先向上后向下
D.在t1到t3时间内,强磁铁重力势能的减少量等于其动能的增加量
　 AB　
(3)丙同学设计了如图d所示的实验装置,其中R为光敏电阻(其阻值与光照强度成负相
关),轻质金属环A用轻绳悬挂,与长直螺线管共轴(A线圈平面与螺线管线圈平面平行),
并位于螺线管左侧。当光照增强时,从右向左看,金属环A中电流方向为_________
____(填“顺时针”或“逆时针”),A将会_________(填“向左”或“向右”)运动。

图d
　　向左　
　　顺时针
解析 (1)断开开关时,A线圈中电流迅速减小,则B线圈中磁通量减小,出现感应电流,使
灵敏电流计指针向左偏转;为了同样使指针向左偏转,应减小B线圈中的磁通量或增加B
线圈中反向的磁通量,开关闭合时将A线圈从B线圈中拔出,B线圈中磁通量减小,则灵敏
电流计指针向左偏转,B正确。
(2)t2时刻电流为0,说明感应电动势为零,由E=n 可知穿过线圈的磁通量的变化率为0,
A正确;由“来拒去留”可知在下落初始的一小段时间内,强磁铁受到线圈向上的作用
力F,可知初始阶段强磁铁的加速度小于重力加速度,B正确;由“来拒去留”可知强磁
铁穿过线圈的过程中,受到线圈的作用力始终向上,C错误;在t1到t3时间内,线圈会产生的
内能,则强磁铁重力势能的减少量大于其动能的增加量,D错误。
(3)根据右手螺旋定则可知,螺线管内部磁场方向向右,金属环所在位置的磁场向右,当
光照增强时,光敏电阻的阻值减小,回路中电流增大,穿过金属环的磁通量增大,根据增
反减同可知,金属环中感应电流产生的磁场方向向左,根据右手螺旋定则,从右向左看,
金属环A中电流方向为顺时针;穿过金属环的磁通量增大,金属环将向左运动以阻碍磁
通量的增大。
第2节　法拉第电磁感应定律　自感和涡流
法拉第电磁感应定律的理解及应用T3、5、7　 导体切割磁感线产生感应电动势T
4、8
自感现象T2　 涡流　电磁阻尼和电磁驱动T1、6
1.★(2024湖北,1,4分)《梦溪笔谈》中记录了一次罕见的雷击事件:房屋被雷击后,屋内
的银饰、宝刀等金属熔化了,但是漆器、刀鞘等非金属却完好(原文为:有一木格,其中
杂贮诸器,其漆器银扣者,银悉熔流在地,漆器曾不焦灼。有一宝刀,极坚钢,就刀室中熔
为汁,而室亦俨然)。导致金属熔化而非金属完好的原因可能为 ( )
A.摩擦　　　 B.声波
C.涡流　　　 D.光照
　 C　
五年高考
解析　雷击时,非均匀变化的电场产生变化的磁场,变化的磁场在金属内产生涡流,涡流
的热效应使金属熔化,C正确。
2.★★(2023北京,5,3分)如图所示,L是自感系数很大、电阻很小的线圈,P、Q是两个相
同的小灯泡。开始时,开关S处于闭合状态,P灯微亮,Q灯正常发光,断开开关
( )

A.P与Q同时熄灭　　　 B.P比Q先熄灭
C.Q闪亮后再熄灭　　　 D.P闪亮后再熄灭
　
　 D
解析　由题图可知,当开关S闭合时,流经Q灯的电流等于流经P灯与电感线圈L的电流
之和,又知电感线圈电阻很小,由并联电路分流原理可知流经电感线圈的电流大于流经
P灯的电流。当开关S断开时,由电感线圈的性质可知其中会产生与原电流方向相同的
自感电动势,以阻碍其自身电流减小,此时流经P灯和电感线圈的电流相等,所以P灯会
闪亮后再熄灭,而Q灯会立即熄灭,D正确。
3.★★★(2022河北,5,4分)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆
面积为S1,小圆面积均为S2,垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场,磁感应强度大小
B=B0+kt,B0和k均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为 ( )

A.kS1　　　 B.5kS2
C.k(S1-5S2)　　　 D.k(S1+5S2)
　 D　
解析　根据楞次定律可知,5个小圆线圈和大圆线圈内产生的感应电流方向一致,所以
线圈产生的总感应电动势应为所有感应电动势之和。每个小圆线圈产生的感应电动
势E2= =kS2,大圆线圈产生的感应电动势E1= =kS1,所以总感应电动势为E=E1+5E2=
k(S1+5S2),D正确。
4.★★★(多选)(2025全国,21,6分)如图,过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强
磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动,O为圆环的圆心,OP为
圆环的半径。则 ( )
A.圆环中感应电流始终绕O逆时针流动
B.OP与虚线平行时圆环中感应电流最大
C.圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同
D.圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大
　 BC　
解析　初始时,金属圆环处于磁场外,沿顺时针方向以P点为轴转动后,圆环进入磁场,切
割磁感线的有效长度逐渐增加,当转过90°角时,半径OP与虚线平行,此时切割磁感线的
有效长度最长,等于圆环直径,所以此时感应电动势最大,金属圆环的电阻不变,则感应
电流最大,这一过程中,磁通量逐渐增加,由楞次定律可知,产生的感应电流方向为逆时
针方向;圆环继续转动,有效长度逐渐减小,当再转过90°角时,半径OP与虚线垂直,此时,
圆环全部在磁场内,有效长度为零,感应电动势为零;圆环继续转动,部分圆环从P点右侧
虚线出磁场,有效长度逐渐增加,又转过90°角时半径OP与虚线再次平行,感应电动势再
次变为最大,此过程中磁通量逐渐减小,感应电流方向为顺时针方向;圆环再继续转过
90°角后,回到初始位置,感应电动势由最大变为零。圆环中的感应电流由开始的逆时针
方向逐渐增加再逐渐减小到零,然后由顺时针方向逐渐增加再逐渐减小到零,完成一个
周期的变化,与圆环的转动周期相同。综上所述,B、C正确,A、D错误。
一题多解
设圆环直径为d,匀速转动的角速度为ω,则以初始位置开始转动t时间转过的角度为θ=ω
t,圆环切割磁感线的部分导线对应的弦长为l=d sin θ=d sin ωt,产生的电动势为E=Blv=
Bl2ω= Bd2ω sin2 ωt,由此可知B、C正确,D错误。再由右手定则易知A错误。
5.★★★(2022重庆,13,12分)某同学以金属戒指为研究对象,探究金属物品在变化磁场
中的热效应。如图所示,戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为ρ的单匝圆形线
圈,放置在匀强磁场中,磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间
内从0均匀增加到B0,求:
(1)戒指中的感应电动势和电流;
(2)戒指中电流的热功率。

答案
(1) (2)
解析 (1)设戒指的半径为r,则有L=2πr
磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0,产生的感应电动势为E= ·πr2
可得E=
戒指的电阻R=
则戒指中的感应电流I= = 。
(2)戒指中电流的热功率P=I2R= 。
6.★★(2025届北京四中模拟)电磁驱动是21世纪初问世的新技术,它被认为将引发交通
工具的革命。在日常生活中,摩托车和汽车上装的磁性转速表就是利用了电磁驱动原
理。如图所示是磁性转速表及其原理图,永久磁体随车轮系统的转轴转动,铝盘固定在
指针轴上,与永久磁体不固定。关于磁性转速表的电磁驱动原理,下列说法正确的是
( )

　 B　
三年模拟
A.铝盘接通电源,通有电流的铝盘在磁场作用下带动指针转动
B.永久磁体随转轴转动产生运动的磁场,在铝盘中产生感应电流,感应电流使铝盘受磁
场力而转动
C.铝盘转动的方向与永久磁体转动方向相反
D.由于铝盘和永久磁体被同一转轴带动,所以两者的转动是完全同步的
解析 当永久磁体随车轮系统的转轴转动时,产生转动的磁场,铝盘中会产生感应电流,
永久磁体的磁场会对铝盘上的感应电流有力的作用,从而产生一个转动的力矩,使铝盘
带动指针转动,由于弹簧游丝的反力矩,力矩平衡后会使指针稳定指在某一刻度上,A错
误,B正确;由楞次定律知,永久磁体转动方向与铝盘转动方向相同,C错误;永久磁体固定
在转轴上,铝盘固定在指针轴上,铝盘和永久磁体不是由同一转轴带动的,两者转动不是
同步的【点拨:电磁感应现象只能阻碍两者的相对转动,不能阻止】,D错误。
7.★★★(2026届江苏南京第二十九中开学考)半径为R的金属圆环由两种材料组成,圆
弧AMC为 圆周,电阻为r,圆弧ANC为 圆周,电阻为r,圆内有垂直环面向里的匀强磁场,
磁感应强度随时间均匀增大,磁感应强度变化率 =k,则UAC为 ( )

A.- kπR2 B.- kπR2 C. kπR2 D. kπR2
　 A　
解析　根据题意,由法拉第电磁感应定律可得金属圆环产生的感应电动势为E= =
=kπR2,由楞次定律可判断感应电流的方向为逆时针,根据闭合电路欧姆定律可得
感应电流为I= = ,由于圆弧AMC为 圆周,电阻为r,则圆弧AMC产生的感应电动
势为E1= E= kπR2,电流沿C→M→A流过圆弧AMC,电势降低了ΔU=Ir= kπR2,则有UAC=
E1-ΔU= kπR2- kπR2=- kπR2【易错:整个回路都产生了感应电动势,回路中任意一点都
可看作电源内部,计算电势差时要考虑自身产生的感应电动势】,A正确。
8.★★★(2025届石家庄实验中学模拟)如图所示,金属圆盘置于垂直纸面向里的匀强磁
场中,其中央和边缘各引出一根导线与套在铁芯上部的线圈A相连。套在铁芯下部的
线圈B引出两根导线接在两根水平光滑导轨上,导轨上有一根金属棒ab处在垂直于纸
面向外的匀强磁场中。下列说法正确的是( )
A.圆盘逆时针匀速转动时,a点的电势高于b点的电势
B.圆盘顺时针加速转动时,ab棒将向左运动
C.圆盘顺时针减速转动时,a点的电势高于b点的电势
D.圆盘逆时针加速转动时,ab棒将受到向左的安培力
　 B　
解析　圆盘逆时针匀速转动时,设圆盘转动的角速度为ω,圆盘半径为R,圆盘中磁感应
强度为B,则圆盘逆时针匀速转动时,根据法拉第电磁感应定律有E= BR2ω,即线圈A中
产生恒定的感应电流,线圈A中电流产生的磁场不变,穿过线圈B的磁通量不发生变化,
所以线圈B中无感应电流产生,则a点的电势等于b点的电势,A错误;圆盘顺时针加速转
动时,产生的感应电流逐渐增大。根据右手定则可知,感应电流从圆盘中央流向圆盘边
缘,根据右手螺旋定则可知,线圈A中电流产生的磁场方向向下,磁感应强度增大,所以穿
过线圈B的磁通量增大,根据楞次定律可知,线圈B中感应电流产生的磁场方向向上,根
据右手螺旋定则可知,ab棒中的感应电流从a端流向b端,则根据左手定则可知,ab棒将受
到向左的安培力,所以ab棒将向左运动,B正确;圆盘顺时针减速转动时,感应电流逐渐减
小,从圆盘中央流向圆盘边缘,线圈A中电流产生的磁场方向向下,磁感应强度减小,所以
穿过线圈B的磁通量减小,ab棒中的感应电流从b端流向a端,线圈B相当于电源,则a点的
电势低于b点的电势【点拨:电源内部沿电流方向电势升高,电源外部沿电流方向电势
降低】,C错误;圆盘逆时针加速转动时,产生的感应电流逐渐增大,根据右手定则可知,
感应电流从圆盘边缘流向圆盘中央,根据右手螺旋定则可知,线圈A中电流产生的磁场
方向向上,磁感应强度增大,所以穿过线圈B的磁通量增大,根据楞次定律可知,线圈B中
感应电流产生的磁场方向向下,根据右手螺旋定则可知,ab棒中的感应电流从b端流向a
端,则根据左手定则可知,ab棒将受到向右的安培力,D错误。
利用几何知识+待定系数法求解轨道方程
(2025届重庆八中月考)如图,一关于x轴对称的光滑导体轨道位于水平面内,磁感应强度
为B的匀强磁场垂直水平面向下。一足够长,质量为m的直导体棒平行于y轴置于轨道
上,在外力F作用下从原点由静止开始沿x轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动,运
动时棒与y轴始终平行。棒单位长度的电阻为ρ,与电阻不计的轨道接触良好,运动中产
生的热功率随棒位置的变化规律为P=k (k已知)。求:
(1)导体轨道的轨道方程y=f(x);
(2)棒在运动过程中受到的安培力F安随x的变化关系;
创新风向·数理结合
(3)棒从x=0运动到x=2l过程中外力F做的功。

答案
(1)y= (2)F安= x
(3) kl2+2mal
解析 (1)设导体轨道的轨道方程为y=Cxb,当棒运动到位置坐标x处时,有v2=2ax,E=B·2
yv,I= ,P=I·2yBv
联立可得P= xb+1
又P=k
则b+1= , =k
解得b= ,C=
可得y=
【点拨:建立坐标系,通过待定系数法求解轨道方程】
(2)棒在运动过程中受到的安培力F安=I·2yB= ·2yB
则F安随x的变化关系为F安= x
(3)棒从x=0运动到x=2l过程,根据动能定理得W+W安= mv2
安培力做的功为W安=- ·2l=- kl2
【点拨:安培力F安与x的成线性关系】
又v2=2a·2l
解得W= kl2+2mal
微专题28　电磁感应中的电路和图像问题
1.★★(2024福建,4,4分)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸
带,两条平行长边镶有铜丝,将纸带一端扭转180°,与另一端连接,形成拓扑结构的莫比
乌斯环,如图所示。连接后,纸环边缘的铜丝形成闭合回路,纸环围合部分可近似为半径
为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过,磁场区域的边界
是半径为r的圆(r中产生的感应电动势大小为 ( )

　 C　
A.0　　 B.kπR2　　 C.2kπr2　　 D.2kπR2
解析　分析可知“莫比乌斯环”边缘的铜丝形成了2匝线圈串联的闭合回路,穿过回路
的磁场有效面积为πr2, 根据法拉第电磁感应定律可得回路中产生的感应电动势大小为
E=n =n =nkS=2kπr2,C正确。
易错警示
(1)根据空间思维构建“莫比乌斯环”边缘的铜丝形成的线圈模型,匝数为2。
(2)磁场圆区域半径为r(r2.★★(2025届重庆一中三模)如图所示,三根完全相同的导体棒一端连在一起并固定在
转轴O上,另一端分别固定于导体圆环上的A、C、D点,并互成120°角,导体圆环的电阻
不计。转轴的右侧空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,范围足够大,现让圆环绕转轴O
顺时针匀速转动,在转动的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.A点的电势可能低于O点的电势
B.流过OA的电流方向始终不变
C.流过OA的电流大小始终不变
D.流过OA的电流大小有两个不同值
　 D　
解析　当OA在磁场中时,根据右手定则可知,电流从O到A,A为电源正极,O为电源负极,
A点的电势高于O点的电势,当OA在磁场外时,电流从A到O,A点的电势高于O点的电势,
A、B错误。如图甲、乙所示。对于转动过程中的不同时刻,等效电路有两种不同情
形,图甲为只有一根导体棒在磁场中的情形,图乙为有两根导体棒在磁场中的情形。两
电路中的电动势相同,总电阻相同,所以总电流相同【点拨:两相同电源并联时,等效电
动势等于其中任一电源电动势,等效内阻为两内阻并联的总阻值】,但流过图甲中的一
个电阻的电流和图乙中的一个电源的电流均为总电流的一半,故流过OA的电流大小有
两个不同值,C错误,D正确。
3.(多选)(溯源高考·2024湖北,T15)(2026届广东六校联盟联考)如图,水平面上有两根
固定的光滑平行金属导轨,导轨左侧接了一个阻值为R的定值电阻,两根导轨间距为L,
一个质量为m、总电阻为2R、直径为L的均匀金属圆环放置在导轨之间,与两根导轨良
好接触,整个空间存在磁感应强度大小为B,方向竖直向下的匀强磁场,某时刻开始,给圆
环一个向右的初速度v0,导轨足够长,下列说法正确的是 ( )
A.圆环运动初始时刻,流过定值电阻的电流方向为a→b,大小为
　 BCD　
B.圆环运动的整个过程中,流过定值电阻的电荷量为
C.圆环运动的总位移大小为
D.整个过程中,定值电阻上产生的焦耳热为 m
解析 (电路分析)圆环的左、右两个半圆弧均切割磁感线,等效长度均为L,等效电路图
如图所示,相当于两个相同的电源并联,圆环运动初始时刻,每一个半圆弧产生的电动势
E=BLv0,总电动势也为E=BLv0,每一个半圆弧的内阻r=R,总内阻r总=0.5r=0.5R,整个电路
的总电阻R总=1.5R,根据闭合电路欧姆定律有I= = ,圆环的左、右两个半圆弧均
切割磁感线,效果一样,根据右手定则,可判断通过定值电阻的电流方向为a→b,A错误。
(动量分析)对整个圆环受安培力做减速直线运动最后停下的过程,根据动量定理有∑
BILΔt=BLq=mv0,解得q= ,B正确。对圆环运动的全过程有q= ·t= ·t= ,联立解
得圆环运动的总位移大小为x= ,C正确。(能量分析)对整个电路,根据能量守恒有
Q= m ,其中QR= Q= m ,D正确。

4.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学二模)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一
水平面内,一长为r、电阻为R的均匀金属棒AB置于导轨上面,BA的延长线通过导轨中
心O点,装置的俯视图如图所示,整个装置位于一匀强磁场中,磁感应强度的大小为B,方
向竖直向下。在两圆导轨之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。金属棒在
水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动,在转动过程中始终与导轨保持良好接
触。导轨电阻不计。下列说法正确的是( )

　 B　
A.金属棒中电流从A流向B
B.金属棒两端电压为 Bωr2
C.电容器的M极板带负电
D.电容器所带电荷量为 CBωr2
解析　金属棒AB转动切割磁感线,产生感应电动势,金属棒AB相当于电源,由右手定则
可知电流从B流向A,A端电势高,B端电势低,可知电容器的M板带正电,A、C错误;金属
棒AB转动切割磁感线,产生感应电动势为E=B ×r= Bωr2,金属棒两端电压相当
于电源的路端电压,则金属棒两端电压为U= E= Bωr2,B正确;由电容的定义式C=
可得电容器所带电荷量为Q=CU= CBωr2【点拨:金属棒匀速转动,产生的感应电动
势恒定,电容器在电路中相当于断路,与定值电阻并联作为外电路,其两端电压均等于电
源的路端电压】,D错误。
1.★★(2025甘肃,6,4分)闭合金属框放置在磁场中,金属框平面始终与磁感线垂直。如
图,磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量,E为金属框中的感
应电动势,下列说法正确的是 ( )
A.t在0~ 内,Φ和E均随时间增大
　 C　
题组2　电磁感应中的图像问题
B.当t= 与 时,E大小相等,方向相同
C.当t= 时,Φ最大,E为零
D.当t= 时,Φ和E均为零
解题导引 B-t图像中,B的正负表示磁场方向与规定的正方向相同或相反;图线的斜率
表示磁感应强度随时间的变化率,斜率的绝对值越大,磁场变化越快,感应电动势越
大,斜率的正负表示感应电动势的方向。
解析 0~ ,由Φ=BS可得Φ随时间增大,但不是均匀增大;由E=n =n 可得E随时
间减小,A错误。当t= 和 时,图线斜率的绝对值相等,但正负不同,可得E大小相等、
方向相反,B错误。当t= 时,B最大,但B-t图线的斜率为零,可得Φ最大,E为零,C正确。当
t= 时,B为零,但B-t图线切线斜率的绝对值最大,可得Φ为零,E最大,D错误。
2.★★★(多选)(2021辽宁,9,6分)如图(a)所示,两根间距为L、足够长的光滑平行金属导
轨竖直放置并固定,顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所
示的匀强磁场,t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内,金属棒水平固定
在距导轨顶端L处;t=2t0时,释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好,导轨与金
属棒的电阻不计,则 ( )
　 BC　
A.在t= 时,金属棒受到安培力的大小为
B.在t=t0时,金属棒中电流的大小为
C.在t= 时,金属棒受到安培力的方向竖直向上
D.在t=3t0时,金属棒中电流的方向向右
解析 由图(b)得0~2t0内,B-t图线斜率的绝对值k= ,感应电动势恒定,E= = ·S=k·
L2,解得感应电流I= = 恒定,B正确;当t= 时,B= ,金属棒所受安培力为F=BIL,联立
可得此时安培力为F= ,A错误;由楞次定律可知0~2t0内,通过金属棒的电流方向水平
向左,由图(b)得,当t= 时,磁场方向垂直于纸面向外,由左手定则判断可得,此时金属棒
所受安培力方向竖直向上,C正确;由图(b)得,当t=3t0时,磁场方向垂直于纸面向外,金属
棒处于下落状态,由右手定则得金属棒中电流方向水平向左,D错误。
3.★★★(2026届安徽多校联考)已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小B=k ,其
中k是常量,I是导线中的电流,r是空间某点到导线的距离。如图所示,在水平面上固定
间距为d的光滑导轨,左端接有阻值为R的定值电阻。一质量为m、阻值也为R的导体棒
MN在水平拉力作用下沿导轨运动,已知运动过程中定值电阻的电功率恒为P,不计导轨
电阻,导体棒的速度v和加速度a与导体棒到直导线的距离r的关系图像可能正确的是
( )

　 C　
解析　定值电阻的电功率P=I2R,由闭合电路欧姆定律可得E=I·2R=2 ,由导体棒切割
磁感线得感应电动势E=Bdv=k dv,解得v= r,即导体棒的速度v与导体棒到直导线
的距离r成正比,A、B错误;加速度a= ,联立解得a= = × = v= r,即
加速度a与导体棒到直导线的距离r成正比,C正确,D错误。
4.★★★(2025届重庆巴蜀中学月考)如图所示,在光滑水平面上,MN、PQ间存在匀强磁
场,磁感应强度为B,方向垂直水平面向下。导线框abcde在水平面上受外力F(以向右为
正)作用,以垂直于MN的速度v匀速通过该磁场区域,cd边与MN重合时为计时起点。已
知ab边电阻为导线框总电阻R的 ,ab=bc=2L,cd=de=L,磁场区域的宽度为3L。设导线框
的总电动势大小为E,电流为i(设逆时针方向为正),ab端的电势差为Uab,导线框所受的安
培力为FA。在导线框通过磁场的过程中,下列图像正确的是 ( )

　 B　
解析 0~ 过程中,有E=BLv,i= (方向为逆时针),Uab= ,FA= ; ~ 过程中,有
E=BLv+Bv·v(t-t0),t0= ,E随t线性变化,当t= 时,E=2BLv;又i= (方向为逆时
针),Uab= ,与E的变化情况相同,当t= 时,i= ,Uab= ;安培力FA=
= ,FA-t图线为开口向上的二
次函数。 ~ 过程中,有E=0、i=0、FA=0,ab边开始切割磁感线,产生电动势,则有Uab
=2BLv【点拨:回路虽无电流,但因ab切割磁感线,仍能产生感应电动势】; ~ 过程
中,有E=BLv,i= (方向为顺时针),Uab=2BLv- E= ,FA= ; ~ 过程中,有E=
BLv+Bv2(t-4t0),t0= ,E随t线性变化,当t= 时,E=2BLv;又i= (方向为顺时
针),与E的变化情况相同。Uab=2BLv- = - ,Uab随t线性变化,当t= 时,Uab
= ;安培力为FA= = ,
FA-t图线为开口向上的二次函数,与 ~ 过程图像相同。B正确。
一题多解
~ 过程与 ~ 过程导线框产生的电动势大小、回路电流大小、导线框所受安培
力大小应相同,排除A、C、D选项,故选B。
微专题29　基础单杆模型
1.★★(多选)(2026届深圳多校开学考)如图甲所示,水平粗糙导轨左侧接有定值电阻R=
3 Ω,导轨处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,导轨间距L=1 m。一质量m=1
kg、阻值r=1 Ω的金属棒在水平向右拉力F作用下由静止开始从CD处运动,金属棒与导
轨间的动摩擦因数μ=0.25,金属棒的v-x图像如图乙所示,取g=10 m/s2,下列说法正确的是
( )
　
　 CD　
A.金属棒做匀加速直线运动
B.金属棒运动过程中,拉力F做的功等于金属棒的焦耳热
与克服摩擦力所做的功之和
C.x=1 m时,安培力的大小为0.5 N
D.从起点到位移x=1 m的过程中,回路产生的焦耳热为0.25 J
解析　若棒做匀加速直线运动,满足v2=2ax,可得v= ∝ ,而由题图乙可知金属棒的
速度与位移成正比,故金属棒做变加速直线运动,A错误。运动过程中金属棒受拉力、
安培力及摩擦力作用,金属棒做加速运动,动能增加,故拉力做的功大于金属棒克服安培
力和摩擦力所做的功之和,B错误。由题图乙可知当x=1 m时,金属棒的速度为2 m/s,则
金属棒产生的感应电动势E=BLv1=2 V,此时的电流I= =0.5 A,安培力FA=BIL=0.5 N,
C正确。由功能关系可知金属棒从起点运动到x=1 m处的过程中,回路产生的焦耳热等
于金属棒克服安培力所做的功,即Q=W=∑ Δx,从题图乙中图线与横坐标轴围成的
面积可知∑vΔx= ×2×1 m2/s=1 m2/s,解得该过程回路产生的焦耳热Q=0.25 J,D正确。
2.★★(多选)(2026届四川巴中模拟)如图,足够长的间距d=0.5 m的平行光滑金属导轨
MN、PQ固定在水平面内,导轨间存在一个宽度L=1 m的匀强磁场区域,磁感应强度大
小为B=2 T,方向如图所示。一根质量ma=0.1 kg、阻值Ra=2 Ω的金属棒a以v0=10 m/s的
初速度从左端开始沿导轨滑动,另一根阻值Rb=3 Ω的金属棒b始终静止在导轨上,两金
属棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨电阻不计,则 ( )
A.金属棒a刚进入磁场时,金属棒a两端的电压为4 V
B.金属棒a不能穿过磁场区域
　 CD　
C.金属棒a刚穿出磁场区域时的速度大小为8 m/s
D.金属棒a在磁场中运动的过程中,金属棒b上产生的焦耳热为1.08 J
解析　金属棒a刚进入磁场时的感应电动势E=Bdv0,金属棒a两端的电压U= E=
6 V,A错误;假设金属棒a未穿过磁场,最终停在距磁场左边界x处,由动量定理可得-B dΔt
=0-mav0,根据闭合电路欧姆定律有 = ,根据法拉第电磁感应定律有 = = ,
联立解得x=5 m>L,假设不成立,则金属棒a能穿过磁场区域,B错误;金属棒a刚穿出磁场
区域,由动量定理可得-B dΔt'=mav-mav0,根据闭合电路欧姆定律有 '= ,根据法拉
第电磁感应定律有 '= ,联立解得v=8 m/s,C正确;由能量守恒可得,回路中产生的总
焦耳热Q= ma - mav2,金属棒b上产生的焦耳热Qb= Q=1.08 J,D正确。
　 ABD　
3.★★★(多选)(2024山东,11,4分)如图所示,两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在
水平桌面上,其所在平面竖直且平行,导轨最高点到水平桌面的距离等于半径,最低点的
连线OO'与导轨所在竖直面垂直。空间充满竖直向下的匀强磁场(图中未画出),导轨左
端由导线连接。现将具有一定质量和电阻的金属棒MN平行OO'放置在导轨图示位置,
由静止释放。MN运动过程中始终平行于OO'且与两导轨接触良好,不考虑自感影响,下
列说法正确的是 ( )
A.MN最终一定静止于OO'位置
B.MN运动过程中安培力始终做负功
C.从释放到第一次到达OO'位置过程中,MN的速率一直在增大
D.从释放到第一次到达OO'位置过程中,MN中电流方向由M到N
解析 MN在运动过程中,受重力、支持力和安培力作用,且MN始终克服安培力做功将
机械能转化为电能,电能又转化为焦耳热;MN最后静止时,安培力为零,重力与支持力平
衡,只能在OO'位置,A、B正确。MN从释放到第一次运动到OO'位置过程中,由右手定
则可得MN中的电流方向由M到N,D正确;当重力沿导轨切线方向的分力与安培力沿导
轨切线方向的分力等大反向时,MN速率最大,故从释放到第一次到达OO'位置过程中,
MN的速率先增大后减小,C错误。
一题多解
MN所受重力与安培力的合力始终斜向左下,则类比等效重力场,MN在第一次到达OO'
之前已达到最大速率,C错误。
4.★★★(多选)(2025届重庆育才中学校二模)如图甲所示,整个空间有竖直向上的匀强
磁场,磁感应强度大小为B。两根足够长的平行光滑金属导轨水平固定放置,间距为L,
左端连接阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆垂直放置于导轨上,与导轨接触良
好,导轨和金属杆电阻不计。金属杆与质量为m的重物用绝缘细线绕过定滑轮连接,左
边细线与导轨平行。金属杆的v-t图像如图乙所示,t=T时剪断细线,t=2T时金属杆速度
减半,已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是 ( )

　 ACD　
A.t=2T时,金属杆的加速度大小为
B.0~T时间内定值电阻上产生的焦耳热为
C.T~2T时间内通过定值电阻的电荷量为
D.从t=0开始金属杆的最大位移大小为 +
解析 (运动分析)设金属杆匀速运动时的速度为v0,0~T时间内,金属杆产生的感应电动
势E=BLv0,感应电流I0= = ,受到的安培力F=BI0L= ,由于重物匀速运动,故F=
mg,解得v0= ,定值电阻上产生的焦耳热Q1= RT= ,金属杆移动的位移x1=v0T=
。t=T时剪断细线,金属杆的加速度瞬间变为a0= = =g,t=2T时,由于金属杆速
度减半,则感应电动势减半,感应电流减半,金属杆所受安培力减半,金属杆的加速度大
小为 ,A正确,B错误。(动量分析)T~2T过程中,对金属杆有-B Lt=m· v0-mv0,其中q= t,
解得q= ,C正确。从剪断细线到停止运动,对金属杆运用动量定理有-B 'Lt'=0-mv0,
其中q'= 't'= t'= = ,解得x2= ,故金属杆最大位移大小为xm=x1+x2= +
,D正确。
5.★★★(多选)(2024贵州,10,5分)如图,间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝
缘水平桌面上,左端接有一定值电阻R,导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖
直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上,在水平拉力作用下从静止开始做
匀加速直线运动,一段时间后撤去水平拉力,金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运
动过程中,最大速度为v,加速阶段的位移与减速阶段的位移相等,金属棒始终与导轨垂
直且接触良好,不计摩擦及金属棒与导轨的电阻,则( )

　 AB　
A.加速过程中通过金属棒的电荷量为
B.金属棒加速的时间为
C.加速过程中拉力的最大值为
D.加速过程中拉力做的功为 mv2
解析　金属棒加速过程中通过横截面的电荷量q= Δt= Δt= ·Δt= = ,加速阶
段的位移与减速阶段的位移相等,则加速过程中和减速过程中通过金属棒的电荷量相
等,对减速过程,由动量定理有-BL 'Δt'=0-mv,即BLq=mv,故q= ,A正确。由q= = ,
解得x= ,金属棒加速的过程中,有x= vt,解得加速时间t= ,B正确。金属棒在水
平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动,由牛顿第二定律可得F-B L=ma【提
示:u表示金属棒运动过程中的速度大小】,安培力增大,加速度不变,则拉力逐渐增大,撤
去拉力前瞬间,拉力最大,拉力的最大值Fm= +ma,其中a= ,联立解得Fm= ,C错
误。加速过程中拉力对金属棒做正功,安培力对金属棒做负功,由动能定理有WF-W克安=
mv2-0,可得WF=W克安+ mv2,因此加速过程中拉力做的功大于 mv2,D错误。
6.★★★(2025届湖北襄阳五中三模)如图所示,顶角为60°、足够长的等腰三角形金属
轨道MON水平固定在方向竖直向上、磁感应强度B=1 T的匀强磁场中,沿轨道角平分
线方向建立坐标轴Ox。质量m=5 kg且足够长的金属棒ab以速度v0=2 m/s进入轨道,之
后在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直,与轨道始终接触良好。已知金
属棒与金属轨道单位长度电阻均为r= Ω,不计一切阻力,则下列说法正确的是
( )

　
　 D
A.当金属棒ab进入轨道后,回路中将形成逆时针方向的电流
B.当金属棒ab进入轨道后,金属棒ab将做匀减速直线运动
C.当金属棒ab的速度为1 m/s时,回路中的电流大小为 A
D.当金属棒ab停止时,其水平方向运动的距离为x=3 m
解析　由右手定则可知,当金属棒ab进入轨道后,回路中将形成顺时针方向的电流,A错
误;设金属棒切割磁感线的有效长度为l,金属棒的速度为v,则感应电动势E=Blv,金属棒
与轨道组成的回路总电阻R=3lr,回路中的电流I= = (A),安培力F=BIl= (N),又
金属棒的位移x= = l,对金属棒由动量定理得-∑FΔt=mΔv,联立可得-∑ ·Δt=
ΔS=mΔv,其中ΔS= ,则可得- B2x2=mΔv,速度的变化量与位移的二次方成正比,金属
棒ab的运动不是匀减速直线运动,B错误;当金属棒ab的速度为1 m/s时,回路中的电流大
小为I= (A)= A,C错误;由B项分析可知- B2x2=mΔv,从金属棒进入轨道到金属棒
停下来,有Δv=0-v0,得- B2x2=-mv0,联立解得x=3 m,D正确。
7.★★★(2025四川,14,12分)如图所示,长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定
在水平绝缘桌面上,两者平行且相距l,M、P连线垂直于导轨,定滑轮位于N、Q连线中点
正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r,M、P间连接一阻值为2sr的电阻。空间有
垂直于桌面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉
动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。零时刻,金
属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好,重力加速度大
小为g。求:
(1)金属杆在导轨上运动时,回路的感应电动势;
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路的热功率;
(3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。
答案
(1)Blv (2) (3)
解析 (1)金属杆在导轨上运动时,由法拉第电磁感应定律得,回路的感应电动势E=
Blv。
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路中总电阻R=2sr+2dr,
回路的热功率P= = 。
(3)金属杆在导轨上做匀速直线运动的最终状态是金属杆即将脱离导轨,即金属杆所受
支持力N=0时,其做匀速直线运动路程达到最大。设金属杆运动的最大路程为x时,绳与
水平方向的夹角为θ,对金属杆进行受力分析并列平衡方程,水平方向上有F安=FT cos θ,
竖直方向上有mg=FT sin θ,安培力大小F安=BIl,闭合回路的感应电流I= ,回路中的总电
阻R'=2sr+2xr,联立整理后,得tan θ= ,
根据几何关系有tan θ= ,
联立后得 = ,
解得x= ,
所以金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程为x= 。
微专题30　含容含源单杆模型
1.★★(多选)(2025届湖南师大附中月考)如图所示,两条间距为d的平行光滑金属导轨
(足够长)固定在水平面上,导轨的左端接电动势为E的电源,右端接定值电阻,磁感应强
度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上。足够长的金属棒MN斜放在两导轨之间,
与导轨的夹角为30°,导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计,电源的内阻与定值电阻
阻值相等。当S1断开,S2闭合,给金属棒一个沿导轨平面与棒垂直的恒定作用力F0,经过
时间t0金属棒获得最大速度v0,定值电阻的最大功率为P0,在此过程中金属棒的最大加速
度为a0,金属棒与导轨始终接触良好,下列说法正确的是 ( )
　 AC　
题组1　单杆电源模型

A.金属棒的质量为
B.电源的内阻为
C.0~t0时间内,流过定值电阻某一横截面的电荷量为
D.若S2断开,S1闭合,则金属棒稳定运行的速度为
解析　施加外力F0瞬间,金属棒加速度最大,大小为a0,根据牛顿第二定律有F0=ma0,可得
m= ,A正确;金属棒达到最大速度v0时受力平衡,则有Fm=F0,又Em=BLv0,Im= ,Fm=BImL,
P0= R,结合L= ,联立解得R= ,B错误;0~t0时间内,对金属棒由动量定理可
得F0·t0-B L·t0=mv0,结合电流的定义式 = ,联立可得q= - ,C正确;S2断开,S1闭合,
金属棒稳定运行时,有E合=E-E1=0,E1=BLv1,结合L= 【点拨:棒在安培力作用下沿垂
直棒的方向上做加速运动,不要错误认为棒沿平行于导轨的方向运动】,联立可得v1=
,D错误。
2.★★★(多选)(2025届河南青桐鸣联考模拟)如图所示,足够长光滑平行导轨PN、QM
倾斜固定放置,导轨间距为L,导轨平面倾角为α,导轨区域有方向垂直导轨平面向上
的、磁感应强度为B的匀强磁场,导轨下端M、N接有直流电源。一根质量为m、长度
为L、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置,由静止释放,金属棒运动的最大速度大小为v1,
将电源反接,金属棒ab仍从开始的位置由静止释放,金属棒运动的最大速度大小为v2,金
属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,除金属棒外其余电阻不计,重力加速度为
g,则下列判断正确的是 ( )
　 CD　
A.v1与v2的方向一定相反
B.v1与v2的大小一定相等
C.v1+v2可能等于
D.v1-v2可能等于
解析 设电源的电动势为E,整个回路的电阻为R,电源反接前,金属棒达到最大速度时,
根据题意有B L=mg sin α,解得v1= + ,方向沿导轨向下;当电源反接后,
如果B L - ,方向沿导轨向下;如果B L>mg sin α,则金属棒会向上运动,速度最大时有
B L=mg sin α,解得v2= - ,方向沿导轨向上,A、B错误。若电源反接后,
金属棒向下运动,则v1+v2= ,C正确。若电源反接后,金属棒向上运动,则v1-v2=
【点拨:无论电源是否反接,金属棒最大速度对应的条件都是加速度为零】,
D正确。
3.★★★★(2025浙江6月,17,12分)如图所示,某兴趣小组设计了一新型两级水平电磁弹
射系统。第一级由间距为l的水平金属导轨、可在导轨上滑行的导电动子、输出电压
恒为U的电源和开关S组成,由此构成的回路总电阻为R1;第二级由固定在动子上间距也
为l的导电“ ”形滑杆、锁定在滑杆上可导电的模型飞机组成,由此构成的回路总电
阻为R2。另外在第二级回路内固定一超导线圈,它与第一、第二两级回路三者彼此绝
缘。导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S,动子从
静止开始运动,所受阻力与其速度成正比,比例系数为k。当动子运动距离为xm时(可视
为已匀速),立即断开S,在极短时间内实现下列操作:首先让超导线圈通上大电流,产生
竖直方向的强磁场,在第二级回路中产生磁通量Φ;再让超导线圈断开,磁场快速消失,同
时解锁飞机,对飞机实施第二次加速,飞机起飞。已知动子及安装其上所有装备的总质
量为M,其中飞机质量为m,在运动过程中,动子始终与导轨保持良好接触,忽略导轨电
阻。
(1)求动子在接通S瞬间受力的大小;
(2)求第一级弹射过程中动子能达到的最大速度vm;
(3)求第一级弹射过程中电源输出的总能量W;
(4)判断超导线圈中电流方向(俯视),并求飞机起飞时的速度大小。

答案
(1) (2) (3) + (4)顺时针 +
解析 (1)接通S瞬间,动子的速度为v=0,回路中的感应电动势为0,电源输出电压为U,由
闭合电路欧姆定律得回路中电流为
I1=
由安培力公式可得动子所受的安培力大小为F=BI1l
联立解得F=
(2)第一级弹射过程中,当动子的速度达到最大时,动子做匀速运动,此时动子的加速度
为0,受到的合力为0,由动子所受阻力与其速度成正比可知此时动子所受阻力大小F2=
kvm
由安培力公式可知动子所受的安培力大小为F2=BI2l
由法拉第电磁感应定律可得此时动子上产生的感应电动势为E=Blvm
由闭合电路欧姆定律得I2=
联立解得vm=
(3)第一级弹射过程中,取一段极短的时间Δt,对动子及安装其上的所有装备,由动量定
理得
BIl·Δt-kv·Δt=M·Δv
等式两侧求和得
∑BIl·Δt-∑kv·Δt=∑M·Δv
又q=∑I·Δt
整理得Bql-kxm=Mvm
解得q=
电源输出的总能量为W=qU
联立解得W= +
(4)①解法一 直接分析法
由于对飞机实施第二次加速,则由左手定则可知超导线圈断开后,第二级回路中的感应
电流方向(俯视)为顺时针,由右手螺旋定则可知超导线圈断开后,第二级回路中感应电
流的磁场方向为竖直向下,由楞次定律推论“增反减同”可知超导线圈中的大电流产
生的磁场方向也为竖直向下,再由右手螺旋定则可判断超导线圈中电流方向(俯视)为
顺时针
解法二 假设法
假设超导线圈中电流方向(俯视)为顺时针,则由右手螺旋定则可知超导线圈中的电流
产生竖直向下的强磁场,超导线圈断开时,磁场快速消失,由楞次定律和右手螺旋定则可
知第二级回路中产生顺时针(俯视)的感应电流,由左手定则可知解锁飞机后飞机在磁
场中受到水平向右的安培力,从而实现第二次加速,符合题意,故假设成立,超导线圈中
电流方向(俯视)为顺时针
②设飞机起飞时的速度大小为v飞,对飞机根据动量定理得
BI'L·Δt=mv飞-mvm
由法拉第电磁感应定律得第二级回路中产生的感应电动势为
E'= =
由闭合电路欧姆定律得第二级回路中的感应电流为I'=
联立解得v飞= +
1.★★★(多选)(2026届山东滨州期末)如图所示为两根足够长、间距为L的光滑竖直平
行金属导轨,导轨上端接有开关、电阻、电容器,其中电阻的阻值为R,电容器的电容为
C(不会击穿、初始不带电),金属棒MN水平放置,质量为m。空间存在垂直导轨向外、
磁感应强度为B的匀强磁场,不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关后,让MN沿导轨
由静止释放,金属棒MN始终与导轨接触良好并保持水平,重力加速度大小为g。下列说
法正确的是 ( )

　 BC　
题组2　单杆电容模型
A.只闭合开关S1,金属棒做匀加速直线运动
B.只闭合开关S1,金属棒MN下降时间t时速度为v,则下降高度h=
C.只闭合开关S2,电容器右侧金属板带负电
D.只闭合开关S2,某时刻金属棒MN的加速度大小a=
解析　只闭合开关S1,对金属棒,根据牛顿第二定律有mg-F安=ma0,又F安=BIL,I= ,整理
得a0=g- ,其中金属棒速度v在增大,则金属棒做加速度减小的加速运动,直到安培力
和重力平衡后做匀速直线运动,A错误;只闭合开关S1,金属棒MN下降时间t时速度为v,在
这个过程中对金属棒由动量定理有mgt-B Lt=mv-0,又 = , = ,ΔΦ=BLh,联立解得h=
,B正确;只闭合开关S2,根据右手定则可知感应电流方向由N到M,可知电容器
左侧金属板带正电,右侧金属板带负电,C正确;只闭合开关S2,金属棒MN运动过程中取
一段时间Δt,且Δt趋近于零,设金属棒加速度为a,则有I= = = =CBLa,对金属
棒,根据牛顿第二定律可mg-BIL=ma,联立解得a= ,D错误。
二级结论
单杆在含容电路中受恒力作用切割磁感线将做匀变速直线运动,加速度和电流都将恒
定不变。
2.★★★(多选)(2025届湖南长郡中学模拟)如图所示,水平金属圆环由外环和内环构成,
其半径分别为r1=0.3 m,r2=0.1 m,沿半径方向放置的金属杆固定在圆环上,金属圆环和金
属杆以角速度ω=5 rad/s绕中心轴线转动。两环通过电刷用导线连接间距为L=0.5 m的
两条平行光滑水平金属导轨PM、P'M',水平金属导轨接有理想电容器,电容C=1 F。MM
'右侧是水平绝缘导轨。导体棒ab、cd,垂直静止放置于MM'两侧,质量分别为m1=0.1 kg,
m2=0.2 kg,电阻均为r=0.1 Ω。ab放置位置与MM'距离足够大,所有导轨均光滑,除已知电
阻外,其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,忽略
磁场对电容器的影响。下列说法正确的是 ( )
　 AC　

A.水平金属圆环中金属杆产生的电动势为0.2 V
B.S掷向1,稳定后电容器所带电荷量的大小q=0.3 C
C.S掷向1,稳定后再将S掷向2,导体棒ab到达MM'的速度大小是 m/s
D.S掷向1,稳定后再将S掷向2,导体棒ab到达MM'时通过导体棒cd的电荷量是 C
解析　水平金属圆环中金属杆产生的电动势为E=B·(r1-r2)· =0.2 V,A正确;S掷向
1,金属杆产生的电动势不变,稳定后电容器所带电荷量的大小q=CU=CE=0.2 C,B错误;S
掷向1,稳定后再将S掷向2,电容器放电,对ab棒受力分析可知,其受到向右的安培力,做加
速运动,切割磁感线产生感应电动势,使通过回路的电流减小,安培力减小,直至ab棒产
生的感应电动势与电容器两端的电势差大小相等时,回路中的电流为0,安培力为0,随后
ab棒将做匀速运动,设匀速运动时速度为vm,根据C= ,有Δq=CΔU=C(0.2 V-BLvm),根据
动量定理有-B LΔt=0-m1vm,解得BLΔq=m1vm,代入数据解得vm= m/s,Δq= C,C正确;由
于MM'右侧导轨绝缘,cd棒中没有电流,所以通过导体棒cd的电荷量为0,D错误。
3.★★★★(2024全国甲,25,20分)两根平行长直光滑金属导轨距离为l,固定在同一水平
面(纸面)内,导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻,开关S与电容器并联;导
轨上有一长度略大于l的金属棒,如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应
强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合。金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速,
最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好,导轨电阻
和金属棒电阻忽略不计。
(1)在加速过程中,当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时,金属棒的速度大小是多
少
(2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S,改变外力使金属棒保持此速度做匀速运
动。之后某时刻,外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,求此时电容器两极间的电压
及从断开S开始到此刻外力做的功。

答案
(1) (2)
解析 (1)开关S闭合,电容器被短路,金属棒最后做速度为v0的匀速运动,可得此时金属
棒切割磁感线产生的感应电动势E=Blv0 ①
回路中的电流I= ②
金属棒所受安培力F安=BIl ③
F=F安 ④
联立①②③④可得F=
当P外=2PR时
·v=2 ·R=2 ·v
解得v=
(2)当P'外=2P'R时,设此时电流为I',可得F'· =2I'2R ⑤
又因为F'=F'安=BI'l ⑥
联立⑤⑥可得BI'l· =2I'2R ⑦
此时电阻R两端电压UR=I'R=Bl· ⑧
因为UC+UR=Bl· ⑨
【点拨:匀速运动的金属棒产生大小恒定的电动势,电阻和电容器处于外电路】
联立⑧⑨可得此时电容器两极间的电压UC=
从断开S开始到此刻外力做功为
W=∑F'Δx=∑BI'lΔx=∑BI'l· Δt【点拨:由于金属棒动能不变且无摩擦生热,外力对金
属棒做的功等于金属棒作为电源在电路中的总功,有W=E'qC,其中E'=Bl 】⑩
而∑I'Δt=qC=C·Bl
可得W=
微专题31　双杆模型
1.★★(多选)(2025届辽宁鞍山质量检测)如图所示,在水平面内固定有两根相互平行且
足够长的光滑金属导轨,电阻不计。在虚线l1的左侧存在方向竖直向上的匀强磁场,在虚
线l2的右侧存在方向竖直向下的匀强磁场,两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ab、cd
两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直,分别静置在两侧磁场中,现突然给金属棒ab一个水
平向左的初速度v0,从此时到两棒匀速运动的过程中,下列说法正确的是( )
AD　

题组1　等距双杆模型
A.金属棒ab中的电流方向由a→b
B.金属棒cd中的电流方向由c→d
C.安培力对金属棒ab的功率大小等于金属棒ab
的发热功率
D.两金属棒最终速度大小相等
解析　根据右手定则可知,回路电流沿顺时针方向,A正确,B错误。两金属棒组成的系
统能量守恒,金属棒ab的动能减少量等于金属棒cd的动能增加量和系统的焦耳热之和,
对金属棒ab,由动能定理可知,金属棒ab克服安培力做的功等于金属棒ab动能的减少量,
所以金属棒ab所受安培力的功率大于金属棒ab的发热功率,C错误。根据左手定则可
知金属棒ab受到向右的安培力做减速运动,金属棒cd受到向右的安培力做加速运动,当
金属棒cd产生的电动势等于金属棒ab产生的电动势时,回路中的总电动势为0,电流为0,
两金属棒开始做匀速直线运动,有BLvab=BLvcd,可知两金属棒最终的速度大小相等,D正
确。
2.★★(多选)(2026届江西九江部分学校联考)如图所示,两根固定的平行金属导轨(足够
长,电阻不计)由倾角为θ的倾斜部分和水平部分平滑连接构成,两导轨的间距为L,整个
装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,倾斜导轨区域的磁场方向垂直导轨所在
平面向上,水平导轨区域的磁场方向竖直向上。现将一质量为m、电阻为R、长度为L
的导体棒b锁定在水平导轨的左端,从倾斜导轨顶端由静止释放另一相同的导体棒a,a
棒到达倾斜导轨底端前已匀速运动,当a棒刚到达水平导轨左端时,将b棒解锁,两棒在水
平导轨上发生弹性正碰,碰撞时间极短。两棒始终与导轨垂直且接触良好,重力加速度
大小为g,不计一切摩擦。下列说法正确的是 ( )
　 ACD　

A.碰撞前瞬间,a棒的速率为
B.碰撞后,a棒的最大加速度为 g sin θ
C.两棒最终以相同的速率匀速运动
D.从碰撞结束到两棒稳定运动,系统产生的总焦耳热为
解析　设a棒在倾斜导轨上匀速运动时的速率为v,有mg sin θ=BIL= ,解得v=
,A正确。对两棒碰撞的过程,有mv=mva'+mvb', mv2= mva'2+ mvb'2,解得va'=0、
vb'=v【点拨:质量相等的两棒发生弹性正碰,速度互换】,两棒碰撞后瞬间a棒的加速度
最大,最大加速度am= = =g sin θ,B错误。碰撞后两棒在水平导轨上向右运动,
a棒的速度增大,b棒的速度减小,最终两棒的速度差为零(无感应电流),C正确。稳定时
两棒的速度相同,有mv=2mv共,系统产生的总焦耳热Q= mv2- (2m) ,解得Q=
,D正确。
3.★★★(多选)(2024黑吉辽,9,6分)如图,两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝
缘水平面上,间距为L,左、右两导轨面与水平面夹角均为30°,均处于竖直向上的匀强磁
场中,磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上,同
时由静止释放,两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2
m和m,长度均为L。导轨足够长且电阻不计,重力加速度大小为g,两棒在下滑过程中
( )

　 AB　
A.回路中的电流方向为abcda
B.ab中电流趋于
C.ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D.两棒产生的电动势始终相等
解析　对两棒分别由右手定则知电流方向为abcda,A正确。对ab棒沿左导轨面方向由
牛顿第二定律有2mg sin θ-2BIL cos θ=2ma1,对cd棒沿右导轨面方向由牛顿第二定律有
mg sin θ-BIL cos θ=ma2,两式比较得a1=a2,C错误。两棒加速度大小始终相等,所以速率
始终相等,因磁感应强度不同,所以两棒产生的电动势不相等,D错误。稳定后,两棒各自
沿左、右导轨面向下做匀速运动,对ab棒沿左导轨面方向由力的平衡条件有2BIL cos θ
=2mg sin θ,可得I= ,B正确。
4.★★★(多选)(2026届河南青铜鸣联考开学考)如图所示,间距为L的足够长平行直导
轨固定在绝缘水平面上,两导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁场的磁感应强
度大小为B,垂直于导轨的虚线MN左侧导轨光滑、右侧导轨粗糙,质量均为m的金属棒
ab、cd分别垂直放置在MN左右两侧的导轨上,均处于静止状态,金属棒cd与导轨间的
动摩擦因数为μ,给金属棒ab施加平行于导轨的大小恒为F(F>μmg)的外力,使金属棒ab
从静止开始水平向右运动,当金属棒ab运动距离为x时,金属棒cd恰好开始运动,最大静
摩擦力等于滑动摩擦力,两金属棒在此后的运动中始终与导轨垂直并接触良好,两金属
棒接入电路的电阻均为R,金属棒ab始终在MN左侧运动,忽略导轨的电阻,重力加速度为
g,则下列说法正确的是( )
　 BCD　

A.金属棒cd中的感应电流方向从c到d
B.当cd棒刚要滑动时,ab棒的速度大小为
C.从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中,cd中产生的焦耳热为 Fx-
D.金属棒ab和cd最终的速度差为
解析　金属棒ab向右运动,切割磁感线,由右手定则可知回路中感应电流方向为逆时针
方向,金属棒cd中的感应电流方向从d到c,A错误;cd棒刚要滑动时,其受到的安培力恰好
等于最大静摩擦力,满足BIL=μmg,由闭合电路欧姆定律有I= ,金属棒ab切割磁感线产
生的感应电动势E=BLv,联立得v= ,B正确;从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中,
外力F对ab做的功,一部分转化为ab的动能,另一部分转化为电路中的总焦耳热,由功能
关系有Fx=Q+ mv2,代入数据得Q=Fx- ,两金属棒电阻相等,且串联在电路中,
则两棒产生的焦耳热相等,Qcd= Q= Fx- ,C正确;金属棒ab和cd最终的速度差
恒定时,电路中的电流恒定,设速度差为Δv,则这时回路中的电流I'= ,由于速度差恒
定,因此两金属棒的加速度相同,对金属棒ab有F-BI'L=ma,对金属棒cd有BI'L-μmg=ma,联
立得Δv= ,D正确。
5.★★★★(2025甘肃,15,17分)在自动化装配车间,常采用电磁驱动的机械臂系统。如
图,ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨,间距为L,电阻忽略不计。导轨置于磁感
应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。导轨上有与之垂直并接触良好的
金属机械臂1和2,质量均为m,电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻,
机械臂1以初速度v0向右运动,机械臂2静止。运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统
达到稳定状态后,电流为零,两机械臂速度相同。
(1)求初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小及感应电流方向。
(2)系统达到稳定状态前,若机械臂1和2中的电流分别为I1和I2,写出两机械臂各自所受
安培力的大小;若电容器两端电压为U,写出电容器所带电荷量的表达式。
(3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞,二者在初始时刻的
间距至少为多少
答案
(1)BLv0　在纸面内向上 (2)I1LB I2LB Q=CU (3)
解析 (1)初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小E0=BLv0
由右手定则可知机械臂1中感应电流的方向在纸面内向上。
(2)机械臂1中产生的电流做功,一部分转化为电容器电能,一部分转化为机械臂2的动
能;机械臂1受到的安培力大小FA1=I1LB
机械臂2受到的安培力大小FA2=I2LB
由电容的定义式C= 可得,电容器所带电荷量的表达式为Q=CU。
(3)设两机械臂稳定运动时的共同速度为v,从开始至共速过程中,机械臂1和机械臂2中
的平均电流分别为 和 ,通过的电荷量分别为q1、q2,则q1= t,q2= t
对机械臂1,由动量定理得- LBt=mv-mv0
对机械臂2,由动量定理得 LBt=mv-0
电容器所带的电荷量Q=q1-q2
稳定后电容器两极板间的电压U=BLv
又C=
联立解得v=
某一瞬间,电容器两端的电压U=BLv1-I1R
电压还可以表示为U=BLv2+I2R
解得I1R+I2R=BL(v1-v2)
则( + )t=
由前面两个动量定理表达式得 LBt+ LBt=mv0
联立解得 t=mv0
为使两臂不相撞,两臂初始时刻的最小间距Δxmin=x1-x2=( - )t
则有 Δxmin=mv0
解得Δxmin= 。
1.★★★(多选)(2025届山东聊城二模)如图所示,水平面上固定着两组足够长平行光滑
金属导轨PQ和MN,宽度分别为L和2L,两组导轨用导线交叉连接(导线不接触),导轨区域
内存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小均为B。PQ导轨上垂直放置导体棒a,MN
导轨上垂直放置导体棒b,两棒质量均为m,接入电路的电阻均为R。某时刻两导体棒同
时获得向右的初速度v0,导体棒运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好,两导体棒
始终没有进入交叉区,不计导轨电阻,下列说法正确的 ( )

　 ABD　
题组2　不等距双杆模型
A.通过导体棒的最大电流为
B.两导体棒最终均做匀速运动,且导体棒b的运动方向向左
C.导体棒b上产生的热量为 m
D.整个过程中通过导体棒a的横截面的电荷量为
解析　两棒与导轨及交叉导线构成单回路,回路总电阻为2R,两棒均做减速运动,t=0时,
感应电动势最大,其大小为E=BLv0+2BLv0=3BLv0【易错:注意两棒的电动势因导线交叉
连接应相加而不是相减】,所以感应电流最大为I= = ,A正确;两导体棒初始阶段
都做减速运动,导体棒b所受安培力大于导体棒a所受安培力,两棒质量相等,则导体棒b
减速时的加速度较大,故导体棒b先减速到零,后反方向做加速运动,直到导体棒a速度大
小等于导体棒b速度大小的两倍【点拨:导体棒b反向加速运动过程中,产生的感应电动
势逐渐增大,导体棒a产生的感应电动势逐渐减小,当二者产生的感应电动势大小相等,
即BLva=B·2Lvb时,回路中的电流减小为0,此后二者做匀速直线运动】,两棒开始做匀速
运动,B正确;由于两个导体棒电阻都为R,且它们在同一回路中串联,流过它们的电流始
终相等,设从开始运动到两棒刚开始匀速运动的时间为Δt,规定初速度方向为正方向,对
导体棒a,由动量定理得-B LΔt=mva-mv0,对导体棒b,由动量定理得-B ·2LΔt=-mvb-mv0,又
va=2vb【二级结论:无外力作用下的不等距双杆模型,稳定状态满足速度大小与杆长成
反比】,解得最后两棒做匀速运动的速度大小为va= v0,vb= v0,回路产生的总热量为Q=2
× m - m - m = m ,所以导体棒b上产生的热量为Qb= Q= m ,C错误;对导体
棒a由动量定理得-B L·Δt=mva-mv0,q= ·Δt,解得整个过程中通过导体棒a的横截面的电
荷量为q= ,D正确。
2.★★★(多选)(2023辽宁,10,6分)如图,两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,
左、右两侧导轨间距分别为d和2d,处于竖直向上的磁场中,磁感应强度大小分别为2B
和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d,导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d,PQ的质
量是MN的2倍。初始时刻两棒静止,两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。
释放弹簧,两棒在各自磁场中运动直至停止,弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒
保持与导轨垂直并接触良好,导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是 ( )
　
　 AC
A.弹簧伸展过程中,回路中产生顺时针方向的电流
B.PQ速率为v时,MN所受安培力大小为
C.整个运动过程中,MN与PQ的路程之比为2∶1
D.整个运动过程中,通过MN的电荷量为
解析 弹簧伸展过程中,由右手定则可判定PQ向右运动产生的感应电流为顺时针方
向,MN向左运动产生的感应电流也是顺时针方向,所以回路中产生顺时针方向的电流,
A正确;因MN所受安培力F安1=2BId,PQ所受安培力F安2=BI·2d,所以F安1=F安2,两导体棒与弹
簧组成的系统动量守恒,mvMN-2mvPQ=0,当PQ的速率为v时,MN的速率为2v,此时E=2Bd·2v
+B·2dv=6Bdv,I= = ,MN所受安培力F安=2BId= ,B错误;任意时刻vMN∶vPQ=
2∶1,且速度方向相反,则在相同时间内MN和PQ的路程之比为2∶1,C正确;在整个运动
过程中弹簧最终恢复到原长,有xMN+xPQ=L,则MN左移 L,PQ右移 ,ΔΦ=2B· L·d+B· ·2d
=2BLd,通过MN的电荷量即通过整个回路的电荷量,q= t= ·Δt= ·Δt= = ,
D错误。
微专题32　线框模型
1.★★(2023北京,9,3分)如图所示,光滑水平面上的正方形导线框,以某一初速度进入竖
直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是
( )
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
　 D　
题组1　不受外力的线框模型
解析 线框进磁场的过程中,根据“增反减同”可以判断电流方向为逆时针方向,A错
误;线框出磁场的过程中,线框受到的安培力F安=BIL=B L= ,安培力与速度有关,
是一个变力,所以线框不可能做匀减速直线运动,B错误;线框产生的焦耳热为Q热=W克安,
进和出两过程线框运动距离相同,速度一直减小,出磁场过程中的安培力整体小于进磁
场过程中的安培力,所以克服安培力做功不相等,焦耳热也就不相等,C错误;通过导线横
截面的电荷量q= Δt= Δt= Δt= ,进和出两过程中磁通量的变化量大小相等,所
以通过导线横截面的电荷量相等,D正确。
2.★★(2026届四川内江六中开学考)作为高速交通的补充,高速磁悬浮列车可以满足人
们多元化的出行需求。图为磁悬浮列车系统的简化模型:水平光滑的绝缘平行直导轨
间,等距离分布方向相反的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,导轨的间距为L,每个磁场
分布区间的长度也为L。现导轨上有一边长为L、质量为m的单匝正方形金属线框,电
阻为R。线框从如图所示位置以速度v0开始向右滑行,下列说法正确的是( )


　 C
A.此时线框中的感应电流方向是顺时针方向
B.线框中产生的电流最大值为
C.线框运动过程中的最大加速度为
D.当线框停止滑行时,通过线框横截面的电荷量为
解析　线框向右运动,根据右手定则可知此时线框中的感应电流方向是逆时针方向,A
错误;线框左、右两条边产生的感应电动势顺次相加,可知刚开始运动时有最大感应电
动势E=2BLv0,线框中的电流最大值为I= = ,B错误;线框所受安培力为F=2BIL=
,根据牛顿第二定律得线框的最大加速度am= = ,C正确;在线框滑行过程
中,其左、右两条边均受到安培力作用,由左手定则可知安培力水平向左,对线框从速度
为v0到停止的过程,由动量定理有-2B LΔt=0-mv0,且q= Δt,联立解得通过线框横截面的
电荷量q= ,D错误。
A.线圈刚进入第3个磁场时速度大小为 v0
B.线圈在第2和第3磁场中匀速运动过程经历的时间之比为15∶17
C.线圈通过第2和第3个磁场产生的焦耳热之比为16∶15
D.若仅将线圈的匝数增加为n1=36,仍以原来的速度进入磁场,则
穿过完整的磁场的个数仍为10
3.★★★(多选)(2025届陕西咸阳模拟)电气列车中的电磁制动器是根据电磁阻尼原理
制成的。某同学欲研究电磁阻尼的性能,设计了图示的实验,光滑绝缘的水平面上存在
一系列宽度均为2d的相同的匀强磁场,相邻两磁场的间距为d,匝数n1=25,边长为d的正
方形金属线圈(同种材料制成,电阻不变)以初速度v0垂直于第一个磁场的左边界进入磁
场,结果线圈恰好能穿过完整的磁场的个数N1=10。下列说法正确的是( )

　 ABD
解析　由题意可知,线圈经过每一个磁场时,均先减速运动d,后匀速运动d,再减速运动d,
线圈在进入磁场或穿出磁场的过程中有n1B dΔt=mΔv,由闭合电路欧姆定律得 = ,由
法拉第电磁感应定律有 =n1 ,因为每次进入磁场或穿出磁场时线圈中磁通量变化量
ΔΦ=Bd2,联立可解得Δv= ,表明线圈在进入或穿出磁场的过程中速度的变化量相
等,则有v0=2N1Δv,可求出Δv= v0,故刚进入第3个磁场时线圈的速度等于v=v0-4Δv= v0,
A正确;同理可求出线圈进入第2和第3个磁场后的速度大小分别为 v0、 v0,由d=vt可
知线圈在第2和第3个磁场中匀速运动过程经历的时间之比为15∶17,B正确;线圈开始
进入第2个磁场时速度大小v1=v0-2Δv= v0,线圈开始进入第3个磁场时速度大小v=v0-4Δ
v= v0,线圈开始进入第4个磁场时速度大小v2=v0-6Δv= v0,线圈通过第2个磁场产生的
焦耳热Q1= m - mv2,通过第3个磁场产生的焦耳热Q2= mv2- m ,解得Q1∶Q2=17∶
15,C错误;对线圈从开始运动到停止过程,由动量定理可得- =0-mv0,线圈电阻R=
ρ ,线圈质量m=ρ'Sn1×4d,联立可推知穿过完整磁场的个数N与n1无关,故线圈仍能
通过10个完整的磁场,D正确。
4.★★★★(2023新课标,26,20分)一边长为L、质量为m的正方形金属细框,每边电阻为
R0,置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强
磁场,磁感应强度大小为B,两虚线为磁场边界,如图(a)所示。
(1)使金属框以一定的初速度向右运动,进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始
终与磁场边界平行,金属框完全穿过磁场区域后,速度大小降为它初速度的一半,求金属
框的初速度大小。
(2)在桌面上固定两条光滑长直金属导轨,导轨与磁场边界垂直,左端连接电阻R1=2R0,导
轨电阻可忽略,金属框置于导轨上,如图(b)所示。让金属框以与(1)中相同的初速度向
右运动,进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在
金属框整个运动过程中,电阻R1产生的热量。

图(a) 图(b)
答案
(1) (2)
解析 (1)金属框刚进入磁场到完全穿过磁场的过程中,有q= ·Δt、 = 、 = 、Δ
Φ=2BL2,解得此过程通过金属框的电荷量q= = ,根据动量定理有-B LΔt=m· -
mv0,可得BLq= mv0,解得金属框的初速度v0= 。
(2)金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好,导轨电阻可忽略,则上、下边框被导
轨短路,金属框进入磁场过程中左边框与R1并联,右边框相当于电源,等效电路图如图1
所示。

图1
R1与R0并联后电阻为 R0,R总1= R0,该过程R1上产生的热量与整个回路产生的热量之比
= ,由电路特点知 = = ,I总1=I1+I0,则 = ,设金属框刚好完全进入磁场时
的速度为v1,金属框刚进入磁场到完全进入磁场过程中,由动量定理可得- Δt1=mv1-mv
0,其中 =B L, = = ,解得v1= ,则此过程中整个回路产生的热量
Q总1= m - m =
此过程中R1产生的热量Q1= Q总1=
金属框全部在磁场中运动时,等效电路如图2所示
　
简化电路如图3所示
R内=
R总2=R1+R内= R0
该过程R1上产生的热量与整个回路产生的热量之比 = =
设金属框右边框刚要出磁场时的速度为v2,从金属框恰好完全进入磁场到金属框右边
框刚要出磁场过程中,通过整个闭合回路的磁通量发生变化,由动量定理可得
- Δt2=mv2-mv1
=B L,其中 = =
解得金属框右边框到达磁场右边界时的速度v2=0
则此过程中整个回路产生的热量Q总2= m - m =
此过程中R1产生的热量Q2= Q总2=
综上,R1产生的总热量
Q=Q1+Q2= =
1.★★★(多选)(2025届云南昆明一中月考)如图所示,水平的平行虚线间距为d,其间有
方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在距磁场上边界h处有一矩形
金属线框,线框边长分别为L1和L2,线框质量为m,电阻为R。现将线框由静止释放,线框
在运动过程中上下边始终与磁场上下边平行,其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的
速度恰好相等,重力加速度为g,忽略空气阻力,则 ( )
A.线框刚进入磁场时的感应电流I=
　 AD　
题组2　受外力的线框模型
B.线框在进入磁场的过程中先做加速运动,再做减速运动
C.线框在进入磁场的过程中的最小速度v=
D.线框在离开磁场的过程中产生的焦耳热Q=mgd
解析　对线框,从静止释放至进入磁场前瞬间的过程,根据动能定理有mgh= m ,解得v
1= ,线框刚进入磁场时的感应电流I= = = ,A正确。线框完全进入磁
场后将做匀加速直线运动,根据题意可知线框下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速
度恰好相等,说明线框在进入磁场的过程中做减速运动,或者先做减速运动后做匀速运
动【点拨:若线框刚进入磁场时所受的安培力的大小小于重力的大小,则线框在进入磁
场的过程中做加速运动,或者先做加速运动后做匀速运动,线框的下边缘刚出磁场时的
速度大于刚进磁场时的速度,与题意不符】,B错误。由B项的分析可知在线框完全进
入磁场瞬间其速度最小,对线框从上边缘刚进磁场到下边缘刚穿出磁场的过程,根据动
能定理有mg(d-L2)= m - mv2,解得v= 【易错:线框进入磁场的过程中,不
一定能达到匀速状态,不可直接应用安培力与重力大小相等的平衡条件求解线框的最
小速度】,C错误。根据题意可知,线框进入磁场的过程和穿出磁场的过程,其运动情况
完全相同,则线框完全离开磁场瞬间的速度与完全进入磁场瞬间的速度相同,根据能量
守恒可知线框离开磁场的过程中产生的焦耳热Q=mgd,D正确。
2.★★★★(多选)(2025届湖南长沙市一中月考)如图,两平行足够长且电阻可忽略的光
滑金属导轨安装在倾角为α的光滑绝缘斜面上,导轨间距为L,磁感应强度为B的有界匀
强磁场宽度为d,磁场方向与导轨平面垂直;长度为2d的绝缘杆将导体棒和边长为d的正
方形单匝金属线框连接在一起组成如图装置,其总质量为m,导体棒中通以大小为I的恒
定电流(由外接恒流源产生,图中未画出)。线框的总电阻为R,其下边与磁场区域边界平
行。情形1:将线框下边置于距磁场上边界x处由静止释放,线框恰好可匀速穿过磁场区
域。情形2:线框下边与磁场区域上边界重合时将线框由静止释放,导体棒恰好运动到
磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直,重力加速度为g。
则 ( )
　 BCD　

A.情形1中,从释放到线框下边刚穿过磁场过程通过线框横截面的电荷量q=
B.情形1中,线框下边与磁场上边界的距离x=
C.情形2中,装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热Q=4mgd sin α-BILd
D.情形2中,线框第一次穿越磁场区域所需的时间t= +
解析　情形1中,感应电动势的平均值 = ,感应电流的平均值 = , = ,解得q=
,A错误;情形1中,令线框经过磁场的速度为v0,则有Bd -mg sin α=0,线框进入磁场
前有 =2g sin α·x,解得x= ,B正确;情形2中,设线框上边与磁场下边界重合时
速度为v1,则此过程中线框产生的焦耳热Q=mg·2d sin α- m ,此后到装置速度减为0的
过程有mg·2d sin α-BILd=0- m ,解得Q=4mgd sin α-BILd,C正确;情形2中,感应电动势的
平均值 = = ,感应电流的平均值 = , = ,解得q1= t= ,对线框应用动
量定理有mg sin α·t-B dt=mv1,解得t= + ,D正确。
3.★★★(2025浙江1月,17,12分)如图所示,接有恒流源的正方形线框边长为 L、质量
为m、电阻为R,放在光滑水平地面上,线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B的
匀强磁场中。以磁场边界CD上一点为坐标原点,水平向右建立Ox轴,线框中心和一条
对角线始终位于Ox轴上。开关S断开,线框保持静止,不计空气阻力。
(1)线框中心位于x=0处,闭合开关S后,线框中电流大小为I,求:
①闭合开关S瞬间,线框受到的安培力大小;
②线框中心运动至x= 过程中,安培力做功及冲量;
③线框中心运动至x= 时,恒流源提供的电压。
(2)线框中心分别位于x=0和x= ,闭合开关S后,线框中电流大小为I,线框中心分别运动
到x=L所需时间分别为t1和t2,求t1-t2的值。
答案
(1)①2BIL　② L,指向x轴正方向　③BL2 +IR (2)0
解题导引 (1)恒流源电压U=IR+E感,利用能量守恒,E感由线框运动切割磁感线产生,结
合前面所求速度计算反电动势,进而求得电压。
(2)简谐运动时间分析:类比简谐运动,证明回复力F=-kx(x为相对平衡位置位移),方向与
位移方向相反,确定为简谐运动。
(3)简谐运动周期T=2π 与振幅无关,两次运动均从最大位移到x=L(平衡位置),时间均
相同。
解析 (1)①闭合开关S瞬间,线框在磁场中的有效长度l=2L
则线框在磁场中受到的安培力大小为F安=BIl=2BIL
②线框中心运动到x时,安培力大小为F安=2BI(L-x),则初始时和线框中心运动至x= 时的
安培力分别为F安1=2BIL,F安2=BIL,则线框中心由初始位置运动至x= 过程中,

安培力做功为W安= · = 【点拨:根据F安-x图线与横轴所围面积可以求解F安
做的功】
根据动能定理有W安= mv2,可得v= L,根据动量定理,安培力冲量等于动量变化量,
所以安培力的冲量大小为I=mv= L,方向指向x轴正方向。
③由能量守恒得UI=BILv+I2R【点拨:恒流源问题中,电压需满足U=IR+E感,其中E感为线
框运动产生的反电动势】,可得恒流源提供的电压为U=BL2 +IR【易错:易忽略线
框运动切割磁感线产生的感应电动势,仅计算电阻两端电压IR,导致电压公式遗漏反电
动势部分】。
(2)类比于简谐运动,回复力大小为F回=F安=2BI(L-x)=2BIx'=kx',且方向与位移方向反向,
根据简谐运动周期公式T=2π =2π 【点拨:判断简谐运动的关键是证明回复力
与位移成正比且方向相反,周期仅与系统本身性质如质量、等效劲度系数等有关】,由
题意可知,两次简谐运动周期相同,两次都从最大位移运动到平衡位置,时间均相同,则
有t1=t2= = ,故t1-t2=0。

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