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4.5.2用二分法求方程的近似解
A级　基础练习
1.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
2.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测(　　)
A.4次 B.6次
C.8次 D.30次
3.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)
A.2.52 B.2.56
C.2.66 D.2.75
4.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
5.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,3)上的零点的近似值,由计算得f(2)=-2,f(3)=0.625, f(2.5)=-0.984,f(2.75)=-0.26.下一个求f(m),则m=　　　　　.
6.函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585, log21.75≈0.807)
B级　提升练习
7.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为(　　)
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1,2) D.(1.5,2)
8.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,),()内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f() B.f(2)
C.f(1) D.f()
9.已知f(x)=-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n=　　　　　.若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分　 次.
10.已知函数f(x)=x+(a>0),若能用二分法求函数f(x)的零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
C级　创新练习
11.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
答案：
1.ACD　f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
2.B　利用二分法检测,每次取中点,焊接点数减半,
不妨设需要n次检测,则≤1,即2n≥60,因为25<60<26,故n的最小值为6,即至少需要检测6次.故选B.
3.AB
4.ABD　根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在中,或f=0,故选ABD.
5.2.875　由二分法的求解过程知,下一个f(m)为f()=f(2.875),所以m=2.875.
6.解 易得g(x)=+log2x-2在(0,+∞)上单调递增.
∵g(1)=1-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵|1.75-1.5|=0.25<0.4,=1.625,
∴下一个零点所在的区间为(1.5,1.625)或(1.625,1.75),|1.5-1.625|=|1.625-1.75|=0.125<0.2,
∴g(x)零点的近似值为1.625.
7.D　令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=(ln -ln e2)<(ln 4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
8.BD　由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间(1,)内,则有f(1)·f()<0,则f(1)>0,f()<0,取中点;⑤零点在区间()内,则有f()·f()<0,则f()>0,f()<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f().
9.1　7　f(x)=-ln x在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0,所以f(x)的零点x0∈(1,2),故n=1.设至少需等分n次,则()n≤0.01且n∈N,解得n≥7,故至少需等分7次.
10.(0,)　f(x)的定义域为{x|x≠0},因为a>0,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+≥2=2>0,当且仅当x=时,等号成立,故x∈(0,+∞)时,f(x)没有零点;
当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),f(x)=-(-x+)+≤-2=-2,当且仅当x=-时,等号成立,若要用二分法求f(x)的零点,需满足-2>0,所以011.解 因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f(-)=-+5=-<0,所以x0∈[-,-1].
取区间[-,-1]的中点x2==-,
且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
取区间[-,-]的中点x3==-,
且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
因为--(-)=0.125<0.2,所以区间[-,-]的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.
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