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集合的概念与基本关系
【集合的含义】
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
【元素与集合】
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
【集合元素的三大特性】
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
(2)互异性(考试常考特点，注意检验集合的互异性)：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
(3)无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练1】下列各组对象的全体能构成集合的有( )
(1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练2】(2023·高一课时练习)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A． B．
C． D．
【集合的表示方法与分类】
常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
集合的表示方法
(1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
(2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(3)描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
(4)(韦恩图法)：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3.集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
(1)有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
(2)无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.
【集合相等】
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
【即学即练4】集合，且，则实数m=________.
【常考题型1-判断元素能否构成集合】
【例1】下列各对象可以组成集合的是( )
A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师
【常考题型2-判断是否为同一集合】
【例1】下列说法正确的是( )
A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【例2】设是有理数，集合，在下列集合中；
(1)；(2)；(3)；(4)；与相同的集合有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【常考题型3-判断元素与集合的关系】
【例1】已知集合下列关系正确的是( )
A． B． C． D．
【例2】(多选)已知集合，则下列关系式成立的是( )
A． B． C． D．
【常考题型4根据元素与集合的关系求参数】
【例1】已知集合 ，且 ，则实数的值为( )
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【例2】若集合，且，则实数___________.
【例3】集合中所有元素之和为，则实数________．
【常考题型5-列举法】
【例1】表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【常考题型6-两个集合相等问题】
【例1】(2023·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合，，若，则( )
A． B．0 C．1 D．2
【例2】设集合，，若，则( )
A．0 B．1 C．2 D．
【重点方法-分类讨论法】
【例1】关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是( )
A． B． C． D．
【例2】已知集合.
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中至多有一个元素，求的取值范围.
【能力提升】
1．已知集合，则C集合中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合，则中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
3．(多选已知，且，，，则取值可能为( )
A． B． C． D．
【课后练习】
设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 集合中的元素个数是( )
A．0 B．4 C．5 D．6
3．方程x2＝x的所有实数根组成的集合为
A． B． C． D．
4．若，则a =( )
A．2 B．1或－1 C．1 D．－1
5．已知集合M=且，则M等于( )
A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}
6．由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若集合中只有一个元素，则　　
A． B． C．0 D．0或
8．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝( )
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
9．已知集合，则的值为_________．
10．集合的元素个数为_________．
11．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
(1)试用列举法表示集合且；
(2)试用列举法表示集合且．集合间的关系与计算
【子集】
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
(1)记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
(2)性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
【真子集的含义】
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
(1)记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
(2)性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
【空集的含义】
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合；是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为：
关系 或者
【即学即练1】写出集合的所有子集．
【即学即练2】满足条件： 的集合M的个数为______.
【即学即练3】有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【集合的计算-并集】
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 (读作：并).记作：.
并集的性质：,,,,.
【即学即练1】(2023·上海松江·校考模拟预测)已知集合}，，则________．
【集合的计算-交集】
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作(读作：交).记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
【即学即练2】设集合，，则( )
A． B． C． D．
【集合的计算-全集与补集】全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设是全集，是的一个子集(即),则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【即学即练3】已知集合，则( )
A． B． C． D．
【常考题型1-判断两个集合的包含关系】
【例1】下列集合关系中错误的是( )
A． B． C． D．
【例2】已知集合，则( )
A． B． C． D．
【例3】设集合，，则集合与的关系是______．
【常考题型2-判断子集(真子集)的个数】
【例1】设集合，则集合的真子集个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．15
【例2】已知，，且，满足这样的集合的个数( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【常考题型3-空集的概念集判断 】
【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是( )
A．1 B．3 C．4 D．6
【例2】(多选)下列关系中正确的是( )
A． B． C． D．
【例3】已知集合，且，则实数的取值范围是____.
【例4】不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【常考题型4-根据集合的包含关系求参数】
【例1】已知集合，且，则实数的值是_________．
【例2】已知集合
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求实数的取值范围.
【常考题型5-交集的概念及运算】
【例1】设集合，，则( )
A． B． C． D．
【例2】设，，若，则实数的值可以是(　　)
A．0 B． C． D．2
【例3】已知，，若，则实数的取值范围为___________.
【例4】已知集合，，若，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【常考题型6-并集的概念及运算 】
【例1】若集合，则( )
A． B． C． D．
【例2】设集合，，若，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例3】已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【常考题型7-补集的概念及运算】
【例1】设全集，集合，则( )
A． B． C． D．
【例2】设全集，集合，，则实数的值为( )
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
【常考题型8-交集、并集、补集的混合运算 】
【例1】已知集合，，求，，，.
【例2】设集合或，若，则的取值范围是( )
A．或 B．或 C． D．
【例3】已知集合，．
(1)若，求；
(2)已知，求实数的取值范围．
【常考题型8-容斥原理】
【例1】某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？(教材阅读与思考改编)( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】某高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )
A． B． C． D．
【本节数学思想方法(分类讨论法)】
【例1】设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
【典例2】(2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习)已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若集合中仅有一个整数元素，求．
【本节易错题(忽略空集)】
【例1】(集合或，，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例2】已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为___________.
【强化训练】
1．已知集合，，其中.
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围.
2．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
3．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有( )
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【课后巩固】
1．已知集合且，则集合A的子集的个数为( )
A．15 B．16 C．31 D．32
2．已知集合，，若，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有( )
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
4．已知集合，，则下列说法正确的是( )
A． B． C． D．
5．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为( )
A． B． C． D．
6．已知，若，则( )
A． B． C．2 D．3
7．设全集，若集合，，则( )
A． B． C． D．
8．已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________.
9．设集合，，且．
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求实数的值．
10．已知集合A＝{x|011．已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.充分必要条件与量词
【充分条件、必要条件与充要条件的概念】
(1)若，则是的充分条件，是的必要条件；
(2)若且，则是的充分不必要条件；
(3)若且，则是的必要不充分条件；
(4) 若，则是的充要条件；
(5)若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练1】“”是“”的是__________条件．
【充分性必要性高考高频考点结构】
(1)是的充分不必要条件且(注意标志性词：“是”，此时与正常顺序)
(2)的充分不必要条件是且(注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序)
【即学即练2】已知，则“”的一个必要条件是( )
A． B． C． D．
【全称量词与存在量词】
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
【全称量词命题和存在量词命题的否定】
1全称量词命题及其否定(高频考点)
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定(高频考点)
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练1】命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
【常用的正面叙述词语和它的否定词语】
正面词语 等于() 大于() 小于() 是
否定词语 不等于() 不大于() 不小于() 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
【常考题型-判断命题的真假】
【例1】下列结论错误的是( )
A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人
C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四
D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心
【例2】下列命题中，是真命题的是( )
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【常考题型2-充分条件、必要条件的判断】
【例1】设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】已知，，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【例3】)已知是实数，那么“”是“”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【常考题型3-根据充分性，必要性求参数】
【例1】已知，．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
【例2】已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【例3】已知集合，.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【常考题型4-探索命题为真的充要条件】
【例1】不等式在上恒成立的一个充要条件是( )
A． B． C． D．
【例2】不等式对任意恒成立的充要条件是__________．
【常考题型5-全称命题与特称命题的否定】
【例1】命题，，则命题的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例2】命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例3】命题“对任意的，有”的否定是( )
A．不存在，使 B．存在， 使
C．存在，使 D．对任意的，
【常考题型6-全称命题、特称命题与充分(必要)条件】
【例1】已知，；，则是的______条件．(在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入)
【例2】已知命题:“，不等式”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【例3】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________.
【例4】已知“，”为假命题，则实数的取值范围是______.
【重点方法(变量分离法)】
【例1】已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例2】命题：，为真命题的一个充分条件是_________．
【例3】已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
【强化训练】
1．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有( )
A． B． C． D．
3．若，，则实数的取值范围为___________
4．已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．(多选)“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
6．已知全集为，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【课后巩固】
1．若条件，条件，则是的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．对于命题p：，命题q：方程有两个同号且不等实根，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是关于的不等式的解集为R的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
5．“不等式在R上恒成立”的充要条件是( )
A． B． C． D．
6．命题“，”的否定是( )
A．， B．， C．， D．，
7．已知命题，，则p的否定为( )
A． B． C． D．
8．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
9．命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为( )
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立 B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立 D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
10．集合，.
(1)求；
(2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
11．已知“，使等式”是真命题.
(1)求实数的取值范围：
(2)设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
12．已知集合
(1)若，求实数m的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
13．已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．不等式的性质与基本不等式
【作差法比大小】
①； ②； ③
【不等式的探究】
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
【基本不等式(一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱)】
基本不等式:,,(当且仅当时，取“”号)其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有(当且仅当时，取“”号)
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
【利用基本不等式求最值】
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
【基本不等式链】
(其中，当且仅当时，取“”号)
【三个正数的基本不等式】
如果，，，那么(当且仅当时，取“”号)
【常考题型1-常见易错的大小判断】
【例1】设为正实数，则下列命题正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【例2】(多选)已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是(　　)
A． B． C． D．
【例3】若，，则下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【例4-代数法】若，，则一定有( )
A． B． C． D．
【例5-代数法】(多选)若，，则( )．
A． B． C． D．
【常考题型2-作差法、作商法比大小】
【例1】已知，，，，则与的大小关系为(　　)
B． C． D．，大小关系不确定
【例2】“”是“”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例3】已知，，设，则( )
A． B． C． D．
【例4】设，比较与的大小
【常考题型3-对基本不等式的理解】
【例1】以下结论正确的是( )
A．函数的最小值是4 B．若且，则
C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0
【例2】设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是( )
A． B． C． D．
【例3】若．且，则下列不等式恒成立的是( )
A． B． C． D．
【例4】已知是实数.
(1)求证：，并指出等号成立的条件；
(2)若，求的最小值.
【例5】已知都是正数，且.求证：(1)；
(2).
【常考题型4-利用基本不等式求积的最大值】
【例1】已知，则函数 的最大值是(　　)
A． B． C． D．
【例2】，的最大值为_________.
【例3】已知，则的最大值为________.
【常考题型5-利用基本不等式求和的最小值】
【例1】设，则的最小值为( )
A．5 B．3 C．4 D．9
【例2】若，则的最小值为__________．
【例3】已知，若，则的最小值为______
【常考题型6-利用基本不等式求二次与二次(一次)商式的最值】
【例1】已知，则的最小值为___________.
【例2】)(1)求函数的最小值及此时的值；
(2)已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【例3】函数的最小值为___________.
【常考题型7-利用基本不等式求条件等式求最值】
【例1】已知正实数，满足，则的最小值为( )
A．3 B．1 C．9 D．
【例2】已知，，若，则的最小值为______.
【例3】若正数x，y满足，则的最小值是( )
A．6 B． C． D．
【常考题型8-基本不等式中的恒成立问题】
【例1】已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为( )
A． B． C．或 D．或
【例2】已知、，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例3】若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【例4】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2
【例5】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【常考题型9-基本不等式的应用】
【例1】某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
【例2】为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区(阴影部分)和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为( )
A．20m B．50m C．m D．100m
【常考题型10-对钩函数】
【例1】设，则的取值范围是______．
【例2】已知函数，则下列结论正确的是( )
A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值
【题型11-重点方法之凑配法】
【例1】已知实数满足，则的最大值为( )
A． B．0 C．4 D．8
【例2】若不等式对恒成立，则的取值范围是__________，的最小值为__________．
【例3】当时， 的最小值为10，则( )
A．1 B． C．2 D．4
【题型12-重点方法之“1”的妙用法】
【例1】已知正数、满足，求的最小值为____________.
【例2】若正实数，满足．则的最小值为( )
A．12 B．25 C．27 D．36
【例3】已知正实数，满足，则的最小值是( )
A．1 B． C． D．
【例4】已知正数满足恒成立，则的最小值为( )
A． B． C．2 D．3
【不会不怪你题型之消元法】
【例1】已知，且，则的最小值为__________.
【例2】若正数，满足，则的最大值为__________．
【例3】已知，且，则的最小值为___________.
【易错题之忽视基本不等式中的“一正”、“三相等”】
【例1】(多选)下列关于使用基本不等式说法正确的是( )
A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4
B．由于， 所以
C．由于，故最小值为2
D．由于，所以，故最大值为
【例2】下列不等式中等号可以取到的是( )
A． B．
C． D．
【例3】下列几个不等式中，不能取到等号的是( )
A． B．
C． D．二次函数与二次不等式
【常考题型1-一元二次不等式(不含参)的求解】
【例1】不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【例2】解下列不等式：
(1) (2) (3)
【常考题型2-一元二次不等式(含参)的求解(二次项系数不含参数)】
【例1】若，则关于的不等式的解集是( )
A． B．或 C．或 D．
【例2】（分类讨论）解关于的不等式.
【例3】已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式．
【常考题型3-一元二次不等式(含参)的求解(二次项系数含参)】
【例1】不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【例2】若，则关于的不等式的解集为( )
A． B． C．或 D．或
【例3】解下列关于的不等式：().
【常考题型4-一元二次不等式与对应函数、方程的关系】
【例1】已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【例2】已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________
【常考题型5-分式不等式的解法】
【例1】不等式的解集为________.
【例2】已知全集，集合，，则______，______.
【（高考必有）常考题型6-一元二次方程的实根分布问题】
【例1】若一元二次方程(不等于0)有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例2】若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________.
【例3】方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【例4】已知方程的两根在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法】
【例1】若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
【例2】不等式的解集为，则的取值范围是________.
【重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法】
【例1】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是( )
A． B． C． D．
【例2】已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________.
【例3】若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
【课后巩固】
1．的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．或
2．不等式的解集为( )
A． B． C． D．或，
3．若不等式的解集为或，则(　　)
A．， B．， C．， D．，
4．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
5．已知，且，若有解，则实数的取值范围时( )
A．或 B．或 C． D．
6．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为(　　)
A． B． C． D．
7．不等式的解集是__________．
8．已知，且，若恒成立，则的取值范围是______.
9．若不等式的解集是，则的值等于_______．
10．关于的不等式恒成立，则的取值范围为__________.
11．解不等式
(1) (2)
12．已知的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
13．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为______.
14．已知函数
(1)解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为，求的最小值．
15．解下列关于的不等式．函数三要素及其表示方式
【函数的近代定义】
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集(注意不仅非空，还要是数集)，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应(可以多对一，不能一对多).
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
【即学即练】下列四个图象中，是函数图象的是( )
A． B． C． D．
【函数的三要素】
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).
【即学即练】函数的定义域为______．
【函数相等】
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
【即学即练】下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【区间的概念】
设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间，记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
【含有无穷大的表示】
全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。
【函数的表示法】
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
【求函数解析式】
1、待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数，反比例等)，可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
4、方程组(消去)法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
【即学即练】已知，则函数_______，=_______．
【分段函数】
对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．
注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
(2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
【即学即练】已知函数，则_________．
【函数的图象】
1、函数图象的平移变换(左“+”右“-”；上“+”下“-”)
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
3、函数图象的翻折变换(绝对值变换)
①的图象的图象；
(口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方)
②的图象的图象.
【常考题型1-函数关系的判断】
【例1】若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是( )
A． B． C． D．
【例2】已知集合，，下列对应关系中，从到的函数为( )
A．f： B．f： C．f： D．f：
【例3】(多选)下列对应中是函数的是( )．
A．，其中，，
B．，其中，，
C．，其中y为不大于x的最大整数，，
D．，其中，，
【常考题型2-集合与区间的转化】
【例1】已知全集,集合,则( )
A． B． C． D．
【例2】若集合，，则( )
A． B． C． D．
【例3】全集，集合，集合，则( )
A． B． C． D．
【常考题型3-同一个函数】
【例1】下列各组函数表示相同函数的是( )
A．和 B．和
C．和 D．和
【例2】(多选)各组函数表示同一函数的是( )
A．， B．()，
C．， D．，
【例3】下列每组中的函数是同一个函数的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【常考题型4-求函数值】
【例1】若函数，则_________．
【例2】若，则＝______．
【例3】已知，．(这个考过很多次了)
(1)计算：____________；
(2)计算：____________．
【常考题型5-函数的定义域(具体函数的定义域)】
【例1】已知函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【例2】函数的定义域为______．
【常考题型6-函数的定义域(抽象函数的定义域)】
【例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【例2】(1)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【例3】若的定义域为，求的定义域．
【常考题型10函数的值域(常见函数的值域)】
【例1】函数，则的值域为( )
A． B． C． D．
【例2】函数的值域为( )(换元法)
A． B． C． D．
【例3】函数y的值域是(　　)(分离常数法)
A．(﹣∞，+∞) B．(﹣∞，)∪(，+∞) C．(﹣∞，)∪(，+∞) D．(﹣∞，)∪(，+∞)
【例4】求函数的值域______________．
【例5】函数的值域是___________.(分离常数法)
【常考题型11-求抽象函数的解析式(待定系数法)】
【例1】(多选)已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为( )
A． B． C． D．
【例2】若二次函数满足，且，则的表达式为( )
A． B． C． D．
【例3】若，且，则( )
A．3 B． C． D．
【常考题型12-求抽象函数的解析式(换元法)】
【例1】已知，则函数的解析式为( )
A． B． C． D．
【例2】已知，求.
【常考题型13-求抽象函数的解析式(配凑法)】
【例1】已知，则_______．
【例2】已知，则( )
A．6 B．3 C．11 D．10
【常考题型14-求抽象函数的解析式(方程组(消去)法】
【例1】已知函数的定义域为，对任意均满足：则函数解析式为( )
A． B． C． D．
【例2】已知，求的解析式
【例3】已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【常考题型15-分段函数(求分段函数的值、最值)】
【例1】已知函数，则______．
【例2】已知函数的最大值为的最小值为，则______．
【例3】设函数，存在最小值时，实数的值可能是( )
A． B． C．0 D．1
【例4】设，则不等式的解集是(　　)
A． B． C． D．
【例5】已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.
【常考题型16-函数图象(函数图象识别)】
【例1】函数的图象大致形状是( )
A． B． C． D．
【例2】已知函数，则函数的图像是( )
A． B． C． D．
【常考题型15-函数图象的移动】
【例1】(多选)下列函数图像经过变换后，过原点的是( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【例2】已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
【课后巩固】
1．已知函数，那么的值( )
A．3 B．5 C．7
2．函数的定义域是( )
A． B． C． D．或
3．(下列各函数中，与函数表示同一函数的是( )
A． B． C． D．
4．下表给出了x与和的对应关系，根据表格可知的值为( )
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
3 1 4 2 4 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A． B．
C． D．
6．若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1) D．[-4，1)
7．函数的值域为( )
A． B． C． D．
8．若函数定义域为，且，，则下列结果正确的是( )
A． B． C． D．
9．已知函数的定义域为A，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围.
10．已知函数．
(1)求，的值；(2)求证：的定值；
(3)求的值．函数的单调性与最值
【增函数与减函数】
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.(如图：图象从左到右是上升的)特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.(如图：图象从左到右是下降的)特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
【函数的单调性与单调区间】
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
【函数单调性的判断与证明】
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形(如通分，因式分解，配方，有理化等)；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或()，如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
【即学即练1】已知函数.判断函数在上的单调性，并证明；
【函数的最大(小)值】
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有；②，使得，那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有；②，使得，那么称是函数的最小值；
【复合函数的单调性(同增异减)】
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
：令：和
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
【即学即练2】当时，则函数的值域为( )
A． B． C． D．
【常考题型1-定义法判断或证明函数单调性】
【例1】下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )
A．若为增函数，为增函数，则为增函数
B．若为减函数，为减函数，则为减函数
C．若为增函数，为减函数，则为增函数
D．若为减函数，为增函数，则为减函数
【例2】已知函数，且，．
(1)求函数的解析式；
(2)根据定义证明函数在上单调递增．
【例3】求证：函数在区间上是增函数.
【例4】求证：函数在区间上是减函数．
【常考题型2-求函数单调区间】
【例1】)函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是( )
A． B． C． D．
【常考题型3-根据函数的单调性求参数】
【例1】若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______
【例2】已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为( )
A． B． C．0 D．1
【例3】“”是“函数在区间上为减函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【常考题型4-根据函数的单调性解不等式】
【例1】已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是( )
A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3)
【例2】已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例3】(抽象函数)已知定义在上的函数,满足,且当时,.
(1)讨论函数的单调性,并说明理由;
(2)若,解不等式.
【常考题型5-根据单调性(图象)求最值或值域】
【例1】函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数a，b，并确定函数的解析式；
(2)判断在(-1，1)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．(本小问不需要说明理由)
【例2】设对任意的有，且当时，.
(1)求证是上的减函数；
(2)若，求在上的最大值与最小值.
【常考题型6-根据函数的最值(值域)求参数】
【例1】设函数若存在最小值，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例2】已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若在区间上有最大值3，求实数的值.
【例3】已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数()的最大值与最小值之差为1，求实数的值
【常考题型7-二次函数最值问题(含参)】
【例1】已知函数的表达式，若，求函数的最值．
【例2】已知函数()的最小值为–1．
(1)求实数a的值；
(2)当，时，求函数的最小值．
【例3】已知函数．
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若，求时的最小值．
【常考题型8-函数不等式恒成立问题】
【例1】已知.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，解不等式.
【例2】已知函数，
(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；
(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.
【常考题型9-函数不等式有解问题】
【例1】已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【例2】已知函数在上的最大值为3，最小值为．
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围．
【例3】若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．
【课后巩固】
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是( )
A． B． C． D．
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．已知函数若，则的单调递增区间为( )
A． B． C． D．
4．已知函数的值域为，则a的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数，对于任意的恒成立，则实数
的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有 ＞0”的是( )
A．＝－ B．＝－3＋1
C．＝＋4＋3 D．＝－
8．己知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围．
9．利用定义证明函数在区间上为减函数.函数的奇偶性与对称性、周期性
【函数的奇偶性】
偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
【函数奇偶性的判断】
(1)先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
(2)求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
2.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
【即学即练1】下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )
A． B． C． D．
【奇函数，偶函数的性质】
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数的定义域为
(1)是偶函数的图象关于轴对称；
(2)是奇函数的图象关于原点对称；
(3)若是奇函数且，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
(1)是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
(2)是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
【即学即练2】设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为( )
A． B． C． D．
【对称性】
1、轴对称：
设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：
①； ② ③
2、点对称
设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：
①； ② ③
3、拓展：
①若，则关于对称；
②若，则关于对称；
【即学即练3】已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则( )
A．5 B．4 C．3 D．0
【常考题型1-函数奇偶性定义与判断】
【例1】下列函数中，是偶函数的是( )
A． B． C． D．
【例2】函数的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【例3】若函数满足
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，试判断的奇偶性，并证明.
【常考题型2-由奇偶性求解析式】
【例1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，( )
A． B． C． D．
【例2】函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数在的解析式；
(2)当时，若，求实数的值．
【例3】设函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)试判断函数的单调性，并用定义法证明.
【例4】已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)当时，求的值域.
【常考题型3-由奇偶性求参数】
【例1】已知是偶函数，则( )
A． B．1 C． D．2
【例2】设是定义在上的偶函数，则
A．0 B．2 C． D．
【常考题型4-由奇偶性解不等式】
【例1】已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例2】若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是( )
A． B． C． D．
【例3】已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【常考题型5-抽象函数的奇偶性】
【例1】若函数对任意，恒有成立，且．
(1)求证：是奇函数；
(2)求的值；
(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．
【例2】已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【例3】(多选)已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则( )
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【常考题型6-函数奇偶性的应用】
【例1】已知是定义域为的奇函数，时，，则( )
A．0 B． C． D．2
【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是( )
A． B． C．1 D．2
【例3】若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是( )
A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
【课后巩固】
1．)已知函数为奇函数，且当时，，则( )
A．1 B． C．2 D．
2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是( )
A． B． C．y=|x| D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12 B．12 C．9 D．－9
4．函数的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
5．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为( )
A． B．
C． D．
6．已知偶函数在上单调递增，则的解集是( )
A． B． C． D．
7．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
8．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则( )
A． B．
C． D．
9．已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
10．已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
11．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式：
(2)若方程有3个不同的解，求k的取值范围.
12．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)对于，成立，求实数m的取值范围.幂函数
【幂函数的概念】
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
【即学即练1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【幂函数的图象与性质】
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
【即学即练2】幂函数在上为减函数，则的值为______.
【常考题型1-求幂函数的值】
【例1】已知幂函数的图像过点，则的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
【常考题型2-根据函数是幂函数求参数】
【例1】若幂函数在区间上单调递增，则( )
A． B．3 C．或3 D．1或
【例2】已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
【例3】已知幂函数满足，则______.
【例4】已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.
【常考题型3-幂函数的图象的判断及应用】
【例1】已知幂函数(且与互质)的图像如图所示，则( )

A．、均为奇数且 B．为奇数，为偶数且
C．为奇数，为偶数且 D．为偶数，为奇数且
【例2】给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是( )


A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【例2】函数的图像大致为( )
A．B．C．D．
【常考题型4-幂函数过定点问题 0
【例1】函数恒过定点______．
【例2】)幂函数的图像一定经过第______象限指数运算和指数函数
【分式指数幂】
1、正数的正分数指数幂的意义是(，，)于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，(，，).
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
【即学即练】化简：= ．(用分数指数幂表示).
【即学即练计算.
【指数函数的概念】
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
(1)定义域为：
(2)规定是因为：
①若，则(恒等于1)没有研究价值；
②若，则时，(恒等于0)，而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
(3)函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
【即学即练】(多选)下列函数中，是指数函数的是( )
A． B． C． D．
【指数函数的图象与性质】
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性 质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
(1)当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
(2)当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
【常考题型1-指数化简计算】
【例1】化简求值:
(1)； (2)(，). (3)
【例2】用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数)：
(1)； (2).
【常考题型2-条件求值】
【例1】已知，下列各式中正确的个数是( )
①；②；③；④；
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】(1)已知，求的值.
(2)已知，则 ．
(3)已知，则 ．
【常考题型3-指数函数的判定与求值】
【例1】函数是指数函数，则的值为 ．
【例2】函数是指数函数，则有 .
【常考题型4-指数型函数图象过定点问题】
【例1】(多选)已知函数(且)的图像过定点，则( )．
A． B． C．为R上的增函数 D．的解集为
【例2】函数且恒过定点， ．
【例3】函数且的图象恒过定点，则点坐标为 ．
【常考题型4-画指数函数的图象】
【典例1】利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【例2】已知函数.
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域；
(2)若，求实数的取值范围.
【常考题型5-利用指数函数的单调性比较大小】
【例1】已知，则(　　)
A． B． C． D．
【例2】设，，，则( )
A． B． C． D．
【例3】设，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
【常考题型6-利用指数函数的单调性解不等式】
【例1】不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【例2】(2023·全国·高一假期作业)不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【常考题型7-指数型复合函数的单调性】
【例1】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例2】函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【例3】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【常考题型8-可化为一元二次函数型】
【例1】函数的值域为( )
A． B． C． D．
【例2】已知函数，，则其值域为 ．
【例3】已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若关于的方程有解，求的取值范围.
【常考题型9-与指数函数的相关的综合问题】
【例1】已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
【例2】已知是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并证明；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
【例3】已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
【课后巩固】
1．化简的结果为(　　)
A． B． C． D．
2．化简的结果为( )
A． B． C． D．
3．计算，结果是( )
4．已知，则的值是( )
A．15 B．12 C．16 D．25
5．( )
A． B． C． D．
6.给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
8．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．函数(，且)的图象可能是( ).
A． B． C． D．
10．已知函数是奇函数，则( )
A．0 B．1 C． D．
已知函数，则( )
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
函数的单调递增区间是 ．
13．已知函数的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
14函数是偶函数．
(1)试确定的值及此时的函数解析式；
(2)证明函数在区间上是减函数；
(3)当时，求函数的值域．对数运算
【对数概念】
一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
【即学即练1】已知对数式有意义，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【常用对数与自然对数】
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
【指数式与对数式的相互转化】当且，
【对数的性质】
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: (且)
【即学即练2】的值是 ．
【对数的运算性质】
当且，,
① ② ③()
④() ⑤()
【即学即练3】计算： .
【对数的换底公式】
换底公式：(且，，，且)特别的：
【即学即练4】的值是( )
A．1 B． C． D．2
【常考题型1-对数概念判断与求值】
【例1】在中，实数a的取值范围是
A． B． C．D．
【例2】计算： ； .
【例3】若，则x的值为 ．
【常考题型2-指数式与对数式相互转换】
【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
【例2】已知，则的值为 ．
【例3】已知，，计算=
【常考题型3-对数的运算】
【例1】下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
【例2】化简： ．
【例3】 . .
计算： . 计算：;
【常考题型4-对数运算性质的应用】
【例1】若且，则( )
A． B． C． D．
【例2】设，求证：.
【例3】已知，，若用、表示，则 ．
【常考题型5-换底公式的应用】
【例1】若，，用a，b表示
【例2】若，，则 ．
【常考题型6-对数方程求解】
【例1】方程的根为( )
A． B． C．或 D．或
【例2】已知正数，满足，则的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．4
【例3】，则 .
【常考题型7-有附加条件的对数求值问题】
【例1】已知，则正确的有( )
A． B． C． D．
【例2】(已知，，则的值为( )
A． B．3 C．4 D．8
【例3】已知，则的值为( )
A． B． C． D．
【常考题型8-对数的实际运用】
【例1】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了( )(参考数据：)
A．187% B．230% C．530% D．430%
【例2】音乐是由不同频率的声音组成的．若音1(do)的音阶频率为f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ．
【例3】地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的( )倍．
A．1000 B．100 C．2 D．
【课后巩固】
1．已知，那么( )
A．2 B． C． D．
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
3．已知，，则( )
A． B． C．25 D．5
4．已知函数，则( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．设，，，则( )
A． B．
C． D．
6．已知，，则的值为( )
A． B．3 C．4 D．8
7．化简： ．
计算(1) .
(2) .
9．求值：(1)；
(2)的值．
10．求下列各式中x的值．
(1) (2)
11.已知，，且，则ab的最小值为 ．对数函数的图像与性质
【对数函数的概念】
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
(1)形如；(2)底数满足；(3)真数是，而不是的函数；(4)定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】判断正误
(1)对数函数的定义域为R．( )
(2)与都不是对数函数．( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
【两种特殊的对数函数】
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
单调性 增函数 减函数
【即学即练2】函数的图象恒过定点( )
A． B． C． D．
【常考题型1-判断函数是否为对数函数】
【例1】(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有 ( )
A． B． C． D．
【例2】若函数为对数函数，则( )
A． B． C． D．
【例3】下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【常考题型2-求对数函数解析式】
【例1】(若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 .
【例2】已知函数(且)的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式.
【例3】已知函数(且)，且函数的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求实数m的取值范围．
【常考题型-对数(对数型复合函数)函数定义域 】
【例1】函数的定义域是( )．
A． B． C． D．
【例2】已知x满足式子，求x.
【常考题型4-对数函数(对数型复合函数)图象问题】
【例1】函数的图像是( )
A． B． C． D．
【例2】当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( )
A． B． C． D．
【例3】函数与的大致图像是( )
A．B．C． D．
【常考题型5-求对数函数(对数型复合函数)的值域】
【例1】已知函数，则的值域为( )
A． B． C． D．
【例2】函数f(x)＝的最大值为 .
【例3】已知函数过点．
(1)求解析式；
(2)若，求的值域．
【例4】已知，．
(1)设，，求的最大值与最小值；
(2)求的值域．
【常考题型6-根据对数函数(对数型复合函数)的值域求参数】
【例1】已知函数(，且)在上的值域为，则实数a的值是( )
A． B． C． D．
【例2】若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 .
【例3】若函数的值域为，则的取值范围是 ．
【常考题型7-对数函数(对数型复合函数)的单调性】
【例1】已知函数，则( )
A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数
C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数
【例2】函数的单调增区间为 .
【例3】已知函数，则的单调增区间为 .
【例4】已知是，上的减函数，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例5】若函数对任意都有，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例6】若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【常考题型8-比较大小问题】
【例1】设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【例2】，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
【例3】已知，则( )
A． B． C． D．
【例4】已知，，，则( )
A． B． C． D．
【例5】设，，，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【例6】设，，，则、、的大小顺序为( )
A． B． C． D．
【常考题型9-对数函数综合问题】
【例1】已知函数(，且)的图象过定点.
(1)求的坐标；
(2)若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围.
【例2】已知函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围．
【例3】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求在上的值域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【课后巩固】
1．函数(且)的图象恒过定点( )
A． B． C． D．
2．已知，，，则，，大小关系为( )
A． B． C． D．
3．函数的定义域为( )
A． B． C． D．
4．已知，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．(2023·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是( )
A． B． C． D．
6．函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
7．已知函数，则( )
A．图象关于直线对称 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．的最小值为
函数的最小值为 ．
9．已知函数且在区间上的最大值是2.
(1)求的值；
(2)若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.
10．(2023秋·陕西咸阳·高一统考期末)已知函数(且)在上的最大值为3.
(1)求的值；
(2)假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.

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