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选必修第二册 第二章电磁感应
第1节　电磁感应现象　楞次定律
实验:探究影响感应电流方向的因素
电磁感应现象和楞次定律的理解及应用T1、2、3、5、6、7　　实验:探究影响感应电流方向的因素T4、8
五年高考
1.★★(2024江苏,10,4分)如图所示,a、b为正方形金属线圈,a线圈从图示位置匀速向右拉出匀强磁场过程中,a、b中产生的感应电流方向分别为(　　)
A.顺时针、顺时针
B.逆时针、逆时针
C.顺时针、逆时针
D.逆时针、顺时针
1.答案　A
2.★★(2025北京,10,3分)绝缘的轻质弹簧上端固定,下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由静止释放,磁铁开始振动,由于空气阻力的影响,振动最终停止。现将一个闭合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面上(如图所示),仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放,振动最终也停止。则(　　)
A.有无线圈,磁铁经过相同的时间停止运动
B.磁铁靠近线圈时,线圈有扩张趋势
C.磁铁离线圈最近时,线圈受到的安培力最大
D.有无线圈,磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同
2.答案　D
3.★★★(多选)(2023河北,8,6分)如图1,绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形,彼此接触良好,匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动,1、4同时沿图1箭头方向移动,移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图2位置时,金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中(　　)
A.金属杆所围回路中电流方向保持不变
B.通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加
C.金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反
D.金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同
3.答案　CD
4.(2025浙江1月,14-Ⅱ,3分)在“探究影响感应电流方向的因素”实验中,当电流从“-”接线柱流入灵敏电流表,指针左偏;从“G0”或“G1”接线柱流入,指针右偏。如图所示是某次实验中指针偏转角度最大的瞬间,则
(1)此时磁铁的运动状态是　　　　(选填“向上拔出”“静止”或“向下插入”)。
(2)只做以下改变,一定会增大图中电流表指针偏转角度的是　　　　(多选)。
A.磁铁静止,向上移动线圈
B.增大(1)中磁铁运动速度
C.将导线从接线柱G1移接至接线柱G0
D.将一个未与电路相接的闭合线圈套在图中线圈外
4.答案　(1)向下插入　(2)BC
解析　(1)根据题图中灵敏电流表指针的偏转方向【点拨:指针左偏,表明电流从“-”接线柱流入】可知螺线管中的感应电流的方向是逆时针方向(俯视),由安培定则可知感应电流产生的磁场方向向上,再由楞次定律可知磁铁运动造成的磁通量的变化应是向下的磁通量变大或向上的磁通量变小,已知磁铁的下端为N极,可判断磁铁正向下插入。
(2)磁铁静止,向上移动线圈,磁通量的变化率不一定变大,即产生的感应电动势不一定变大,感应电流不一定变大,电流表指针偏转角度不一定变大,A不符合题意。增大(1)中磁铁的运动速度,增大了磁通量的变化率,可以增大感应电动势,从而增大感应电流,进而增大电流表指针偏转角度,B符合题意。将导线从接线柱G1移接至接线柱G0,换了更小的量程,通过的电流不变,可以增大电流表指针偏转角度,C符合题意。将一个未与电路相接的闭合线圈套在图中线圈外,对电流表指针的偏转角度没有影响,D不符合题意。
易错警示　(1)易混淆磁铁运动方向与磁通量变化的直接联系,“向下插入”对应磁通量在增加,“向上拔出”对应磁通量在减少;
(2)混淆“磁通量变化”与“磁通量变化率”,错误地认为只要磁通量增加电流就会增大。
三年模拟
5.★★(2025届八省联考·四川)如图,水平面MN下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,纸面为竖直平面。不可形变的导体棒ab和两根可形变的导体棒组成三角形回路框,其中ab始终保持水平,框从MN上方由静止释放,框面始终在纸面内,在框落入磁场且ab未到达MN的过程中,沿磁场方向观察,框的大致形状及回路中的电流方向为(　　)
　　　
5.答案　C
6.★★★(2026届江苏南京六校联合体调研)如图所示,有一根竖直向下的长直导线,导线中通有向下的恒定电流,从靠近导线的位置以水平向右的速度抛出一金属圆环,圆环运动过程中始终与导线处于同一竖直面内。不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.圆环中不会产生感应电流
B.圆环中会产生顺时针方向的感应电流
C.圆环做平抛运动
D.开始的一小段时间内,圆环所受安培力向左
6.答案　D
7.★★★(2025届河南郑州外国语学校模拟)一个长直密绕螺线管N放在一个金属圆环M的中心,圆环轴线与螺线管轴线重合,如图甲所示。螺线管N通有如图乙所示的电流,下列说法正确的是(　　)
　
A.t=时刻,圆环有扩张的趋势
B.t=时刻,圆环有收缩的趋势
C.t=和t=时刻,圆环中的感应电流相同
D.t=和t=时刻,圆环中的感应电流不同
7.答案　A
8.(2025届黑龙江大庆实验中学月考)甲、乙、丙三位同学分别进行电磁感应现象的探究。
(1)如图a,甲同学在断开开关时发现电流计指针向左偏转,下列操作中也能使指针向左偏转的为　　　　。
A.闭合开关
B.开关闭合时将A线圈从B线圈中拔出
C.开关闭合时,将滑动变阻器滑片向左滑动
D.将A线圈减速插入B线圈
(2)如图b所示,乙同学在研究电磁感应现象时,将一线圈两端与电流传感器相连,强磁铁从长玻璃管上端由静止下落,电流传感器记录了强磁铁穿过线圈过程中电流随时间变化的图像,如图c所示,t2时刻电流为0。下列说法正确的是　　　　。
　
A.在t2时刻,穿过线圈的磁通量的变化率为0
B.在下落初始的一小段时间内,强磁铁的加速度小于重力加速度
C.强磁铁穿过线圈的过程中,受到线圈的作用力先向上后向下
D.在t1到t3时间内,强磁铁重力势能的减少量等于其动能的增加量
(3)丙同学设计了如图d所示的实验装置,其中R为光敏电阻(其阻值与光照强度成负相关),轻质金属环A用轻绳悬挂,与长直螺线管共轴(A线圈平面与螺线管线圈平面平行),并位于螺线管左侧。当光照增强时,从右向左看,金属环A中电流方向为　　　　(填“顺时针”或“逆时针”),A将会　　　　(填“向左”或“向右”)运动。
图d
8.答案　(1)B　(2)AB　(3)顺时针　向左
解析　(1)断开开关时,A线圈中电流迅速减小,则B线圈中磁通量减小,出现感应电流,使灵敏电流计指针向左偏转;为了同样使指针向左偏转,应减小B线圈中的磁通量或增加B线圈中反向的磁通量,开关闭合时将A线圈从B线圈中拔出,B线圈中磁通量减小,则灵敏电流计指针向左偏转,B正确。
(2)t2时刻电流为0,说明感应电动势为零,由E=n可知穿过线圈的磁通量的变化率为0,A正确;由“来拒去留”可知在下落初始的一小段时间内,强磁铁受到线圈向上的作用力F,可知初始阶段强磁铁的加速度小于重力加速度,B正确;由“来拒去留”可知强磁铁穿过线圈的过程中,受到线圈的作用力始终向上,C错误;在t1到t3时间内,线圈会产生的内能,则强磁铁重力势能的减少量大于其动能的增加量,D错误。
(3)根据右手螺旋定则可知,螺线管内部磁场方向向右,金属环所在位置的磁场向右,当光照增强时,光敏电阻的阻值减小,回路中电流增大,穿过金属环的磁通量增大,根据增反减同可知,金属环中感应电流产生的磁场方向向左,根据右手螺旋定则,从右向左看,金属环A中电流方向为顺时针;穿过金属环的磁通量增大,金属环将向左运动以阻碍磁通量的增大。
第2节　法拉第电磁感应定律　自感和涡流
法拉第电磁感应定律的理解及应用T3、5、7　　导体切割磁感线产生感应电动势T4、8 自感现象T2　　涡流　电磁阻尼和电磁驱动T1、6
五年高考
1.★(2024湖北,1,4分)《梦溪笔谈》中记录了一次罕见的雷击事件:房屋被雷击后,屋内的银饰、宝刀等金属熔化了,但是漆器、刀鞘等非金属却完好(原文为:有一木格,其中杂贮诸器,其漆器银扣者,银悉熔流在地,漆器曾不焦灼。有一宝刀,极坚钢,就刀室中熔为汁,而室亦俨然)。导致金属熔化而非金属完好的原因可能为(　　)
A.摩擦　　　　B.声波
C.涡流　　　　D.光照
1.答案　C
2.★★(2023北京,5,3分)如图所示,L是自感系数很大、电阻很小的线圈,P、Q是两个相同的小灯泡。开始时,开关S处于闭合状态,P灯微亮,Q灯正常发光,断开开关(　　)
A.P与Q同时熄灭　　　　B.P比Q先熄灭
C.Q闪亮后再熄灭　　　　D.P闪亮后再熄灭
2.答案　D
3.★★★(2022河北,5,4分)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆面积为S1,小圆面积均为S2,垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场,磁感应强度大小B=B0+kt,B0和k均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为(　　)
A.kS1　　　　B.5kS2
C.k(S1-5S2)　　　　D.k(S1+5S2)
3.答案　D
4.★★★(多选)(2025全国,21,6分)如图,过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动,O为圆环的圆心,OP为圆环的半径。则(　　)
A.圆环中感应电流始终绕O逆时针流动
B.OP与虚线平行时圆环中感应电流最大
C.圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同
D.圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大
4.答案　BC
5.★★★(2022重庆,13,12分)某同学以金属戒指为研究对象,探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示,戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为ρ的单匝圆形线圈,放置在匀强磁场中,磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0,求:
(1)戒指中的感应电动势和电流;
(2)戒指中电流的热功率。
5.答案　(1)　　(2)
解析　(1)设戒指的半径为r,则有L=2πr
磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0,产生的感应电动势为E=·πr2
可得E=
戒指的电阻R=
则戒指中的感应电流I==。
(2)戒指中电流的热功率P=I2R=。
三年模拟
6.★★(2025届北京四中模拟)电磁驱动是21世纪初问世的新技术,它被认为将引发交通工具的革命。在日常生活中,摩托车和汽车上装的磁性转速表就是利用了电磁驱动原理。如图所示是磁性转速表及其原理图,永久磁体随车轮系统的转轴转动,铝盘固定在指针轴上,与永久磁体不固定。关于磁性转速表的电磁驱动原理,下列说法正确的是(　　)
A.铝盘接通电源,通有电流的铝盘在磁场作用下带动指针转动
B.永久磁体随转轴转动产生运动的磁场,在铝盘中产生感应电流,感应电流使铝盘受磁场力而转动
C.铝盘转动的方向与永久磁体转动方向相反
D.由于铝盘和永久磁体被同一转轴带动,所以两者的转动是完全同步的
6.答案　B
7.★★★(2026届江苏南京第二十九中开学考)半径为R的金属圆环由两种材料组成,圆弧AMC为圆周,电阻为r,圆弧ANC为圆周,电阻为r,圆内有垂直环面向里的匀强磁场,磁感应强度随时间均匀增大,磁感应强度变化率=k,则UAC为(　　)
A.-kπR2　B.-kπR2　C.kπR2　D.kπR2
7.答案　A
8.★★★(2025届石家庄实验中学模拟)如图所示,金属圆盘置于垂直纸面向里的匀强磁场中,其中央和边缘各引出一根导线与套在铁芯上部的线圈A相连。套在铁芯下部的线圈B引出两根导线接在两根水平光滑导轨上,导轨上有一根金属棒ab处在垂直于纸面向外的匀强磁场中。下列说法正确的是(　　)
A.圆盘逆时针匀速转动时,a点的电势高于b点的电势
B.圆盘顺时针加速转动时,ab棒将向左运动
C.圆盘顺时针减速转动时,a点的电势高于b点的电势
D.圆盘逆时针加速转动时,ab棒将受到向左的安培力
8.答案　B
创新风向·数理结合
利用几何知识+待定系数法求解轨道方程
(2025届重庆八中月考)如图,一关于x轴对称的光滑导体轨道位于水平面内,磁感应强度为B的匀强磁场垂直水平面向下。一足够长,质量为m的直导体棒平行于y轴置于轨道上,在外力F作用下从原点由静止开始沿x轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动,运动时棒与y轴始终平行。棒单位长度的电阻为ρ,与电阻不计的轨道接触良好,运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=k(k已知)。求:
(1)导体轨道的轨道方程y=f(x);
(2)棒在运动过程中受到的安培力F安随x的变化关系;
(3)棒从x=0运动到x=2l过程中外力F做的功。
答案　(1)y= 　(2)F安=x
(3)kl2+2mal
解析　(1)设导体轨道的轨道方程为y=Cxb,当棒运动到位置坐标x处时,有v2=2ax,E=B·2yv,I=,P=I·2yBv
联立可得P=xb+1
又P=k
则b+1=,=k
解得b=,C=
可得y=
【点拨:建立坐标系,通过待定系数法求解轨道方程】
(2)棒在运动过程中受到的安培力F安=I·2yB=·2yB
则F安随x的变化关系为F安=x
(3)棒从x=0运动到x=2l过程,根据动能定理得W+W安=mv2
安培力做的功为W安=-·2l=-kl2
【点拨:安培力F安与x的成线性关系】
又v2=2a·2l
解得W=kl2+2mal
微专题28　电磁感应中的电路和图像问题
题组1　电磁感应中的电路问题
1.★★(2024福建,4,4分)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带,两条平行长边镶有铜丝,将纸带一端扭转180°,与另一端连接,形成拓扑结构的莫比乌斯环,如图所示。连接后,纸环边缘的铜丝形成闭合回路,纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过,磁场区域的边界是半径为r的圆(rA.0　　　B.kπR2　　　C.2kπr2　　　D.2kπR2
1.答案　C
2.★★(2025届重庆一中三模)如图所示,三根完全相同的导体棒一端连在一起并固定在转轴O上,另一端分别固定于导体圆环上的A、C、D点,并互成120°角,导体圆环的电阻不计。转轴的右侧空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,范围足够大,现让圆环绕转轴O顺时针匀速转动,在转动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.A点的电势可能低于O点的电势
B.流过OA的电流方向始终不变
C.流过OA的电流大小始终不变
D.流过OA的电流大小有两个不同值
2.答案　D
3.(多选)(溯源高考·2024湖北,T15)(2026届广东六校联盟联考)如图,水平面上有两根固定的光滑平行金属导轨,导轨左侧接了一个阻值为R的定值电阻,两根导轨间距为L,一个质量为m、总电阻为2R、直径为L的均匀金属圆环放置在导轨之间,与两根导轨良好接触,整个空间存在磁感应强度大小为B,方向竖直向下的匀强磁场,某时刻开始,给圆环一个向右的初速度v0,导轨足够长,下列说法正确的是(　　)
A.圆环运动初始时刻,流过定值电阻的电流方向为a→b,大小为
B.圆环运动的整个过程中,流过定值电阻的电荷量为
C.圆环运动的总位移大小为
D.整个过程中,定值电阻上产生的焦耳热为m
3.答案　BCD
4.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学二模)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内,一长为r、电阻为R的均匀金属棒AB置于导轨上面,BA的延长线通过导轨中心O点,装置的俯视图如图所示,整个装置位于一匀强磁场中,磁感应强度的大小为B,方向竖直向下。在两圆导轨之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。金属棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动,在转动过程中始终与导轨保持良好接触。导轨电阻不计。下列说法正确的是(　　)
A.金属棒中电流从A流向B
B.金属棒两端电压为Bωr2
C.电容器的M极板带负电
D.电容器所带电荷量为CBωr2
4.答案　B
题组2　电磁感应中的图像问题
1.★★(2025甘肃,6,4分)闭合金属框放置在磁场中,金属框平面始终与磁感线垂直。如图,磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量,E为金属框中的感应电动势,下列说法正确的是(　　)
A.t在0~内,Φ和E均随时间增大
B.当t=与时,E大小相等,方向相同
C.当t=时,Φ最大,E为零
D.当t=时,Φ和E均为零
1.答案　C
2.★★★(多选)(2021辽宁,9,6分)如图(a)所示,两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定,顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场,t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内,金属棒水平固定在距导轨顶端L处;t=2t0时,释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好,导轨与金属棒的电阻不计,则(　　)
A.在t=时,金属棒受到安培力的大小为
B.在t=t0时,金属棒中电流的大小为
C.在t=时,金属棒受到安培力的方向竖直向上
D.在t=3t0时,金属棒中电流的方向向右
2.答案　BC
3.★★★(2026届安徽多校联考)已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小B=k,其中k是常量,I是导线中的电流,r是空间某点到导线的距离。如图所示,在水平面上固定间距为d的光滑导轨,左端接有阻值为R的定值电阻。一质量为m、阻值也为R的导体棒MN在水平拉力作用下沿导轨运动,已知运动过程中定值电阻的电功率恒为P,不计导轨电阻,导体棒的速度v和加速度a与导体棒到直导线的距离r的关系图像可能正确的是(　　)
　　　
3.答案　C
4.★★★(2025届重庆巴蜀中学月考)如图所示,在光滑水平面上,MN、PQ间存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直水平面向下。导线框abcde在水平面上受外力F(以向右为正)作用,以垂直于MN的速度v匀速通过该磁场区域,cd边与MN重合时为计时起点。已知ab边电阻为导线框总电阻R的,ab=bc=2L,cd=de=L,磁场区域的宽度为3L。设导线框的总电动势大小为E,电流为i(设逆时针方向为正),ab端的电势差为Uab,导线框所受的安培力为FA。在导线框通过磁场的过程中,下列图像正确的是(　　)
　
　
4.答案　B
微专题29　基础单杆模型
1.★★(多选)(2026届深圳多校开学考)如图甲所示,水平粗糙导轨左侧接有定值电阻R=3 Ω,导轨处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,导轨间距L=1 m。一质量m=1 kg、阻值r=1 Ω的金属棒在水平向右拉力F作用下由静止开始从CD处运动,金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.25,金属棒的v-x图像如图乙所示,取g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
　　
A.金属棒做匀加速直线运动
B.金属棒运动过程中,拉力F做的功等于金属棒的焦耳热与克服摩擦力所做的功之和
C.x=1 m时,安培力的大小为0.5 N
D.从起点到位移x=1 m的过程中,回路产生的焦耳热为0.25 J
1.答案　CD
2.★★(多选)(2026届四川巴中模拟)如图,足够长的间距d=0.5 m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内,导轨间存在一个宽度L=1 m的匀强磁场区域,磁感应强度大小为B=2 T,方向如图所示。一根质量ma=0.1 kg、阻值Ra=2 Ω的金属棒a以v0=10 m/s的初速度从左端开始沿导轨滑动,另一根阻值Rb=3 Ω的金属棒b始终静止在导轨上,两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨电阻不计,则(　　)
A.金属棒a刚进入磁场时,金属棒a两端的电压为4 V
B.金属棒a不能穿过磁场区域
C.金属棒a刚穿出磁场区域时的速度大小为8 m/s
D.金属棒a在磁场中运动的过程中,金属棒b上产生的焦耳热为1.08 J
2.答案　CD
3.★★★(多选)(2024山东,11,4分)如图所示,两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在水平桌面上,其所在平面竖直且平行,导轨最高点到水平桌面的距离等于半径,最低点的连线OO'与导轨所在竖直面垂直。空间充满竖直向下的匀强磁场(图中未画出),导轨左端由导线连接。现将具有一定质量和电阻的金属棒MN平行OO'放置在导轨图示位置,由静止释放。MN运动过程中始终平行于OO'且与两导轨接触良好,不考虑自感影响,下列说法正确的是　(　　)
A.MN最终一定静止于OO'位置
B.MN运动过程中安培力始终做负功
C.从释放到第一次到达OO'位置过程中,MN的速率一直在增大
D.从释放到第一次到达OO'位置过程中,MN中电流方向由M到N
3.答案　ABD
4.★★★(多选)(2025届重庆育才中学校二模)如图甲所示,整个空间有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。两根足够长的平行光滑金属导轨水平固定放置,间距为L,左端连接阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆垂直放置于导轨上,与导轨接触良好,导轨和金属杆电阻不计。金属杆与质量为m的重物用绝缘细线绕过定滑轮连接,左边细线与导轨平行。金属杆的v-t图像如图乙所示,t=T时剪断细线,t=2T时金属杆速度减半,已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
　
A.t=2T时,金属杆的加速度大小为
B.0~T时间内定值电阻上产生的焦耳热为
C.T~2T时间内通过定值电阻的电荷量为
D.从t=0开始金属杆的最大位移大小为+
4.答案　ACD
5.★★★(多选)(2024贵州,10,5分)如图,间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上,左端接有一定值电阻R,导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的
匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上,在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动,一段时间后撤去水平拉力,金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中,最大速度为v,加速阶段的位移与减速阶段的位移相等,金属棒始终与导轨垂直且接触良好,不计摩擦及金属棒与导轨的电阻,则(　　)
A.加速过程中通过金属棒的电荷量为
B.金属棒加速的时间为
C.加速过程中拉力的最大值为
D.加速过程中拉力做的功为mv2
5.答案　AB
6.★★★(2025届湖北襄阳五中三模)如图所示,顶角为60°、足够长的等腰三角形金属轨道MON水平固定在方向竖直向上、磁感应强度B=1 T的匀强磁场中,沿轨道角平分线方向建立坐标轴Ox。质量m=5 kg且足够长的金属棒ab以速度v0=2 m/s进入轨道,之后在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直,与轨道始终接触良好。已知金属棒与金属轨道单位长度电阻均为r= Ω,不计一切阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.当金属棒ab进入轨道后,回路中将形成逆时针方向的电流
B.当金属棒ab进入轨道后,金属棒ab将做匀减速直线运动
C.当金属棒ab的速度为1 m/s时,回路中的电流大小为 A
D.当金属棒ab停止时,其水平方向运动的距离为x=3 m
6.答案　D
7.★★★(2025四川,14,12分)如图所示,长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上,两者平行且相距l,M、P连线垂直于导轨,定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r,M、P间连接一阻值为2sr的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。零时刻,金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好,重力加速度大小为g。求:
(1)金属杆在导轨上运动时,回路的感应电动势;
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路的热功率;
(3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。
7.答案　(1)Blv　(2)　(3)
解析　(1)金属杆在导轨上运动时,由法拉第电磁感应定律得,回路的感应电动势E=Blv。
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路中总电阻R=2sr+2dr,
回路的热功率P==。
(3)金属杆在导轨上做匀速直线运动的最终状态是金属杆即将脱离导轨,即金属杆所受支持力N=0时,其做匀速直线运动路程达到最大。设金属杆运动的最大路程为x时,绳与水平方向的夹角为θ,对金属杆进行受力分析并列平衡方程,水平方向上有F安=FT cos θ,竖直方向上有mg=FT sin θ,安培力大小F安=BIl,闭合回路的感应电流I=,回路中的总电阻R'=2sr+2xr,联立整理后,得tan θ=,
根据几何关系有tan θ=,
联立后得=,
解得x=,
所以金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程为x=。
微专题30　含容含源单杆模型
题组1　单杆电源模型
1.★★(多选)(2025届湖南师大附中月考)如图所示,两条间距为d的平行光滑金属导轨(足够长)固定在水平面上,导轨的左端接电动势为E的电源,右端接定值电阻,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上。足够长的金属棒MN斜放在两导轨之间,与导轨的夹角为30°,导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计,电源的内阻与定值电阻阻值相等。当S1断开,S2闭合,给金属棒一个沿导轨平面与棒垂直的恒定作用力F0,经过时间t0金属棒获得最大速度v0,定值电阻的最大功率为P0,在此过程中金属棒的最大加速度为a0,金属棒与导轨始终接触良好,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒的质量为
B.电源的内阻为
C.0~t0时间内,流过定值电阻某一横截面的电荷量为
D.若S2断开,S1闭合,则金属棒稳定运行的速度为
1.答案　AC
2.★★★(多选)(2025届河南青桐鸣联考模拟)如图所示,足够长光滑平行导轨PN、QM倾斜固定放置,导轨间距为L,导轨平面倾角为α,导轨区域有方向垂直导轨平面向上的、磁感应强度为B的匀强磁场,导轨下端M、N接有直流电源。一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置,由静止释放,金属棒运动的最大速度大小为v1,将电源反接,金属棒ab仍从开始的位置由静止释放,金属棒运动的最大速度大小为v2,金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,除金属棒外其余电阻不计,重力加速度为g,则下列判断正确的是(　　)
A.v1与v2的方向一定相反
B.v1与v2的大小一定相等
C.v1+v2可能等于
D.v1-v2可能等于
2.答案　CD
3.★★★★(2025浙江6月,17,12分)如图所示,某兴趣小组设计了一新型两级水平电磁弹射系统。第一级由间距为l的水平金属导轨、可在导轨上滑行的导电动子、输出电压恒为U的电源和开关S组成,由此构成的回路总电阻为R1;第二级由固定在动子上间距也为l的导电“ ”形滑杆、锁定在滑杆上可导电的模型飞机组成,由此构成的回路总电阻为R2。另外在第二级回路内固定一超导线圈,它与第一、第二两级回路三者彼此绝缘。导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S,动子从静止开始运动,所受阻力与其速度成正比,比例系数为k。当动子运动距离为xm时(可视为已匀速),立即断开S,在极短时间内实现下列操作:首先让超导线圈通上大电流,产生竖直方向的强磁场,在第二级回路中产生磁通量Φ;再让超导线圈断开,磁场快速消失,同时解锁飞机,对飞机实施第二次加速,飞机起飞。已知动子及安装其上所有装备的总质量为M,其中飞机质量为m,在运动过程中,动子始终与导轨保持良好接触,忽略导轨电阻。
(1)求动子在接通S瞬间受力的大小;
(2)求第一级弹射过程中动子能达到的最大速度vm;
(3)求第一级弹射过程中电源输出的总能量W;
(4)判断超导线圈中电流方向(俯视),并求飞机起飞时的速度大小。
3.答案　(1)　(2)　(3)+　(4)顺时针　+
解析　(1)接通S瞬间,动子的速度为v=0,回路中的感应电动势为0,电源输出电压为U,由闭合电路欧姆定律得回路中电流为
I1=
由安培力公式可得动子所受的安培力大小为F=BI1l
联立解得F=
(2)第一级弹射过程中,当动子的速度达到最大时,动子做匀速运动,此时动子的加速度为0,受到的合力为0,由动子所受阻力与其速度成正比可知此时动子所受阻力大小F2=kvm
由安培力公式可知动子所受的安培力大小为F2=BI2l
由法拉第电磁感应定律可得此时动子上产生的感应电动势为E=Blvm
由闭合电路欧姆定律得I2=
联立解得vm=
(3)第一级弹射过程中,取一段极短的时间Δt,对动子及安装其上的所有装备,由动量定理得
BIl·Δt-kv·Δt=M·Δv
等式两侧求和得
∑BIl·Δt-∑kv·Δt=∑M·Δv
又q=∑I·Δt
整理得Bql-kxm=Mvm
解得q=
电源输出的总能量为W=qU
联立解得W=+
(4)①解法一　 直接分析法
由于对飞机实施第二次加速,则由左手定则可知超导线圈断开后,第二级回路中的感应电流方向(俯视)为顺时针,由右手螺旋定则可知超导线圈断开后,第二级回路中感应电流的磁场方向为竖直向下,由楞次定律推论“增反减同”可知超导线圈中的大电流产生的磁场方向也为竖直向下,再由右手螺旋定则可判断超导线圈中电流方向(俯视)为顺时针
解法二　 假设法
假设超导线圈中电流方向(俯视)为顺时针,则由右手螺旋定则可知超导线圈中的电流产生竖直向下的强磁场,超导线圈断开时,磁场快速消失,由楞次定律和右手螺旋定则可知第二级回路中产生顺时针(俯视)的感应电流,由左手定则可知解锁飞机后飞机在磁场中受到水平向右的安培力,从而实现第二次加速,符合题意,故假设成立,超导线圈中电流方向(俯视)为顺时针
②设飞机起飞时的速度大小为v飞,对飞机根据动量定理得
BI'L·Δt=mv飞-mvm
由法拉第电磁感应定律得第二级回路中产生的感应电动势为
E'==
由闭合电路欧姆定律得第二级回路中的感应电流为I'=
联立解得v飞=+
题组2　单杆电容模型
1.★★★(多选)(2026届山东滨州期末)如图所示为两根足够长、间距为L的光滑竖直平行金属导轨,导轨上端接有开关、电阻、电容器,其中电阻的阻值为R,电容器的电容为C(不会击穿、初始不带电),金属棒MN水平放置,质量为m。空间存在垂直导轨向外、磁感应强度为B的匀强磁场,不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关后,让MN沿导轨由静止释放,金属棒MN始终与导轨接触良好并保持水平,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.只闭合开关S1,金属棒做匀加速直线运动
B.只闭合开关S1,金属棒MN下降时间t时速度为v,则下降高度h=
C.只闭合开关S2,电容器右侧金属板带负电
D.只闭合开关S2,某时刻金属棒MN的加速度大小a=
1.答案　BC
2.★★★(多选)(2025届湖南长郡中学模拟)如图所示,水平金属圆环由外环和内环构成,其半径分别为r1=0.3 m,r2=0.1 m,沿半径方向放置的金属杆固定在圆环上,金属圆环和金属杆以角速度ω=5 rad/s绕中心轴线转动。两环通过电刷用导线连接间距为L=0.5 m的两条平行光滑水平金属导轨PM、P'M',水平金属导轨接有理想电容器,电容C=1 F。MM'右侧是水平绝缘导轨。导体棒ab、cd,垂直静止放置于MM'两侧,质量分别为m1=0.1 kg,m2=0.2 kg,电阻均为r=0.1 Ω。ab放置位置与MM'距离足够大,所有导轨均光滑,除已知电阻外,其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,忽略磁场对电容器的影响。下列说法正确的是(　　)
A.水平金属圆环中金属杆产生的电动势为0.2 V
B.S掷向1,稳定后电容器所带电荷量的大小q=0.3 C
C.S掷向1,稳定后再将S掷向2,导体棒ab到达MM'的速度大小是 m/s
D.S掷向1,稳定后再将S掷向2,导体棒ab到达MM'时通过导体棒cd的电荷量是 C
2.答案　AC
3.★★★★(2024全国甲,25,20分)两根平行长直光滑金属导轨距离为l,固定在同一水平面(纸面)内,导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻,开关S与电容器并联;导轨上有一长度略大于l的金属棒,如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合。金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速,最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好,导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。
(1)在加速过程中,当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时,金属棒的速度大小是多少
(2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S,改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻,外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。
3.答案　(1)　(2)　
解析　(1)开关S闭合,电容器被短路,金属棒最后做速度为v0的匀速运动,可得此时金属棒切割磁感线产生的感应电动势E=Blv0①
回路中的电流I=②
金属棒所受安培力F安=BIl③
F=F安④
联立①②③④可得F=
当P外=2PR时
·v=2·R=2·v
解得v=
(2)当P'外=2P'R时,设此时电流为I',可得F'·=2I'2R⑤
又因为F'=F'安=BI'l⑥
联立⑤⑥可得BI'l·=2I'2R⑦
此时电阻R两端电压UR=I'R=Bl·⑧
因为UC+UR=Bl·⑨
【点拨:匀速运动的金属棒产生大小恒定的电动势,电阻和电容器处于外电路】
联立⑧⑨可得此时电容器两极间的电压UC=
从断开S开始到此刻外力做功为
W=∑F'Δx=∑BI'lΔx=∑BI'l·Δt【点拨:由于金属棒动能不变且无摩擦生热,外力对金属棒做的功等于金属棒作为电源在电路中的总功,有W=E'qC,其中E'=Bl】⑩
而∑I'Δt=qC=C·Bl
可得W=
微专题31　双杆模型
题组1　等距双杆模型
1.★★(多选)(2025届辽宁鞍山质量检测)如图所示,在水平面内固定有两根相互平行且足够长的光滑金属导轨,电阻不计。在虚线l1的左侧存在方向竖直向上的匀强磁场,在虚线l2的右侧存在方向竖直向下的匀强磁场,两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ab、cd两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直,分别静置在两侧磁场中,现突然给金属棒ab一个水平向左的初速度v0,从此时到两棒匀速运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒ab中的电流方向由a→b
B.金属棒cd中的电流方向由c→d
C.安培力对金属棒ab的功率大小等于金属棒ab的发热功率
D.两金属棒最终速度大小相等
1.答案　AD
2.★★(多选)(2026届江西九江部分学校联考)如图所示,两根固定的平行金属导轨(足够长,电阻不计)由倾角为θ的倾斜部分和水平部分平滑连接构成,两导轨的间距为L,整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,倾斜导轨区域的磁场方向垂直导轨所在平面向上,水平导轨区域的磁场方向竖直向上。现将一质量为m、电阻为R、长度为L的导体棒b锁定在水平导轨的左端,从倾斜导轨顶端由静止释放另一相同的导体棒a,a棒到达倾斜导轨底端前已匀速运动,当a棒刚到达水平导轨左端时,将b棒解锁,两棒在水平导轨上发生弹性正碰,碰撞时间极短。两棒始终与导轨垂直且接触良好,重力加速度大小为g,不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.碰撞前瞬间,a棒的速率为
B.碰撞后,a棒的最大加速度为g sin θ
C.两棒最终以相同的速率匀速运动
D.从碰撞结束到两棒稳定运动,系统产生的总焦耳热为
2.答案　ACD
3.★★★(多选)(2024黑吉辽,9,6分)如图,两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,间距为L,左、右两导轨面与水平面夹角均为30°,均处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上,同时由静止释放,两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m,长度均为L。导轨足够长且电阻不计,重力加速度大小为g,两棒在下滑过程中(　　)
A.回路中的电流方向为abcda
B.ab中电流趋于
C.ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D.两棒产生的电动势始终相等
3.答案　AB
4.★★★(多选)(2026届河南青铜鸣联考开学考)如图所示,间距为L的足够长平行直导轨固定在绝缘水平面上,两导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,垂直于导轨的虚线MN左侧导轨光滑、右侧导轨粗糙,质量均为m的金属棒ab、cd分别垂直放置在MN左右两侧的导轨上,均处于静止状态,金属棒cd与导轨间的动摩擦因数为μ,给金属棒ab施加平行于导轨的大小恒为F(F>μmg)的外力,使金属棒ab从静止开始水平向右运动,当金属棒ab运动距离为x时,金属棒cd恰好开始运动,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,两金属棒在此后的运动中始终与导轨垂直并接触良好,两金属棒接入电路的电阻均为R,金属棒ab始终在MN左侧运动,忽略导轨的电阻,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.金属棒cd中的感应电流方向从c到d
B.当cd棒刚要滑动时,ab棒的速度大小为
C.从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中,cd中产生的焦耳热为Fx-
D.金属棒ab和cd最终的速度差为
4.答案　BCD
5.★★★★(2025甘肃,15,17分)在自动化装配车间,常采用电磁驱动的机械臂系统。如图,ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨,间距为L,电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2,质量均为m,电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻,机械臂1以初速度v0向右运动,机械臂2静止。运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后,电流为零,两机械臂速度相同。
(1)求初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小及感应电流方向。
(2)系统达到稳定状态前,若机械臂1和2中的电流分别为I1和I2,写出两机械臂各自所受安培力的大小;若电容器两端电压为U,写出电容器所带电荷量的表达式。
(3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞,二者在初始时刻的间距至少为多少
5.答案　(1)BLv0　在纸面内向上　(2)I1LB　I2LB　Q=CU　(3)　
解析　(1)初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小E0=BLv0
由右手定则可知机械臂1中感应电流的方向在纸面内向上。
(2)机械臂1中产生的电流做功,一部分转化为电容器电能,一部分转化为机械臂2的动能;机械臂1受到的安培力大小FA1=I1LB
机械臂2受到的安培力大小FA2=I2LB
由电容的定义式C=可得,电容器所带电荷量的表达式为Q=CU。
(3)设两机械臂稳定运动时的共同速度为v,从开始至共速过程中,机械臂1和机械臂2中的平均电流分别为和,通过的电荷量分别为q1、q2,则q1=t,q2=t
对机械臂1,由动量定理得-LBt=mv-mv0
对机械臂2,由动量定理得LBt=mv-0
电容器所带的电荷量Q=q1-q2
稳定后电容器两极板间的电压U=BLv
又C=
联立解得v=
某一瞬间,电容器两端的电压U=BLv1-I1R
电压还可以表示为U=BLv2+I2R
解得I1R+I2R=BL(v1-v2)
则(+)t=
由前面两个动量定理表达式得LBt+LBt=mv0
联立解得t=mv0
为使两臂不相撞,两臂初始时刻的最小间距Δxmin=x1-x2=(-)t
则有Δxmin=mv0
解得Δxmin=。
题组2　不等距双杆模型
1.★★★(多选)(2025届山东聊城二模)如图所示,水平面上固定着两组足够长平行光滑金属导轨PQ和MN,宽度分别为L和2L,两组导轨用导线交叉连接(导线不接触),导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小均为B。PQ导轨上垂直放置导体棒a,MN导轨上垂直放置导体棒b,两棒质量均为m,接入电路的电阻均为R。某时刻两导体棒同时获得向右的初速度v0,导体棒运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好,两导体棒始终没有进入交叉区,不计导轨电阻,下列说法正确的(　　)
A.通过导体棒的最大电流为
B.两导体棒最终均做匀速运动,且导体棒b的运动方向向左
C.导体棒b上产生的热量为m
D.整个过程中通过导体棒a的横截面的电荷量为
1.答案　ABD
2.★★★(多选)(2023辽宁,10,6分)如图,两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,左、右两侧导轨间距分别为d和2d,处于竖直向上的磁场中,磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d,导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d,PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止,两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧,两棒在各自磁场中运动直至停止,弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好,导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧伸展过程中,回路中产生顺时针方向的电流
B.PQ速率为v时,MN所受安培力大小为
C.整个运动过程中,MN与PQ的路程之比为2∶1
D.整个运动过程中,通过MN的电荷量为
2.答案　AC
微专题32　线框模型
题组1　不受外力的线框模型
1.★★(2023北京,9,3分)如图所示,光滑水平面上的正方形导线框,以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(　　)
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
1.答案　D
2.★★(2026届四川内江六中开学考)作为高速交通的补充,高速磁悬浮列车可以满足人们多元化的出行需求。图为磁悬浮列车系统的简化模型:水平光滑的绝缘平行直导轨间,等距离分布方向相反的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,导轨的间距为L,每个磁场分布区间的长度也为L。现导轨上有一边长为L、质量为m的单匝正方形金属线框,电阻为R。线框从如图所示位置以速度v0开始向右滑行,下列说法正确的是(　　)
A.此时线框中的感应电流方向是顺时针方向
B.线框中产生的电流最大值为
C.线框运动过程中的最大加速度为
D.当线框停止滑行时,通过线框横截面的电荷量为
2.答案　C
3.★★★(多选)(2025届陕西咸阳模拟)电气列车中的电磁制动器是根据电磁阻尼原理制成的。某同学欲研究电磁阻尼的性能,设计了图示的实验,光滑绝缘的水平面上存在一系列宽度均为2d的相同的匀强磁场,相邻两磁场的间距为d,匝数n1=25,边长为d的正方形金属线圈(同种材料制成,电阻不变)以初速度v0垂直于第一个磁场的左边界进入磁场,结果线圈恰好能穿过完整的磁场的个数N1=10。下列说法正确的是(　　)
A.线圈刚进入第3个磁场时速度大小为v0
B.线圈在第2和第3磁场中匀速运动过程经历的时间之比为15∶17
C.线圈通过第2和第3个磁场产生的焦耳热之比为16∶15
D.若仅将线圈的匝数增加为n1=36,仍以原来的速度进入磁场,则穿过完整的磁场的个数仍为10
3.答案　ABD
4.★★★★(2023新课标,26,20分)一边长为L、质量为m的正方形金属细框,每边电阻为R0,置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B,两虚线为磁场边界,如图(a)所示。
(1)使金属框以一定的初速度向右运动,进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行,金属框完全穿过磁场区域后,速度大小降为它初速度的一半,求金属框的初速度大小。
(2)在桌面上固定两条光滑长直金属导轨,导轨与磁场边界垂直,左端连接电阻R1=2R0,导轨电阻可忽略,金属框置于导轨上,如图(b)所示。让金属框以与(1)中相同的初速度向右运动,进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中,电阻R1产生的热量。
图(a)
图(b)
4.答案　(1)　(2)
解析　(1)金属框刚进入磁场到完全穿过磁场的过程中,有q=·Δt、=、=、ΔΦ=2BL2,解得此过程通过金属框的电荷量q==,根据动量定理有-BLΔt=m·-mv0,可得BLq=mv0,解得金属框的初速度v0=。
(2)金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好,导轨电阻可忽略,则上、下边框被导轨短路,金属框进入磁场过程中左边框与R1并联,右边框相当于电源,等效电路图如图1所示。
图1
R1与R0并联后电阻为R0,R总1=R0,该过程R1上产生的热量与整个回路产生的热量之比=,由电路特点知==,I总1=I1+I0,则=,设金属框刚好完全进入磁场时的速度为v1,金属框刚进入磁场到完全进入磁场过程中,由动量定理可得-Δt1=mv1-mv0,其中=BL,==,解得v1=,则此过程中整个回路产生的热量
Q总1=m-m=
此过程中R1产生的热量Q1=Q总1=
金属框全部在磁场中运动时,等效电路如图2所示
　　
简化电路如图3所示
R内=
R总2=R1+R内=R0
该过程R1上产生的热量与整个回路产生的热量之比==
设金属框右边框刚要出磁场时的速度为v2,从金属框恰好完全进入磁场到金属框右边框刚要出磁场过程中,通过整个闭合回路的磁通量发生变化,由动量定理可得
-Δt2=mv2-mv1
=BL,其中==
解得金属框右边框到达磁场右边界时的速度v2=0
则此过程中整个回路产生的热量Q总2=m-m=
此过程中R1产生的热量Q2=Q总2=
综上,R1产生的总热量
Q=Q1+Q2==
题组2　受外力的线框模型
1.★★★(多选)(2025届云南昆明一中月考)如图所示,水平的平行虚线间距为d,其间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在距磁场上边界h处有一矩形金属线框,线框边长分别为L1和L2,线框质量为m,电阻为R。现将线框由静止释放,线框在运动过程中上下边始终与磁场上下边平行,其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度恰好相等,重力加速度为g,忽略空气阻力,则(　　)
A.线框刚进入磁场时的感应电流I=
B.线框在进入磁场的过程中先做加速运动,再做减速运动
C.线框在进入磁场的过程中的最小速度v=
D.线框在离开磁场的过程中产生的焦耳热Q=mgd
1.答案　AD
2.★★★★(多选)(2025届湖南长沙市一中月考)如图,两平行足够长且电阻可忽略的光滑金属导轨安装在倾角为α的光滑绝缘斜面上,导轨间距为L,磁感应强度为B的有界匀强磁场宽度为d,磁场方向与导轨平面垂直;长度为2d的绝缘杆将导体棒和边长为d的正方形单匝金属线框连接在一起组成如图装置,其总质量为m,导体棒中通以大小为I的恒定电流(由外接恒流源产生,图中未画出)。线框的总电阻为R,其下边与磁场区域边界平行。情形1:将线框下边置于距磁场上边界x处由静止释放,线框恰好可匀速穿过磁场区域。情形2:线框下边与磁场区域上边界重合时将线框由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直,重力加速度为g。则(　　)
A.情形1中,从释放到线框下边刚穿过磁场过程通过线框横截面的电荷量q=
B.情形1中,线框下边与磁场上边界的距离x=
C.情形2中,装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热Q=4mgd sin α-BILd
D.情形2中,线框第一次穿越磁场区域所需的时间t=+
2.答案　BCD
3.★★★(2025浙江1月,17,12分)如图所示,接有恒流源的正方形线框边长为L、质量为m、电阻为R,放在光滑水平地面上,线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。以磁场边界CD上一点为坐标原点,水平向右建立Ox轴,线框中心和一条对角线始终位于Ox轴上。开关S断开,线框保持静止,不计空气阻力。
(1)线框中心位于x=0处,闭合开关S后,线框中电流大小为I,求:
①闭合开关S瞬间,线框受到的安培力大小;
②线框中心运动至x=过程中,安培力做功及冲量;
③线框中心运动至x=时,恒流源提供的电压。
(2)线框中心分别位于x=0和x=,闭合开关S后,线框中电流大小为I,线框中心分别运动到x=L所需时间分别为t1和t2,求t1-t2的值。
3.答案　(1)①2BIL　②　L,指向x轴正方向　③BL2+IR　(2)0
解题导引　(1)恒流源电压U=IR+E感,利用能量守恒,E感由线框运动切割磁感线产生,结合前面所求速度计算反电动势,进而求得电压。
(2)简谐运动时间分析:类比简谐运动,证明回复力F=-kx(x为相对平衡位置位移),方向与位移方向相反,确定为简谐运动。
(3)简谐运动周期T=2π与振幅无关,两次运动均从最大位移到x=L(平衡位置),时间均相同。
解析　(1)①闭合开关S瞬间,线框在磁场中的有效长度l=2L
则线框在磁场中受到的安培力大小为F安=BIl=2BIL
②线框中心运动到x时,安培力大小为F安=2BI(L-x),则初始时和线框中心运动至x=时的安培力分别为F安1=2BIL,F安2=BIL,则线框中心由初始位置运动至x=过程中,
安培力做功为W安=·=【点拨:根据F安-x图线与横轴所围面积可以求解F安做的功】
根据动能定理有W安=mv2,可得v=L,根据动量定理,安培力冲量等于动量变化量,所以安培力的冲量大小为I=mv=L,方向指向x轴正方向。
③由能量守恒得UI=BILv+I2R【点拨:恒流源问题中,电压需满足U=IR+E感,其中E感为线框运动产生的反电动势】,可得恒流源提供的电压为U=BL2+IR【易错:易忽略线框运动切割磁感线产生的感应电动势,仅计算电阻两端电压IR,导致电压公式遗漏反电动势部分】。
(2)类比于简谐运动,回复力大小为F回=F安=2BI(L-x)=2BIx'=kx',且方向与位移方向反向,根据简谐运动周期公式T=2π=2π【点拨:判断简谐运动的关键是证明回复力与位移成正比且方向相反,周期仅与系统本身性质如质量、等效劲度系数等有关】,由题意可知,两次简谐运动周期相同,两次都从最大位移运动到平衡位置,时间均相同,则有t1=t2==,故t1-t2=0。

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