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4.5.1函数的零点与方程的解
A级　基础练习
1.函数f(x)=4x-2x-2的零点是(　　)
A.(1,0) B.1
C. D.-1
2.若二次函数y=x2-m有零点,则实数m的取值为(　　)
A.正数 B.非负数
C.一切实数 D.零
3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(2026湖南长沙阶段练习)已知函数f(x)=ln x+2x-5的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
5.函数f(x)=2x+的零点所在区间是(　　)
A.(-1,-) B.(-,-)
C.(-,-) D.(-,0)
6.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)内可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)内一定有零点
7.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
8.方程x+ln x=3解的个数为　　　　　.
9.若方程|3x-1|=k有一个实数根,则实数k的取值范围为　　　　　　　　.
10.(2026江苏扬州期中)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是　　　　　.
B级　提升练习
11.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
12.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
13.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
14.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)
A.a<αC.α15.若函数f(x)=2ax2+3x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值集合为(　　)
A.{a|-1B.{a|a=-或-1C.{a|-1≤a≤2}
D.{a|a=-或-1≤a≤2}
16.(多选题)已知函数f(x)=
则下列选项正确的有(　　)
A.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个负根之和为-2
B.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个正根之积为1
C.若方程f(x)=a有三个不同的实根,则a的取值范围为(0,1)
D.方程f(x)=3-x的两根之积小于1
17.若函数f(x)=x3-x+1在区间(a,b)内恰有一个零点,其中a,b∈Z,b-a=1,则a+b的值为　　　　.
18.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
C级　创新练习
19.(2026河南新乡期中)(多选题)已知函数f(x)=若方程f2(x)-(3k+)f(x)+k=0有三个不等的实根,则整数k的可能取值是(　　)
A.-8 B.-4
C.8 D.16
20.(2026江苏连云港期中)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-bf(x)+=0有8个相异的实根,则实数b的取值范围为　　　　　.
答案：
1.B　由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,解得x=1.
2.B　函数y=x2-m有零点,则x2-m=0有解,即Δ=0-4×(-m)≥0,解得m≥0.故选B.
3.C　根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;令1++3x=0,无解,故函数y=f(x)+3x只有两个零点,故选C.
4.C　因为f(x)=ln x+2x-5在(0,+∞)上单调递增且连续不断,f(3)=ln 3+1>0,f(2)=ln 2-1<0,所以f(x)的零点在区间(2,3)上,所以k=2.故选C.
5.C　因为f(x)=2x+在R上连续且单调递增,又f(-)==(-(<0,
f(-)==(-(>0,所以函数f(x)的零点所在区间是(-,-).故选C.
6.AC　因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因为函数f(x)的图象在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点.又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.
7.C　易知f(x)在区间[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线且f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得08.1　(方法1)设f(x)=x-3+ln x,令f(x)=0,则ln x=3-x,
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
由图可知函数y=ln x的图象与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.故原方程只有1个实数解.
(方法2)设f(x)=x-3+ln x,因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,所以f(3)f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原方程只有一个解.
9.{0}∪[1,+∞)　函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如右图所示,当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,即方程|3x-1|=k有一个实数解.
10.(4,)　二次函数y=x2-5x+m的图象是一条抛物线,开口向上,对称轴为x=,若它的两个零点都在区间(1,+∞)内,只需满足解得411.D　由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
12.B　因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当00.故选B.
13.B　由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.
14.C　∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
15.D　由函数f(x)=2ax2+3x-1,若a=0,可得f(x)=3x-1,令f(x)=0,即3x-1=0,解得x=,符合题意;若a≠0,令f(x)=0,即2ax2+3x-1=0,可得Δ=9+8a,当Δ=0时,即9+8a=0,解得a=-,此时f(x)=-x2+3x-1,解得x=,符合题意;当Δ>0时,即a>-且a≠0,则满足f(-1)·f(1)=(2a-4)(2a+2)≤0,解得-1≤a≤2且a≠0,若a=-1,可得f(x)=-2x2+3x-1,令f(x)=0,即2x2-3x+1=0,解得x=1或x=,其中x=∈(-1,1),符合题意;若a=2,可得f(x)=4x2+3x-1,令f(x)=0,即4x2+3x-1=0,解得x=-1或x=,其中x=∈(-1,1),符合题意.
综上可得,实数a的取值范围为{a|a=-或-1≤a≤2}.故选D.
16.ABD　函数f(x)的图象如下,
对于AB,方程f(x)=a有四个不同的实根,即直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个交点,则13,所以由f(x)=3-x得x>0,所以3-x=log2x,x>1或3-x=-log2x,0当x>1时,3=x+log2x,函数y=x+log2x单调递增,x=2是方程3=x+log2x唯一的实数根,当≤x<1时,3-x>2,-log2x≤1,即3-x=-log2x在≤x<1内无解,当00,g()=-<0,于是g(x)在区间(0,)内有零点,即3-x=-log2x在区间(0,)内有解,因此方程f(x)=3-x的两根之积小于1,故D正确.故选ABD.
17.-3　如图所示,函数f(x)=x3-x+1的零点,即函数y=x3的图象与y=x-1的图象的交点,由图象可知,两函数的图象只有一个交点,且f(-2)=-5,f(-1)=1,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)在(-2,-1)内有一个零点,又由a,b∈Z,b-a=1,所以a=-2,b=-1,所以a+b=-3.
18.解 (1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.
此时Δ>0,故k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,∴
则
∴α2+β2在区间内的取值范围为.
故α2+β2的取值范围为.
19.CD　如图,作出函数f(x)的大致图象,
由f2(x)-(3k+)f(x)+k=0,可得[f(x)-]·[f(x)-3k]=0.
由图可知,直线y=与y=f(x)的图象有两个不同的交点,
即方程f(x)=有两个不等的实根,结合已知,可得方程f(x)=3k有且只有一个实根,
即直线y=3k与y=f(x)的图象有且只有一个交点,故3k=0或3k≥1,解得k=0或k≥.故选CD.
20.(1,)　作出函数f(x)的图象如图所示,令t=f(x),则方程f2(x)-bf(x)+=0转化为t2-bt+=0.
要使原方程有8个相异的实根,需t2-bt+=0有两个不同实根t1,t2,且t1,t2∈(0,2).
设g(t)=t2-bt+,需满足
解得14

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