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(共105张PPT)
第八章　机械振动　机械波
新高考适用
高考物理专题复习
选择性必修一：机械振动 机械波
目 录
CONTENTS
第1 节　机械振动
实验9
用单摆测量重力加速度
微专题14
波的图像和振动图像的综合应用
第2 节　机械波
微专题15
简谐运动在力学中的综合应用
第1节 机械振动
弹簧振子　简谐运动T2、4、5、8、9　 单摆T1、3、7　 受迫振动　共振T6
1.★★(2024甘肃,5,4分)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正
确的是 ( )
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
　 C　
五年高考
解析　由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π 得摆长
为l= =1.6 m,B、D错误。x-t图像的图线斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、
C点的速度相同,A、B点的速度大小相等,方向不同,A错误,C正确。
2.★★★(2024河北,6,4分)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一
端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平
铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振
动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率
和光点在12.5 s内通过的路程分别为 ( )
　 C　
A.0.2 rad/s,1.0 m　　　 B.0.2 rad/s,1.25 m
C.1.26 rad/s,1.0 m　　　 D.1.26 rad/s,1.25 m
解析　电动机的转速n=12 r/min=0.2 r/s,则振动的圆频率ω=2πn≈1.26 rad/s,振动的振幅
A=0.1 m,周期T=5 s,则12.5 s=2T+ T,光点在12.5 s内通过的路程s=10A=1.0 m,C正确。
3.★★★(2025四川,5,4分)如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂
在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂
直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完
成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达
另一侧最高点。则 ( )

　 C　
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
解题导引
(1)确定周期之比:设甲周期为T甲,根据题意建立其他单摆的周期与T甲的关系。
(2)推导摆长之比:由T=2π 将周期之比转换为摆长之比。
(3)运动状态分析:根据周期和时间的关系,判断某时刻各单摆的小球所在位置(平衡位
置或最高点)及动能、加速度。
解析 单摆模型中做简谐运动的物体加速度不可能为0,A错误;根据题图与T=2π 可
知T甲小球丁第一次回到平衡位置所用时间为 T丁= T乙,此时乙正好在平衡位置,小球乙动
能最大,B错误;根据T乙= T甲得 = ,C正确;根据T丙∶T丁=1∶2及T=2π 可得 = ,D
错误。
4.★★★(多选)(2025湖北,9,4分)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连
接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下
拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。
释放小球b后 ( )
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤ 时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤ 时,小球b才能始终做简谐运动
　 AD　
解题导引　将小球b及弹簧组成的系统抽象为“悬挂式弹簧振子模型”。静止时,弹簧
因小球b受重力而伸长,b在平衡位置时弹簧伸长量为x0,满足kx0=mg;释放b后,细线是否
始终绷直取决于a所受合力的方向。
解析　对于小球a,其受到线的拉力、弹簧的弹力和重力,当小球b向上运动到最高点时,
弹簧可能处于压缩或伸长状态,若弹簧处于压缩状态且弹力大小大于小球a的重力大
小,则小球a可能会向上运动,A正确;初始状态系统静止时,b所在的位置是b的平衡位置,
下拉l后释放,b做简谐运动的振幅为l,不是 ,B错误;小球b恰好做简谐运动时,则小球a恰
好处于静止状态,当小球b运动到最高点时,弹簧处于压缩状态,细线对a的拉力恰好为0,
根据平衡条件,对小球a有F弹高=mg,小球b做简谐运动,小球b在最高点和最低点所受合力
等大反向,小球b在最高点所受合力的大小F合高=F弹高+mg,在最低点所受合力大小F合低=
F弹低-mg,由题意知F弹低=mg+kl,F合高=F合低,联立解得l= ,所以当且仅当l≤ 时,小球b才
能始终做简谐运动,C错误,D正确。
易错警示
对小球a运动条件判断不清:易忽略弹簧可压缩情况,错误地认为弹簧始终拉伸,a受力恒
平衡。实际若l过大,b到最高点时弹簧压缩,a受到的弹簧弹力大于其重力时,a发生运
动。
5.★★★(多选)(2023山东,10,4分)如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,依次通过相
距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的
倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是
( )

A. ,3t　　　 B. ,4t
C. , t　　　 D. , t
BC　
　
解析　若平衡位置O在A、B之间,如图1所示,则 (1+ )=L,解得振幅A1=OP= ,质
点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,从A运动到O的时间为 ,从O运动到最大
位移P处的时间为 ,从P运动到B的时间为 ,则t= + + ,解得T1= t,C正确,D错
误。若A、B在平衡位置O同侧,如图2所示,A2=OP,则 ( -1)=L,解得振幅A2= ,质
点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,从A运动到B的时间为 ,从B运动到最大
位移处P再回到B的时间为 ,则t= + ,解得T2=4t,B正确,A错误。

6.★★(2026届湖北腾云联盟开学考)某款风铃由不同长度的金属管组成,当微风吹过
时,金属管会振动发出清脆悦耳的声音。关于此现象,下列说法正确的是( )
A.金属管的振动频率等于风力频率
B.风力频率越高,金属管振动幅度越大
C.各金属管固有频率相同,振动周期相等
D.金属管做受迫振动时,无回复力作用
　 A　
三年模拟
解析　金属管做受迫振动,振动频率等于风力频率,A正确。当风力频率等于金属管固
有频率时,会发生共振,振动幅度最大,并非风力频率越高,振动幅度越大,B错误。不同
长度的金属管,固有频率不同,现各金属管均受风力做受迫振动,振动周期相等,C错误。
受迫振动属于机械振动,一定有外力提供回复力,D错误。
7.★★(2026届河北秦皇岛一中月考)一摆长为99.5 cm的单摆悬点不动时,振动图像如
图中实线所示,若把悬点固定在竖直运动的某电梯中,振动图像如图中虚线所示。取π2=
9.87,下列说法正确的是 ( )

A.电梯向上做匀加速运动
B.电梯向下做匀减速运动
C.电梯的加速度大小约为1.95 m/s2
D.电梯的加速度大小约为1.85 m/s2
　 D　
解析　由题图可知,单摆在电梯中,周期变大,根据T=2π 可得,等效的重力加速度小于
重力加速度,电梯加速度向下,电梯可能向下加速或向上减速,A、B错误。单摆不在电
梯中有5T=10 s,T=2π ;单摆在电梯中有4.5T0=10 s,T0=2π ;由于g0=g-a,联立解得a≈
1.85 m/s2,D正确。
8.★★★(2026届安徽安庆一中开学考)如图甲所示,将一轻弹簧与小球组成弹簧振子竖
直悬挂,上端装有记录弹力的拉力传感器。当振子在竖直方向上下振动时,弹力随时间
的变化规律如图乙所示。已知重力加速度大小g=10 m/s2,不计空气阻力,下列说法正确
的是 ( )
A.小球的质量为2 kg,振动的周期为4 s
B.0~2 s内,小球受弹力的冲量大小为20 N·s
C.0~2 s内和2~4 s内,小球受弹力的冲量方向相反
D.0~4 s内,回复力对小球的冲量大小为40 N·s
　 B　
解题导引

解析　由题图乙可得振动周期T=4 s, 【关键:小球处于最高点和最低点时,加速度大小
相等、方向相反】当小球处于最低点时,根据牛顿第二定律可得F1-mg=ma,其中F1=
20 N、a=g=10 m/s2,解得小球的质量m=1 kg,A错误。0~2 s内,取向上为正方向,根据动量定
理可得IF-mgt=0-0,解得小球受弹力的冲量IF=20 N·s,方向竖直向上;同理可得,2~4 s内小
球受弹力的冲量大小为20 N·s,方向竖直向上,故0~2 s内和2~4 s内,小球受弹力的冲量方
向相同,B正确,C错误。小球受到的合力提供回复力,根据动量定理可得,0~4 s内回复力
对小球的冲量大小为0,D错误。
9.★★★(2025届河北昌黎一中模拟)2024年央视春晚西安分会场高空水袖舞表演梦幻
浪漫,将万千观众带入了盛世长安。光影交错的舞台上,舞者长袖轻扬。如果某段时间
里水袖波形可视为简谐波,如图所示为舞者表演过程中水袖上的一质点做简谐运动的
位移随时间变化的图线,则下列关于质点的运动描述正确的是 ( )

　 D　
A.质点振动的周期为0.8 s
B.该质点的振动方程为y=10 sin cm
C.0.6 s时质点沿y轴正方向运动,速度正在增大
D.0.8 s时质点的加速度沿正方向且最大
解析　由题图可得 =0.2 s,解得质点振动的周期T=1.2 s,A错误。设该质点的振动方程
为y=A sin(ωt+φ),其中A=10 cm,ω= = rad/s;当t=0时,y=5 cm=10 sin φ(cm),且随时间
增加y增大,可得φ= ,解得y=10 sin cm,B错误。由振动图像可得,0.6 s时质点
正沿y轴负方向运动,速度正在减小;0.8 s时质点位于负向最大位移处,其加速度沿正方
向且最大,C错误,D正确。
运用简谐运动规律分析涉及弹簧的碰撞问题
(2025届湖北多校模拟)如图所示,足够长的竖直光滑管内有一劲度系数为k的轻弹簧,弹
簧下端固定于地面,上端与一质量为m的小球A接触但不相连,小球A静止时所在位置为
O。另一质量为3m的小球B从距离O点高 的P点由静止开始下落,与A发生碰撞后
粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点,运动过程中弹簧始终在弹性限度内,已知
sin 37°=0.6,弹簧形变量为x时弹性势能为Ep= kx2,弹簧振子做简谐运动的周期为T=2π
,重力加速度为g。则 ( )
　 A　
创新风向·模块融合

A.B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小为2g
B.B与A碰撞后瞬间一起向下运动的加速度大小为
C.小球A被碰后向下运动,到O点的最大距离为
D.小球A从开始向下运动到第一次运动到最高点所用的时间为
解析
过程一 小球B由P点运动至O点,做自由落体运动
对小球B,由P到O,由动能定理可得3mg· = ·3m ,解得v0= g 。
过程二 小球B和小球A在O点发生完全非弹性碰撞
对小球B和A,由动量守恒可得3mv0=4mv1,解得碰撞后瞬间二者一起向下运动的速度大
小v1=2g ,A正确。【关键:瞬时性问题中,弹簧的弹力不能突变】A静止时弹簧压缩
量x0= ;B与A碰撞后瞬间,对A、B整体可得4mg-kx0=4ma,故B与A碰撞后瞬间一起向下
运动的加速度大小为a= g,B错误。
过程三 B与A碰后一起运动至最低点,该过程做简谐运动
判断平衡位置:根据kx1=4mg解得在平衡位置处弹簧的形变量x1= =4x0。
计算最大距离:从B与A碰后一起运动至最低点,根据能量守恒可得 k + ·4m +4mg(3
x0+A)= k(4x0+A)2,解得A=5x0;小球A被碰后向下运动,到O点的最大距离为A+3x0=8x0=
,C错误。
分析运动时间:

碰后A、B整体做简谐运动的周期T=2π =4π ;从碰后到平衡位置,位移大小为3x0,
由简谐运动规律可得运动时间t1= · ;从平衡位置向下运动至再次回到平衡位置的
时间t2= ;从平衡位置向上运动到A、B与弹簧分离(弹簧处于原长),位移大小为4x0,由简
谐运动规律可得运动时间t3= · ;从最低点到A、B与弹簧分离,有 k(9x0)2= ·4m +4
mg·9x0,A、B与弹簧分离后做竖直上抛至最高点的时间t4= ,联立解得t4= ;故小球A
从开始向下运动到第一次运动到最高点所用的时间t=t1+t2+t3+t4= ,D错误。
第2节 机械波
机械波的形成　波的图像T2、4、7　 波传播的周期性和多解性问题T8、9
波的干涉、衍射　多普勒效应T1、3、5、6
1.★(2025广东,1,4分)关于受迫振动和多普勒效应,下列说法正确的是 ( )
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大,共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时,接收到的波的频率比波源的频率大
　 C　
五年高考
解析　系统的固有频率与外界的驱动力频率无关,A错误。共振的条件是驱动力频率
等于系统的固有频率,与驱动力的大小无关,B错误。应用多普勒效应测速,其原理是波
源和观察者之间的相对运动会导致观察到的波的频率发生变化。当波源和观察者相
互接近时,观察者接收到的波的频率会增大;反之,当两者相互远离时,观察者接收到的
波的频率会减小。在测速应用中,通过测量接收到的波的频率变化,可以计算出目标物
体的运动速度,C正确,D错误。
2.★★(2024湖南,2,4分)如图,健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端,
长绳自右向左呈现波浪状起伏,可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡
位置相距6 m,t0时刻A点位于波谷,B点位于波峰,两者之间还有一个波谷。下列说法正
确的是( )

A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0+0.25 s时刻,B点速度为0
D.t0+0.50 s时刻,A点速度为0
　 D　
解析　根据题意,振源的频率f=1 Hz,画出A、B可能处于的位置如图所示,即 λ=6 m,所
以波长λ=4 m,波速v=λf=4 m/s,A、B错误;周期T= =1 s,则0.25 s= ,可知t0+0.25 s时刻,B
向下以最大速度经过平衡位置,C错误;0.5 s= ,则t0+0.5 s时刻,A点到达波峰处,速度为
零,D正确。

3.★★★(2025黑吉辽蒙,5,4分)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波
源,在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示,波谷用虚线表示,P点位于其最大正
位移处,曲线ab上的所有点均为振动减弱点,则下列图中可能满足以上描述的是
( )
　　　
C　

解析　由题意可知实线表示波峰,虚线表示波谷,实线与实线的交点表示该处质点处于
最大正位移处,虚线与虚线的交点表示该处质点处于最大负位移处,都表示振动加强点,
实线与虚线的交点表示该处质点处于位移为0处,也表示振动减弱点。P点位于其最大
正位移处,则P点位于两实线交点处,B、D错误;曲线ab上所有点均为振动减弱点,则曲
线ab经过实线与虚线的交点,且总是波峰与波谷的交点,对A选项的曲线ab,过一段时间,
两列波的波谷同时传播到曲线ab上,则其上的点不总是波峰与波谷的交点,A错误;对C
选项的曲线ab,其上的点总是波峰与波谷的交点,C正确。
4.★★★(2025云南,7,4分)如图所示,均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0
时刻,波源开始振动产生简谐横波,并以相同波速分别向左、右两侧传播,P、Q分别为
矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别
如图中实线和虚线所示,则 ( )
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时,波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时,平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
　 D　
解析　由题图可知,λ=4 m,T=2 s,所以v= =2 m/s,A错误;由于P点左侧先于Q点右侧形成
波形,故波源位置在矩形区域中更靠近P点处,结合波形可确定波源平衡位置距P点1 m,
B错误;t=1.5 s时,P点处于平衡位置且向上运动,故可知t=1.0 s 时,P点处于波
谷,又由于P点平衡位置距波源1 m= ,故可推知波源此时处于平衡位置且向上运动,C
错误;t=2.5 s时,平衡位置在P、Q的两质点均在平衡位置,t'=5.5 s-2.5 s=3 s= T,则t=5.5 s
时两质点仍在平衡位置,故位移相同,D正确。
5.★★★(2023湖南,3,4分)如图(a),在均匀介质中有A、B、C和D四点,其中A、B、C三
点位于同一直线上,AC=BC=4 m,DC=3 m,DC垂直AB。t=0时,位于A、B、C处的三个完
全相同的横波波源同时开始振动,振动图像均如图(b)所示,振动方向与平面ABD垂直,
已知波长为4 m。下列说法正确的是 ( )
　
　 C　
A.这三列波的波速均为2 m/s
B.t=2 s时,D处的质点开始振动
C.t=4.5 s时,D处的质点向y轴负方向运动
D.t=6 s时,D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
解析　机械波在同一介质中的传播速度相同,由图(b)可知,波的周期T=4 s,故三列波在
介质中的传播速度v= = =1 m/s,A错误。由勾股定理可知AD=5 m,BD=5 m,三列波
传播到D处所用的时间分别为tA= =5 s,tB= =5 s,tC= =3 s,所以t=2 s时,D处质点还
未开始振动,B错误。t=4.5 s时,C处波源产生的波已到达D处,而A、B处波源产生的波还
没传到D处,故此时D处质点的振动仅由C处波源决定,振动时间为Δt=(4.5-3) s=1.5 s,由
图(b)可知此时D处质点向y轴负方向运动,C正确。t=6 s时,A、B、C三个波源产生的波
均已传到D处,此时A处波源产生的波与B处波源产生的波在D处产生的位移均为2 cm,C
处波源产生的波在D处产生的位移为-2 cm,则D处的质点与平衡位置的距离是2 cm+
2 cm-2 cm=2 cm,D错误。
6.★★(2026届湖南常德开学考)如图所示,沿x轴正方向传播的一列简谐横波在某时刻
的波形图为一正弦曲线,其波速为100 m/s,下列说法正确的是 ( )
　 B　
三年模拟
A.从图示时刻开始,质点a的加速度将增大
B.从图示时刻开始,经过0.01 s,质点a通过的路程为0.2 m
C.若此波遇到另一列波能发生稳定的干涉现象,则另一列波的频率为50 Hz
D.若该波传播过程中遇到宽约4 m的障碍物,不会发生明显的衍射现象
解析　从图示时刻开始,质点a向平衡位置振动,加速度将减小,A错误。该波的波长λ=
4 m,该波的周期T= =0.04 s;质点a由最大位移处开始运动,经0.01 s= T,可得质点a通过的
路程s= ×4A=A=0.2 m,B正确。该波的频率f= =25 Hz,若与另一列波发生稳定的干涉
现象,则另一列波的频率也应为25 Hz,C错误。若该波传播过程中遇到宽约4 m的障碍
物,障碍物尺寸等于该波的波长,故会发生明显的衍射现象,D错误。
易错警示
经过一个完整的振动周期,质点通过的路程为4A;经过半个周期,质点通过的路程为2A;
经过四分之一周期,质点只有从平衡位置或从最大位移处开始振动,通过的路程才
为A。
7.★★(2025届宁夏吴忠盐池二模)某简谐波在同一均匀介质中沿x轴正方向传播,M、N
是平衡位置在x轴上的两质点,t=0时刻位于坐标原点的波源开始振动。t=0.4 s时,波刚
好传到质点M处,波源正好处在最大位移处,此时波形如图所示。下列说法正确的是
( )
A.波源开始振动方向沿y轴负方向
　 B　
B.t=1.4 s时,质点N开始振动
C.这列波的波速大小为10 m/s
D.当N点开始振动时,质点M运动的总路程为 cm
解析　波传到质点M处时,质点M向y轴正方向振动,故波源开始振动方向沿y轴正方向,
A错误。【关键:波传播的周期等于质点振动的周期】0.4 s内波源振动四分之一个周
期,故波传播距离为四分之一个波长,可得λ=8 m、T=1.6 s,解得波速v= =5 m/s, 【另解:
v= = m/s=5 m/s】,C错误。质点N开始振动的时刻t= = s=1.4 s,B正确。质点M的
振动方程为yM=A sin =5 sin cm (t≥0.4 s),当t=1.4 s时质点M的
位移为yM=- cm,故其运动的路程sM=2A+|yM|= cm,D错误。
8.★★★(多选)(2025届甘肃部分学校模拟)如图甲所示,一列简谐横波沿水平方向传播,
a、b为介质中相距30 m的两个质点,某时刻a、b两质点正好都经过平衡位置,且a、b间
只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示,则下列说法正确的是
( )
A.波源的振动方程为x=2 sin t(cm)
　 AC　
B.0~40 s内波源处质点运动的路程为40 cm
C.该简谐横波传播速度的大小可能为7.5 m/s
D.该简谐横波传播速度的大小有四个可能值
解析　由题图乙可知,波源的振幅A=2 cm,周期T=4 s;波源的振动方程x=A sin ωt=2 sin
t(cm),A正确。0~40 s内,波源处质点运动的路程s= ×4A=80 cm,B错误。画出A、B
间的波形图可能情况,
如图1,则xab= ,波速v1= =15 m/s;如图2,则xab=λ2,波速v2= =7.5 m/s;如图3,则xab=λ3,波速
v3= =7.5 m/s;如图4,则xab= ,波速v4= =5 m/s;该简谐横波传播速度的大小有三个可
能值,C正确,D错误。
9.★★★(2025届山东临沂临沭三模)如图甲所示,太空舱中弹簧振子沿轴线AB自由振
动,一垂直于AB的弹性长绳与振子相连,沿绳方向为x轴,沿弹簧轴线方向为y轴,弹簧振
子振动后,某时刻记为t=0时刻,振子的位移y随时间t变化的关系式为y=-0.1 sin m,
绳上产生一列沿x轴传播的简谐横波,如图乙所示,实线为t0时刻绳的波形,虚线为t0+0.2 s
时刻绳的波形,P为绳上平衡位置在x=4 m处的质点。求:
(1)绳波的传播速度;
(2)在t0+1.0 s时刻,质点P所处位置的坐标。
答案
(1)(20n+5) m/s(n=0,1,2,…) (2)(4 m,-0.1 m)
解析 (1) 【关键:利用v= 或v= 计算波的传播速度】
解法一　 由题图乙可得λ=4 m
由振子振动情况可得0.2 s= T(n=0,1,2,…)
联立可得,绳波的传播速度v= =(20n+5) m/s(n=0,1,2,…)。
解法二　 由t0到t0+0.2 s波传播的距离Δx= λ=(4n+1) m(n=0,1,2,…)
则波速v= = m/s=(20n+5) m/s(n=0,1,2,…)。
(2)根据0.2 s= T(n=0,1,2,…)
可得T= s(n=0,1,2,…)
由于1.0 s-0.2 s=0.8 s=(4n+1)T(n=0,1,2,…)
可得t0+1.0 s时刻,质点P位于波谷处,故质点P所处位置的坐标为(4 m,-0.1 m)。
运用正弦函数方程解决波的叠加问题
(多选)(2025届浙江金华义乌三模)两列简谐横波a、b在同一介质中沿x轴正方向传播,
波速均为v=2.5 m/s,在t=0时刻两列波的波峰正好在x=2.5 m处重合,如图所示。下列说
法正确的是 ( )

　 BC　
创新风向·数理结合
A.a、b能在x轴上形成稳定干涉图像
B.在x=(2.5±20k)m(k=0,1,2,…)处波峰都重合
C.x轴上不存在波谷与波谷重合处
D.t=0时,b波引起x=-0.5 m处质点的振动方程为y=5 sin m
解题导引

解析　横波a的频率fa= = = Hz=1 Hz;横波b的频率fb= = = Hz= Hz,故两列
波不能形成稳定干涉图样,A错误。设在x=2.5 m两侧距其Δx处,两列波的波峰再次重
合,则有Δx=n1λa=(2.5n1) m(n1=1,2,3,…),Δx=n2λb=(4n2) m(n2=1,2,3,…),可知当n1=8和n2=5
时,Δx=20 m,故在x=(2.5±20k) m(k=0,1,2,…)处波峰都重合,B正确。设在x=2.5 m右侧距
其Δx1处,有波谷与波谷重合,则有Δx1=(2m1+1) (m1=0,1,2,…),Δx1=(2m2+1) (m2=0,1,2,
…),联立可得 = ,即m1= ,m1和m2在整数范围内无解,故不存在波谷与波谷
重合处,C正确。设b波引起x=-0.5 m处质点的振动方程为y=A sin (ωt+φ),其中A=5 m、ω
=2πfb= rad/s;t=0时,该质点由平衡位置向y轴正方向振动,可得φ=0,故振动方程为y=5
sin m,D错误。
微专题14　波的图像和振动图像的
综合应用
1.★★(2023海南,4,3分)如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点
P、Q的振动图像,下列说法正确的是 ( )

A.该波的周期是5 s　　　 B.该波的波速是3 m/s
C.4 s时P质点向上振动　　　 D.4 s时Q质点向上振动
　 C　
题组1　已知两质点的振动图像
解析　由两个质点的振动图像可知,两个质点振动相位相反,可知P、Q两质点所在平
衡位置间距离满足 λ=6 m(n=0,1,2,…),周期T=4 s,则波速v= = m/s(n=0,1,2,
…),A、B错误;由质点P的振动图像可知,4 s时P质点向上振动,C正确;由质点Q的振动图
像可知,4 s时Q质点向下振动,D错误。
2.★★★(多选)(2026届广东湛江期中)位于坐标原点的波源产生的一列简谐横波在均
匀介质中沿x轴正方向传播,已知图甲为波源的振动图像,图乙为平衡位置位于x1=2 m处
质点的振动图像。下列说法正确的是 ( )
　 AC　
A.0~1 s内,波源运动的路程为1 m
B.t=0.5 s时波源正从平衡位置向y轴正方向运动
C.如果波长大于2 m,则波速一定为 m/s
D.波源位于平衡位置时,平衡位置在x1=2 m处的质点一定处于波谷
解析　根据题图甲可得波源的振动周期T=0.4 s,振幅A=10 cm,0~1 s内波源运动的路程s
= ·4A=10A=1 m;t=0.5 s时波源正从平衡位置向y轴负方向运动,A正确,B错误。该波沿
x轴正方向传播,波源与x1=2 m处质点间的距离x1= λ(n=0,1,2,…),解得λ= m;
如果波长大于2 m,则一定有n=0,波速一定为v= = m/s= m/s,C正确。由两振动
图像可知,波源位于平衡位置时,平衡位置在x1=2 m处的质点可能处于波谷也可能处于
波峰,D错误。
3.★★★(2025届湖南师大附中一模)在平面直角坐标系中x轴上有一波源,产生的简谐
波沿x轴传播,A、B是平衡位置在x轴上的两个质点,从质点A第一次达到波峰开始计时,
A、B两质点的振动图像分别如图甲、乙所示,已知A、B平衡位置间距离为2 m,且满足
B点在A点的右侧,已知A点的横坐标为x=1 m,该简谐波的波长λ大于A、B间距,t=0时波
源位于平衡位置,波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速;
(2)若波源在坐标原点处,求坐标轴上x>0的
各点的波动方程(x轴上各质点偏离平衡位
置的位移y与x、t的关系)。
答案
(1)2 m/s或 m/s (2)y=2 cos (cm)
解析 (1)由题振动图像可知,该简谐波的周期T=4 s;A、B间波形情况如下:
①当波源在A的左侧时,t=0时刻A、B间的波形图如图1所示

图1
可得xAB= λ1=2 m,求得λ1=8 m,
波速v1= =2 m/s;
②当波源在B的右侧时,t=0时刻A、B间的波形图如图2所示
可得xAB= λ2=2 m,求得λ2= m,
波速v2= = m/s;
③当波源在A、B之间时,t=0时刻A、B间的波形图如图3所示
可得xAB= λ3=2 m,求得λ3= m,
波速v3= = m/s。

(2)当波源在坐标原点时,由题图甲可得A点的振动方程为
yA=A cos t=2 cos t(cm);
则坐标轴上x>0的各点的波动方程为y=A cos =2 cos (cm)
【点拨:坐标为x的质点,相比A点滞后Δt= 】。
1.★★(2025海南,5,3分)如图所示,实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横
波在t=0时刻和t=0.5 s的波形图,已知波的周期T>0.5 s,则下列关于该列波说法正确的是
( )
A.波长为5 cm
　 D　
题组2　已知两时刻的波的图像
B.波速为10 cm/s
C.周期为1 s
D.t=0时刻,质点M向下振动
解析
图中完整波形 波长为10 cm,A错误
“同侧法” 波沿x轴正方向传播,t=0时刻质点M向下振动,D正确
“质点振动法” 0.5 s= T+nT(n=0,1,2,…),又T>0.5 s,解得T= s,C错误
波速计算式 v= =15 cm/s,B错误
2.★★★(多选)(2025届山西晋城三模)一列简谐横波沿x轴方向传播,平衡位置在x=0处
质点的振动图像如图甲所示,t0时刻的部分波形图如图乙所示,2t0时刻的部分波形图如
图丙所示,已知t0小于该简谐横波的周期,下列说法正确的是 ( )

　 BC　
A.该简谐横波可能沿x轴负方向传播
B.该简谐横波的传播速度为7.5 m/s
C.质点P平衡位置的横坐标为3.5 m
D.t0~2t0时间内质点P通过的路程为 cm
解析　由题图乙和题图丙可知,对于平衡位置在x=0处的质点,当t=t0时y1= cm、当t=2
t0时y2= cm,且t0动,该简谐横波沿x轴正方向传播,A错误。由题图甲可得该简谐横波的周期T=0.4 s,由
题图乙可得波长λ=3 m,故波的传播速度v= =7.5 m/s,B正确。质点P平衡位置的横坐标
x=3 m+ =3 m+ m=3.5 m,C正确。2t0-t0= ,t0~2t0时间内质点P从平衡位置沿y轴正方向
振动 ,可得质点P通过的路程s=0.5 sin · cm=0.5 sin cm= cm,D错误。
1.★★(2025届安徽合肥模拟)图甲为一列简谐波在t=0.1 s时刻的波形图,P是平衡位置
为x=1 m处的质点,Q是平衡位置为x=4 m处的质点,图乙为质点Q的振动图像,则
( )
B　
题组3 已知某质点的振动图像和某时刻的波的图像
A.该简谐波沿x轴正方向传播
B.在t=0.25 s时,质点P的速度方向沿y轴正方向
C.质点Q做简谐运动的表达式为y=10 sin πt(cm)
D.从t=0.1 s到t=0.2 s,该波沿x轴正方向传播了4 m
解题导引

解析　由题图乙可得t=0.1 s时Q处于平衡位置沿y轴负方向振动,由题图甲结合“上下
坡法”可得波沿x轴负方向传播,A错误。波传播的速度v= = m/s=40 m/s;0.1~0.25
s,波传播的距离Δx=40×0.15 m=6 m,可得t=0.1 s时在x=7 m处的波形在t=0.25 s时传到P
点,故P点速度方向沿y轴正方向,B正确。质点Q做简谐运动的表达式为y=A sin (ωt+φ),
由题图甲、乙可知A=10 cm、ω= =10π rad/s,当t=0.1 s时y=0,可得φ=0,故质点Q做简谐
运动的表达式为y=10 sin 10πt(cm),C错误。从t=0.1 s到t=0.2 s,该波沿x轴负方向传播的
距离x=40×0.1 m=4 m,D错误。
2.★★(多选)(2026届河北沧州四校联考期中)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0
时刻刚好传到Q点,波形如图甲所示,P、Q、S是平衡位置分别为xP=2 m、xQ=6 m、xS=1
2 m的质点,图乙是P、Q中某个质点的振动图像。下列说法正确的是 ( )
A.波的传播速度大小为2 m/s
B.图乙是质点Q的振动图像
C.3~4 s内质点P的加速度沿y轴负方向且逐渐减小
D.t=12 s时,质点S的位置坐标为(12 m,-3 cm)
　 AC　
解析　该波的波长λ=8 m、周期T=4 s,可得波速v= = =2 m/s,A正确。由题图乙可
知,t=0时刻质点在平衡位置且向y轴负方向振动,波沿x轴正方向传播,结合题图甲可知,
符合此特征的是质点P,B错误。由题图乙可得,在3~4 s内质点P的加速度沿y轴负方向
且逐渐减小,C正确。振动形式从质点Q传到质点S的时间t1= = s=3 s,t=12 s时,质
点S已振动9 s,由于T=4 s,可得9 s=2T+ ,故质点S在t=12 s时的位置坐标为(12 m,3 cm)
【点拨:除波源外,其他质点均做受迫振动,故质点S沿y轴正方向起振,振动周期T=4 s】,
D错误。
3.★★★(2025届江西吉安白鹭洲中学适应考)一列简谐横波沿x轴传播,在t=0时的波形
如图甲所示,M、N、Q是介质中的三个质点,已知图乙为M、N、Q中某个质点的振动
图像,下列说法正确的是( )
A.该波可能沿x轴负方向传播
B.该波的波速大小为10 m/s
C.0~5 s内质点N通过的路程为0.85 m
D.从t=0时刻开始,质点N比Q早0.5 s回到平衡位置
　 C　
解析 由题图乙可知,t=0时刻质点位于平衡位置下方,则题图乙为质点N的振动图像,t=
0时刻质点N向上振动,由“同侧法”可得波沿x轴正方向传播,A错误。由题图甲可得λ
=12 m,由题图乙可得T=2.4 s,故v= =5 m/s,B错误。5 s=2T+ T,故0~5 s内质点N通过的
路程s=8A+5 cm=0.85 m,C正确。从t=0时刻开始,质点N经过0.2 s回到平衡位置,质点Q
经过0.6 s回到平衡位置,质点N比质点Q早0.4 s回到平衡位置,D错误。
一题多解
“波形平移法”突破时间差
波沿x轴正方向传播,当平衡位置的波形传到某质点时,该质点位于平衡位置。由题图
甲可知,t=0时刻,质点M与质点N平衡位置间的距离x1= =1 m,质点Q左侧最近的平衡位
置与Q点间的距离x2=3 m,故Δt= s=0.4 s,即从t=0时刻开始,质点N比Q早0.4 s回到平
衡位置,D错误。
4.★★★(多选)(2024重庆,10,5分)一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所
示,一平衡位置与坐标原点距离为3米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若
该波的波长大于3米。则( )
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
　 BD　
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为 cm
解析　根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3米的质点的振动方程为y=sin (ωt+
φ),代入点 和(2,0),解得φ= ,ω= ,可得T=2.4 s,f= Hz,B正确;如图所示,在波形
图中标出位移为 cm的质点P、Q,若波沿x轴正方向传播,Q点满足题意,则波长可能
满足 λ=3 m,即λ=9 m,若波沿x轴负方向传播,P点满足题意,则波长可能满足 λ'=3 m,即
λ'=18 m,A错误;根据v= ,可得v=3.75 m/s,v'=7.5 m/s,C错误;根据题图乙计算该质点在2 s
内运动的路程为s= cm,D正确。
5.★★★(多选)(2025届广西壮族自治区来宾高级中学模拟)一列简谐横波沿x轴传播,图
甲为该波在t=0时刻的波形图,其中质点M的位置坐标为(0,-4 cm),质点N的位置坐标为
(12 m,4 cm)。图乙为质点M的振动图像,t=5 s时,质点M到达平衡位置。下列说法正确
的是 ( )

　 BD　
A.该波沿x轴正方向传播
B.该波的传播速度大小为2 m/s
C.0~3 s时间内,质点N运动的路程为8 cm
D.质点N的位移与时间的关系式为y=8 sin cm
解析　由题图乙可知,t=0时,质点M向y轴负方向振动,由题图甲根据“上下坡法”可得
该波沿x轴负方向传播,A错误。由题图甲可得 =12 m,解得λ=24 m,由题图乙可得 -
=5 s,解得T=12 s【点拨:利用正弦函数规律及对称性,结合题图甲、乙判断波长和周
期】,则波传播的速度v= = m/s=2 m/s,B正确。0~3 s内质点振动的时间Δt=3 s= T,
质点N运动的路程s=4 cm+(8 cm-4 cm)=(12-4 ) cm<8 cm【快速解法:质点N通过的
路程应小于 ×4A=A=8 cm】,C错误。设质点N的位移与时间的关系式为y=8 sin
cm,当t=0时,y=4 cm,解得φ= ,故质点N的位移与时间的关系式为y=8 sin
cm,D正确。
微专题15　简谐运动在力学中的综合应用
1.★★★(多选)(2025届湖南模拟)如图所示,水平地面上固定一劲度系数为k的轻质弹
簧,弹簧上端叠放着质量分别为2m和m的物块A、B,物块B与弹簧拴接。某同学用竖直
向下的力F压在A上,使整个系统静止。现突然撤去作用力F,观察A、B的运动情况并进
行推理分析(A、B都在竖直方向运动,重力加速度为g,不考虑空气阻力)。下列说法正
确的是 ( )
A.当F>3mg,A、B上升过程就一定会分离
B.若A、B可以分离,A、B分离瞬间,A、B速度均小于最大速度,弹簧弹力为0
C.若A、B可以分离,A、B分离后,A的速度先减为0
D.若A、B可以分离,A向下运动与B相碰后相对静止,后面的运动中,弹簧还能被压缩到
初始位置
　 AB　
解题导引　分析A、B上升过程中分离的临界状态,假设A、B上升过程中,恰好不分离,
A、B上升到最高点时,A、B间恰好无作用力,如图

撤去F前,对A、B分析,可得F+3mg=F'k,解得F=3mg。
解析 撤去作用力F后至A、B分离前,A、B做简谐运动,当F=3mg时,A、B上升至最高
点恰好不分离;当F>3mg时,平衡位置不变,撤去F瞬间A、B加速度大于g,根据简谐运动
的对称性可得弹簧恢复原长时A、B速度并未减到零,故A、B上升过程一定会分离,A正
确。A、B位于平衡位置时速度最大,加速度为零,A、B分离瞬间,A、B已偏离平衡位置,
可得A、B速度均小于最大速度,B正确。若A、B可以分离,A、B分离后A的加速度为g,
B的加速度aB= >g,B的速度先减为0,C错误。若A、B可以分离,A向下运动与B相
碰后相对静止,A、B发生完全非弹性碰撞,有机械能损失,根据能量守恒,弹簧不能被压
缩到初始位置,D错误。
2.★★★(多选)(2025河北,9,6分)如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地
面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两
侧,细绳与斜面平行。此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均
处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开。弹簧始终在弹性限
度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中,下列说法正确的是
( )
　 AC　
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
解析　设左侧小物块被沿斜面缓慢拉下的距离为x,绳拉力大小为T,弹簧劲度系数为k,
同一时刻左、右侧小物块加速度大小相等,则对左侧小物块有kx+T-mg sin θ=ma,对右
侧小物块有kx+mg sin θ-T=ma,联立解得T=mg sin θ,ma=kx,即小物块所受的合力大小与x
成正比且总指向弹簧原长时小物块的位置,所以小物块沿斜面做简谐运动,A正确,B错
误;根据简谐运动对称性可知右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速
度大小相等,C正确;若θ增大,小物块受到的回复力不变,周期不变,则右侧小物块从最低
位置运动到最高位置所用的时间不变,D错误。
3.★★★(2025届内蒙古包头三模)反射式速调管是常用的微波器件之一,它利用带电粒
子在电场中的振荡来产生微波,振荡原理可以理解为:如图所示,以O为原点建立x轴,x<0
区域有匀强电场沿x轴负方向,其电场强度E1=4 V/m,x>0区域有非匀强电场,其方向如图
所示,其电场强度大小E2=4x(V/m),一带负电粒子质量为2×10-6 kg,电荷量的绝对值为1×
10-5 C,从x1=-40 cm处P点由静止释放,粒子仅在静电力作用下在x轴上往返运动。已知
质点做简谐运动的周期T=2π (m为质点质量,k为振动系数),设原点O处电势为零。下
列说法正确的是 ( )
　 C　

A.粒子的最大速度为3 m/s
B.粒子运动到原点O右侧的最低电势为-1.5 V
C.粒子运动的周期为 s
D.粒子向右运动的过程中到O点的最远距离为 m
解题导引

解析　已知q=1×10-5 C,粒子运动到O点时速度最大,粒子由P点到O点,根据动能定理可
得E1q(0-x1)= m ,解得vm= =4 m/s,A错误。若粒子运动到原点右侧最远点时
电势为φ,根据动能定理可得qφ=0- m ,解得φ=-1.6 V,B错误。粒子在x<0区域中单程
运动的时间t1= =0.2 s;粒子在x>0区域中受到的电场力F2=-E2q=-4×10-5x(N)=-kx,可得k
=4×10-5 N/m,粒子在x>0区域中做简谐运动的周期T2=2π = s;故粒子运动周期T=2
t1+ = s,C正确。设从O点向右运动的最远距离为s,根据动能定理可得- qE2ss=0
- m ,E2s=4s(V/m)解得s= m,D错误。
4.★★★★(多选)(2025陕晋青宁,10,6分)如图,与水平面成53°夹角且固定于O、M两点
的硬直杆上套着一质量为1 kg的滑块,弹性轻绳一端固定于O点,另一端跨过固定在Q处
的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接,弹性轻绳原长为OQ,PQ为1.6 m且垂直于
OM。现将滑块无初速释放,假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动
摩擦因数为0.16,弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足F=kx,k=10 N/m,g取10 m/s2,
sin 53°=0.8。则滑块 ( )

　 AC　
A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为1.6 N
B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同
C.从释放到静止的位移大小为0.64 m
D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为2.56 J
解析　设PQ与杆之间的夹角为α,滑块沿杆运动时,垂直于杆方向合力为零,可得F sin α
=mg cos 53°+FN,其中F= 【点拨:弹性轻绳上的力在垂直于杆方向上的分力为F sin
α=k·PQ=16 N,为定值】,所以滑块与杆之间的弹力大小FN=10 N,滑块与杆之间的滑动
摩擦力大小Ff=μFN=1.6 N,大小始终不变,A正确。下滑和上滑过程中,滑块所受滑动摩
擦力的方向相反,冲量为矢量,故滑动摩擦力的冲量一定不相同,B错误。滑块下滑过程,
可看成简谐运动在半个周期内的运动【点拨:当滑块沿杆下滑时,假设在O1处滑块加速
度为零,有mg sin 53°-μFN-F cos α=0,其中F cos α= cos α= =k·PO1,即mg sin 53°-μFN-k·PO1=0;若滑块位于距O1沿杆向上Δx处,滑块所受合力F合=mg sin 53°-μFN-k(PO1-Δ
x)=kΔx,可知滑块下滑过程中做简谐运动;同理可得滑块上滑过程中做简谐运动,但需注
意滑块下滑和上滑过程所受滑动摩擦力的方向相反,则下滑和上滑过程对应的平衡位
置不在同一位置】设P'为简谐运动的最低点,平衡位置为O1,在O1有mg sin 53°=k·PO1+μ
FN,解得PO1=0.64 m,此简谐运动的振幅A1=0.64 m,则PP'=2A1=1.28 m;滑块上滑过程,可
看成另一个简谐运动在半个周期内的运动,设平衡位置为O2,QO2与杆之间的夹角为γ,
可得mg sin 53°+μFN= ·cos γ,其中 ·cos γ=PO2,联立解得PO2=0.96 m,此简谐运动
的振幅A2=PP'-PO2=0.32 m;由简谐运动的对称性可得滑块上滑刚好可回到O1处且无法
下滑,故滑块从释放到静止的位移大小等于PO1=0.64 m,C正确。滑块从释放到静止,克
服滑动摩擦力做功Wf=μFN(2A1+2A2)=3.072 J,D错误。
实验9　用单摆测量重力加速度
1.(2023河北,11,8分)某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点,
下端悬挂一小钢球,通过光电门传感器采集摆动周期。

图1
(1)关于本实验,下列说法正确的是_____________。(多选)
　 ABD　
A.小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B.应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C.小钢球可以换成较轻的橡胶球
D.应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置,用毫米刻度尺测量摆线长度L,用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测
微器示数如图2,小钢球直径d=________________mm,记摆长l=L+ 。
(3)多次改变摆线长度,在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T,并作出l-T2
图像,如图3。
　 20.035　

根据图线斜率可计算重力加速度g=______________m/s2(保留3位有效数字,π2取9.87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长,仍用上述图像法处理数据,得到的重力加速度值将
______(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
不变　
　 9.87　
解析 (1)使用光电门测量时,光电门U形平面与被测物体经过光电门时的运动方向垂
直是光电门使用的基本要求,A正确;测量摆线长度时,要保证摆线处于伸直状态,B正确;
单摆是一个理想化模型,若采用质量较轻的橡胶球,空气阻力对摆球运动的影响较大,C
错误;无初速度、小摆角释放是为了保持摆球在竖直平面内运动,不形成圆锥摆,且单摆
只有在摆角很小的情况下才可视为做简谐运动,使用T=2π 计算单摆的周期,D正确。
(2)小钢球直径d=20 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm。
(3)由单摆周期公式T=2π ,整理得l= T2,由题图3知图线的斜率k= = m/s2,
解得g=9.87 m/s2。
(4)若将摆线长度L误认为摆长l,则有T=2π ,即得到的图线函数表达式为L= - ,
仍用上述图像法处理数据,图线斜率不变,仍为 ,故得到的重力加速度值不变。
2.(2024湖北,12,9分)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:
2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、刻度尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片的托盘,在托盘内放入一个
砝码,如图(a)所示。
②用刻度尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π ,其中k为弹
簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)由步骤④,可知振动周期T=___________。
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l=______________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示,可得g=___________________________m/s2(保
留三位有效数字,π2取9.87)。
　 9.65(9.55~9.75均可)　
　 l0+ 　
　 　
(4)本实验的误差来源包括____________(双选,填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
　 AB　
解析 (1)30次全振动所用时间为t,则振动周期T= 。
(2)弹簧振子的振动周期T=2π ,可得振子的质量M= ,振子平衡时,根据平衡条件
有Mg=kΔl,可得Δl= ,则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+ 。
(3)根据l=l0+ 整理可得l=l0+ ·T2,则l-T2图线的斜率k'= = m/s2,解得g
≈9.65 m/s2。
(4)本实验将振动系统理想化为弹簧振子,从而测出重力加速度,但由于空气阻力的存
在,振动系统做阻尼振动,则空气阻力是实验的误差来源之一,A正确;根据弹簧振子周期
公式可知,振子的质量影响振动的周期,通过光电门测量出的周期为考虑弹簧质量的真
实周期,而“l=l0+ ”是不考虑弹簧质量的关系式,所以弹簧质量不为零是误差来源
之一,B正确;根据简谐运动的特点可知,周期与是否在平衡位置计时无关,C错误。

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