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4.4 对数函数
A级　基础练习
1.(多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有(　　)
A.y=logπx B.y=logx
C.y=log4(x2+1) D.y=log2(x+1)
2.(2026江苏无锡期中)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(1,4] B.(1,2)∪(2,4]
C.[2,4] D.(1,2)
3.如图,曲线C1,C2,C3,C4中,不属于函数y=lox,y=lox,y=log5x图象的一个是(　　)
A.C1 B.C2
C.C3 D.C4
4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=(　　)
A.log2x B.lox
C. D.x2
5.(多选题)函数f(x)=loga(x+)的图象可以为(　　)
6.(2026山西大同期末)若函数f(x)=logax+a2-3a+2为对数函数,则a=　　　　　.
7.函数y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点　　　　　.
8.(2026上海期中)函数y=logax在区间[,3]上的最大值与最小值的差为1,则a=　　　　　.
9.作出下列函数的图象:
(1)y=lg(-x);(2)y=-lg x;(3)y=|lg x|;(4)y=lg|x|.
10.求下列函数的值域.
(1)f(x)=ln(x2+x-1);
(2)f(x)=log2(3+2x-x2);
(3)f(x)=log2·log4(4x2).
B级　提升练习
11.(多选题)已知a>0,且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)
12.将y=2x的图象先　　　　　,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象(　　)
A.向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
13.(2026山东青岛阶段练习)关于x的函数f(2x+1)的定义域是(-∞,2],则g(x)=的定义域为(　　)
A.(1,5] B.(0,5]
C.(1,2] D.(0,2]
14.函数f(x)=lg(-2)的值域为(　　)
A.(2lg 2,+∞) B.(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.[lg 2,+∞)
15.若函数f(x)=log2|a+x|的图象不过第四象限,则实数a的取值范围为　　　　.
16.已知函数f(x)=的最小值为-1,则a的取值范围是　　　　　.
17.(2026天津期中)已知函数f(x)=|log2x|,若018.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a其中可能正确的关系式是　　　　.
19.设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点(),g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.
(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;
(2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[a,b],且b-a=,求c的值.
C级　创新练习
20.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1∈M,2 M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
答案：
1.AB　根据对数函数的定义知,y=logπx,y=lox是对数函数.故选AB.
2.B　因为4-x≥0,x-1>0,且x-1≠1,所以13.B　由图可知,曲线C3是y=lox的图象,曲线C4是y=lox的图象,
又y=lox=-log5x的图象与y=log5x的图象关于x轴对称,所以曲线C1是y=log5x的图象.故选B.
4.B　因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数图象经过点(,a),因此loga=a,解得a=,所以f(x)=lox.
5.ACD　由题意,函数f(x)=loga(x+)的定义域为(-,+∞).
当a>1时,函数f(x)单调递增,且0<<1,
又f(0)=loga=-1,故A可以,B不可以;
当01,
又f(-1)=loga(-1+),
当1<<2时,f(-1)=loga(-1+)>loga1=0,则C可以;
当=2时,f(-1)=loga(-1+)=loga1=0,则D可以.
故选ACD.
6.2　由题意a2-3a+2=0,且a>0,a≠1,所以a=2.
7.(1,2)　令3x-2=1,即x=1,得y=loga1+2=2,
故y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,2).
8.6或　当a>1时,y=logax在区间[,3]上单调递增,
由题意,loga3-loga=1,即loga6=1,得a=6,满足a>1;
当0由题意,loga-loga3=1,即loga=1,得a=,满足0综上,a=6或a=.
9.解 (1)作出y=lg x关于y轴对称的图象,可得y=lg(-x)的图象,如图1.
(2)作出y=lg x关于x轴对称的图象,可得y=-lg x的图象,如图2.
(3)作出y=lg x的图象,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,可得y=|lg x|的图象,如图3.
(4)作出y=lg x的图象,再作出y=lg x关于y轴对称的图象,即得到另外一半图象,可得y=lg|x|的图象,如图4.
图1
图2
图3
图4
10.解 (1)因为t=x2+x-1=(x+)2-≥-,所以t可以取到一切正实数,所以f(x)的值域为R.
(2)因为3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,而对数函数的真数须大于0,所以0<3+2x-x2≤4,因为y=lg x是增函数,log24=2,所以f(x)的值域为(-∞,2].
(3)函数f(x)的定义域是(0,+∞),log2x∈R,f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=(log2x-)2-≥-,所以f(x)的值域为[-,+∞).
11.ABD
12.D　y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x的图象先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.
13.A　因为f(2x+1)的定义域是(-∞,2],则f(x)的定义域为(-∞,5],则g(x)=的定义域满足解得114.D　由-2=3x+-2≥2-2=2,当且仅当3x=,即x=log32时,等号成立,
所以f(x)=lg(-2)∈[lg 2,+∞),故f(x)的值域为[lg 2,+∞).故选D.
15.[1,+∞)　函数f(x)=log2|a+x|的图象关于直线x=-a对称,其定义域为{x|x≠-a},
作出函数f(x)=log2|a+x|的大致图象如图所示,由图可得,要使函数f(x)=log2|a+x|的图象不过第四象限,则解得a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).
16.　∵当x≥时,log2x≥log2=-1,
∴当f(x)的最小值为-1时,-+a≥-1,∴a≥-.
17.[2,+∞)　如图,
由f(x1)=f(x2),知0且|log2x1|=|log2x2|,
得-log2x1=log2x2,即x1x2=1,得x1=,
所以3x1+x2=+x2≥2,当且仅当=x2,
即x2=时,等号成立,
所以3x1+x2的取值范围为[2,+∞).
18.②④⑤　实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.
19.解 (1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(),所以,所以a=10,所以f(x)=10x.
因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.
(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lg x(x>0),且为增函数,所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lg c]=[a,b].因为b-a=,所以lg c-lg,所以lg c=2,则c=100.
20.解 由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
(1)由1∈M,2 M可得
化简得解得-1所以a的取值范围为.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不符合题意;当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.
所以a的取值范围为(1,+∞).

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