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二次根式的强化题型
【根据二次根式有意义的条件求取值范围】
1.若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
2.若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4
【利用二次根式有意义的条件求值】
1.若，则a+b的值为(　　)
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
2.已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．
3．(1)已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．
(2)已知x，y为实数，且，求的平方根．
【二次根式的正负性质】
1.下列各式中，正确的是(　　)
A． B．﹣ C． D．
2. 若+＝0，则x2023+y2024的值(　　)
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3.已知实数m，n满足+|n﹣2|＝0，则m+2n的值为(　　)
A．3 B．﹣3 C．0 D．1
【利用性质化简】
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是(　　)
A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c
2. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： 结果为(　　)
A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．0
3. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为(　　)
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【据性质求取值范围】
若，则x的取值范围是(　　)
x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
2. 已知＝1﹣2a，那么a的取值范围__________.
【最简二次根式的判断】
列二次根式中，是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有_____个
【分母有理化因式】
已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是(　　)
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式
【二次根式的化简】
1.将化成最简二次根式为(　　)
A． B． C． D．
2. 将化成最简二次根式是(　　)
A． B． C． D．
3. 若xy＜0，则化简后的结果是_____
4. 化简二次根式(x＜0)，得_____ 5. 化简的结果为____
6.化简二次根式得______ 7. 把(a﹣b)(a＜b)化成最简二次根式，正确的是_______
8.已知xy＞0，化简代数式结果正确的是_______
【根据同类二次根式的概念求值】
1.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是(　　)
A．a＝5 B．a＝3 C．a＝﹣5 D．a＝﹣3
2. 若最简二次根式2和是同类二次根式，则＝　　．
3.最简二次根式与是能够合并的二次根式，则x的值为(　　)
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【二次根式的混合运算】
1.计算：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
2.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【难度提高 - 二次根式的化简求值】
1.已知，求x2+y2．
2.已知，，求．
3．阅读下列材料，然后回答问题．
(1)化简：；
(2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
(3)计算：+++…++．
4.定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：①＝　2　；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中x的取值范围是 　 　，最大值是 　 　，最小值是 　 　；
(3)计算：
【难题训练-比较大小】
(1)与 (2)与 (3)与
(4)与 (5)与 (6)与
【根号中的根号化简】
1. 化简代数式的结果是____________
(1) (2) (3)
3. 当时，化简代数式，得__________________.
【一些看着很难实际简单的题目】
已知求的值.
已知求函数的最小值.
3.(1)已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ， .
(2)已知，则的倒数的算术平方根为 .
4.若满足关系式，试确定的值.
5.计算：(1) (2)
6. 已知非零实数、满足等式，求的值.
【课后练习，每天五题】
【一】
1．如果是二次根式，那么x应满足的条件是 　 　．
2．如果，那么xy的值是 　 　．
3．如果，那么x+y的平方根为 　 　．
4．要使式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
已知，，求下列各式的值：
(1)x2﹣y2； (2)x2+xy+y2．
【二】
1．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．若，则表示实数a的点会落在数轴的(　　)
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
4.已知a＝，b＝．求：(1)a2b﹣ab2的值；(2)a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．
5.已知x＝，y＝．(1)求x2+y2+xy的值；
(2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求(m+n)2021﹣ 的值．
【三】
1．如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，其中S2是S1，S3的平均数，则S2的值为　 　 ．
2．已知，则3x+y的值为 　 　 ．
3．我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※，计算2※8的结果为　 　 ．
4．若，则a的值为 　 　 ．
5.(1)计算：； (2)化简：．
【四】
如图的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之积为　
2.已知x=2-,y=2+.
(1)求x2+y2-3xy的值;
(2)若x的整数部分是m,y的小数部分是n,求5m2+(x-n)2-y的值.
3.2,5,m是某三角形三边的长,则等于_________
4.设a=,b=,则a2021b2022的值是_________
5.设，求使有意义的的取值范围.
【五】
1．计算：；
2．计算：
(1)()﹣1+(1﹣)0+|﹣2|； (2)÷﹣×+．
3．计算：
(1)； (2)；
4．计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
5．计算：
(1)﹣+； (2)|﹣1|+﹣；
(3)+×﹣|2﹣|； (4)﹣(+1)2﹣(+3)×(﹣3)．勾股定理的常见计算模型及技巧
【利用勾股定理求线段长度】
一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为(　　)
A．10 B．13 C．7 D．14
如图，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD是斜边的高，则CD＝(　　)
A．3 B．4.2 C．4.8 D．5
等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为(　　)
A．24 B．20 C．15 D．12
如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，则PA的长度为(　　)
A．3 B．4 C． D．
【利用勾股定理求面积】
以直角三角形的三边做相同的图形(等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆)，验证他们的面积关系。
1.如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是________.
2.如上中图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝　　．
3.如上右图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝(　　)
A．183 B．87 C．119 D．81
【利用欧勾股定理在数轴上表示无理数】
如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_______.
如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为_______.
【特殊直角三角形三边的比值】
①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性质以及勾股定理可得三边的比值为1：：2；
②等腰直角三角形(45°)：由等腰直角三角形两腰相等以及勾股定理可得三边的比值为1:1：。
1.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，则CD＝_______.
2.已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【利用勾股定理求两点之间的距离】
在平面直角坐标系中，若和，由勾股定理可得
1.在平面直角坐标系中，点P(3，1)到原点的距离是(　　)
A．1 B．3 C． D．
2.在平面直角坐标系中有两点A(3，0)和B(0，4)，则这两点之间的距离是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
3.已知点A(2，3)和点B(4，1)，在坐标轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为_______.
【判定直角三角形】
1.已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是(　　)
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a：b：c＝2：2：3 D．
2.若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2(m＞n＞0)
【勾股定理逆定理的应用】
若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(　　)
A．84 B．87.5 C．168 D．300
在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是___.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，试问：动点P的运动时间为多少时，△ABP为直角三角形．
如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．
(1)求证：△ACD是直角三角形；
(2)求四边形ABCD的面积．
【勾股数的证明】
1.(1)3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
2.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
(1)当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
(2)当n是大于1的奇数时，若，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．(用含n的式子表示)
【勾股定理的实际应用】
1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为_____.
2.如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7m．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的底部B在水平方向滑动了8m至D，那么梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了8m吗？
【勾股定理解决路径问题】
1．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为_____.
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是_____.
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为_____.
【勾股定理解决折叠问题】
1．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为_____.
2.如上右图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为_____.
3.如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为(15，9)，过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．
(1)请你直接写出点A的坐标；
(2)求FC，AE的长；
(3)求四边形EOFD的面积．
【勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题】
1．如图，点A是射线BC外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为_____秒时，△ABP为直角三角形．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝　 　时，△ABP为直角三角形．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t(t＞0)s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 　 　．
【课后练习】
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是(　　)
A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．以上都不对
2．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是(　　)
A．3 B．8 C．6 D．3或8
3．如果直角三角形的三边长分别是6、8、x，则x满足(　　)
A． B．x＝10
C．或 x＝10 D．x＝28
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，则点D到边AB的距离为 　．
5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 　．
【二】
1．点P(9，40)到坐标原点的距离是 　 　．
2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，M(﹣2，3)，连接AM，以点A为圆心，以AM长为半径画弧．交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　 　．
3．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 　 　．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　．
5．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为 　．
【三】
1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
(1)如果a＝5，b＝12，那么c＝　 ．
(2)如果c＝61，a＝60，那么b＝　 　．
(3)若∠A＝45°，a＝2，则c＝　 　．
2．如图，将长方形纸片ABCD的边沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，若AB＝5，AD＝13，则EF的长为 　．
3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
【四】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝　 　s时，△BPC为直角三角形．
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒．当t为 　 　时，△ACP是等腰三角形．
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．
(1)若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；
(2)若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．
【五】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20．
(1)试说明：CE＝CF；
(2)试着求出线段CE的长．
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(﹣4，4﹣5a)位于第二象限，点B(﹣4，﹣a﹣1)位于第三象限，且a为整数．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点C(m，0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
3．阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
(1)图1是由2个边长分别为a，b的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为 　 　；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，且a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，求直角三角形的斜边长c．平行四边形的性质和判定
【平行线的性质的理解判断】
关于平行四边形的性质，下列描述错误的是(　　)
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等
2. 平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是(　　)
A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD
【平行四边形的性质与角度的计算】
1.在 ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 　度．
2.如图，在 ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 　 　．
【平行四边形的性质与线段长度的计算】
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是_____.
2.如图， ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 　 　．
【平行四边形的面积】
观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是(　　)
A．它们形状相同，面积相等
B．它们形状相同，面积不相等
C．它们形状不相同，面积相等
D．它们形状不相同，面积不相等
图中，平行四边形的面积是30平方厘米，下列说法错误的是(　　)
A．S甲＝S乙+S丙 B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3
C．S甲＝15平方厘米 D．S丙＝6平方厘米
【平行四边形的周长】
如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为____.
如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 　 　．
如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是______.
【利用平行四边形的性质求坐标】
在平面直角坐标系xOy中， ABCD的对角线交于点O．若点A的坐标为(﹣2，3)，则点C的坐标为 　 　．
在直角坐标系中，以点O(0，0)，A(﹣2，﹣1)，B(0，2)为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是(　　)
A．(﹣2，1) B．(﹣2，﹣3) C．(3，3) D．(2，3)
【三角形的中位线】
如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是_______.
如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为_______.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　．
如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为 　 　．
【平行四边形的判定证明】
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE＝EF，连接AF、CF、DF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
如图，在平面直角坐标系中，A(0，20)，B在原点，C(26，0)，D(24，20)，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？并写出P、Q的坐标．
【利用矩形的性质求线段或周长】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为_______.
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为______.
如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是______.
如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为______.
【直角三角形斜边上的中线的性质的应用】
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝　 　．
如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是 　．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 　 　．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　 　．
如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
【菱形的判定】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．
如图，在 ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t＞0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为：　 ．
【课后练行四边形不一定具有的性质是(　　)
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是(　　)
A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB
3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是______.
4.在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为(　　)
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
在 ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB＝，线段CE的长为(　　)
A．2 B．3 C．﹣2 D．3
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为______cm．
在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是(　　)
A．(7，3) B．(8，2) C．(3，7) D．(5，3)
如图，在平面直角坐标系中， ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是(2，0)，(7，0)，∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为_______.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　 　．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是____.
在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为____.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．
如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
(1)如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
(2)如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 　 　；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 　 　．特殊平行四边形强化
【菱形的判定和性质综合】
1.如图,在四边形ABCD 中, ，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N。
(1)求证:四边形 BNDM是菱形;
(2)若菱形 BNDM的周长为52, ,求菱形 BNDM的面积。
【矩形的判定和性质综合】
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中A AC=2OB,E为CD 上一点,连接AE,OE,AE平分. 且 求∠DOE的度数。
2.如图，在中， ，P为BC 边上一动点， 垂足为点G，垂足为点 H。
(1)求证:四边形 AGPH 是矩形;
(2)在点 P的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
【特殊四边形的综合问题】
1.如图，已知菱形ABCD，点 E，F是对角线BD 所在直线上的两点，且 ,连接CE,AF,CF,得到四边形AECF。
(1)求证:四边形AECF 是正方形;
(2)若 求菱形ABCD的面积。
2.菱形ABCD的对角线AC 与BD 交于点O, 垂足为点E，交AC于点 P, 垂足为点 F。
(1)判断四边形DEBF 的形状，并写出证明过程；
(2)若 ,求 DP 的长。
3.如图,在矩形ABCD中,E 是BC 边一点,DE平分交AD 边于点F,连接BD。
(1)求证:四边形FECD 是正方形;
(2)若 求BD的长。
【正方形与旋转】
1.如图,在正方形ABCD 中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠EBC=30°,求∠EFD的度数。
2.四边形ABCD是正方形,E是DC 上的点,F是CB 延长线上的点,△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF。若BC=8,DE=6,求△AEF 的面积。
3.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线BD(不含B,D点)上任意一点,将线段 BM绕点B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接EN,AM,CM。求证:AM=EN。
【特殊四边形的折叠】
1.如图，把一张长方形的纸ABCD 沿EF 折叠，重合部分是 是等腰三角形吗 为什么
2.如图,在矩形ABCD中, 。如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积。
3.如图,在正方形ABCD 中,E为AB 的中点,连接CE,将 沿CE 对折，得到 ，延长EG交CD的延长线于点H。
(1)求证: 是等腰三角形；
(2)若 求 HD的长度。
【中点四边形】
1.如图，点E为AB 上一点，以AE，BE为边在AB 同侧作等边三角形AED 和等边三角形BEC,点P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点。
(1)判断四边形 PNMQ 的形状，并证明；
(2)求 的度数。
2.如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点。
(1)求证:MN 与PQ 互相垂直平分;
(2)连接MP,MQ,NP,NQ,若. ，求四边形MPNQ的面积和AB 的长。
【特殊四边形中的动态问题】
1.如图,在矩形ABCD 中, 点P 从点 D 出发向点A 运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B 出发向点C 运动，运动到点 C 即停止，点 P,Q的速度都是 1 cm/s。连接PQ,AQ,CP,设点 P,Q运动的时间为 ts 。
(1)当t为何值时，四边形ABQP 是矩形
(2)当t为何值时，四边形AQCP 是菱形
2.如图1,两个不全等的正方形ABCD、正方形CGFE,连接BG,DE,交DC 于H,交CG于K。
(1)观察图形，①猜想BG与DE 之间的长度关系；②猜想BG 与DE 所在直线的位置关系，并证明你的猜想。
直接回答：连接四边形DBEG 四边的中点所得四边形是 形；
(2)如图2,将原题中正方形改为菱形,且∠BCD=∠ECG,则(1)中的①,②的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
直接回答：连接四边形DBEG 四边的中点所得四边形是 形；
(3)(选做)如图3，将原题中正方形改为矩形，且. 则(1)中的①，②结论是否成立 不要求证明。
直接回答：连接四边形DBEG 四边的中点所得四边形是 形。
【特殊四边形与坐标系】
1.如图，在平面直角坐标系中，矩形COED位置如图，已知点 D的坐标是(1，3)，求CE的长。
2.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC， ，过点 D(0，6)作y轴的垂线交OA 于点E，点 B恰在这条直线上。
(1)求点 B 的坐标;
(2)求 的面积。
3.如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点 B在第三象限。
(1)求点 B的坐标;
(2)如图，若过点 B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点 P，且将长方形OABC的面积分为1: 4 两部分,求点 P 的坐标。
【课后巩固】
1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， ,菱形ABCD的周长为24。
(1)求对角线 BD的长;
(2)求菱形ABCD 的面积。
2.如图,在菱形ABCD中, ，垂足为点 E，垂足为点 F。
(1)求证:
(2)分别延长BE和AD 交于点G,若 ,求 DG 的值。
3.如图,在四边形 ABCD 中, 对角线AC,BD交于点O，DE平分 交BC于点E,连接OE。
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求 的面积。
4.如图，已知平行四边形，延长AD到点C，使 ,连接BC,CE,BC交DE 于点 F,若
(1)求证:四边形 BECD是矩形;
(2)连接AE,若 求AE的长。
5.在四边形ABCD中, ,连接BD,过点 C作BD的垂线交AB 于点E,连接DE。
(1)如图1,若 求证：DB平分
(2)如图2,连接AC,设BD, AC相交于点F,DE垂直平分线段AC。
(i)求 的大小；
(ii)若 求证：
6.如图,点 E是正方形ABCD 对角线AC 上一点,I ，垂足分别为点 F,G,若正方形ABCD的周长是40 cm。
(1)求证:四边形 BFEG 是矩形;
(2)求四边形EFBG的周长;
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形
7.如图,点E为正方形ABCD 内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B 按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F,连接DE。
(1)试判断四边形BE'FE 的形状，并说明理由；
(2)若AB=10,CF=2,求DE的长。
8.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片。把纸片 ABCD 折叠，使点 B恰好落在CD 边上，折痕为AF，且
(1)求证: 是矩形；
(2)求BF的长;
(3)求折痕AF的长。
9.如图,在矩形ABCD 中, E 为CD边上一点， 点 P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边 BA 向终点A 运动，连接PE。设点 P 运动的时间为t s。
(1)求AE的长;
(2)当t为何值时， 为直角三角形
10.如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为(3,0),(0,5),点B在第一象限内。
(1)写出点 B的坐标；
(2)若过点C的直线CD交AB 边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，求点 D的坐标；
(3)若过点C的直线CE交AB 边于点E，且把长方形OABC的面积分为2：1两部分，求点 E的坐标。正比例和一次函数的意义和实际应用
【变量与函数的定义】
1．在圆锥体积公式中(其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高)，常量与变量分别是(　　)
A．常量是，变量是V，h B．常量是，变量是h，r
C．常量是，变量是V，h，r D．常量是，变量是V，h，π，r
2．下列关系式中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣2x D．|y|＝x
3．油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是(　　)
A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40
4．某市的出租车收费标准如下：3千米以内(包括3千米)收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为x(x＞3)千米，则需付费用y元与x(千米)之间的关系式是(　　)
A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3
5．函数y＝+中，自变量x的取值范围是(　　)
A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9
6．变量y与x之间的关系是y＝﹣2x+3，当自变量x＝6时，因变量y的值是(　　)
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣15
7．若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 　．
8．一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是S cm2．设矩形的宽为x cm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是 　 　．
9．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)y＝2x﹣1； (2)； (3)．
10．周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是S cm2．
(1)请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
(2)当x＝6时，求S的值．
11．电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为n．
(1)小亮家上月用电多少千瓦时？
(2)如果每千瓦时的电费为0.52元，全月的电费为y(元)，那么上月小亮家应缴费电费是多少？
(3)在问题(2)中，哪些量是常量？哪些量是变量？y是哪个变量的函数？
12．“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的)．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式；
(2)当x＝120千米时，求剩余油量Q的值；
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【正比例函数的图像】
1．正比例函数y＝﹣3x的图象经过(　　)象限．
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
2．下列函数(其中x是自变量)中，一定是正比例函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝﹣3x+2 D．y＝kx
3．点A(1，m)在函数y＝2x的图象上，则m的值是(　　)
A．1 B．2 C． D．0
4．已知函数y＝(m+1)x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是(　　)
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣
5．已知函数y＝kx(k≠0，k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是(　　)
A．(0.5，1) B．(2，1) C．(﹣2，4) D．(﹣2，﹣2)
6．若函数y＝(k+2)x+k2﹣4是正比例函数，则k的值为(　　)
A．0 B．2 C．±2 D．﹣2
7．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为(　　)
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3
8．已知点P(m，0)在x轴负半轴上，则函数y＝mx的图象经过(　　)
A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限
9．已知y＝(2m﹣1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为(　　)
A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x
10．若函数y＝kx的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是(　　)
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
11．如果函数y＝(m+2)x|m|﹣1是正比例函数，则m的值是　 　．
12．函数(m为常数)中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是 　 　．
13．已知y与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4，则当x＝2时，y的值是 　 　．
14．已知正比例函数y＝(m+1)x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　 　．
15．在同一坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是　 　．
16．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3．
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标．
17．已知：函数y＝(b+2)x且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a﹣b+c的平方根．
18．已知y关于x的函数y＝(2m+6)x+m﹣3，且该函数是正比例函数．
(1)求m的值；
(2)若点(a，y1)，(a+1，y2)在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系．
19．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(a，﹣3)在这个函数的图象上，求a的值；
(3)若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
20．已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x＝﹣5时，求y的值；
(3)当y＞0时，求x的取值范围．
【一次函数】
1．给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3(x+1)；④y＝2x2+1；⑤y＝+2；⑥y＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．一次函数y＝(m﹣2)xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为(　　)
A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1
3．已知一次函数y＝kx+5的图象经过M(﹣1，2)，则k的值是(　　)
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
4．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是(　　)
A．它的图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大
C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为(，0)
5．已知一次函数y＝kx+k，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过第(　　)象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
6．若一次函数y＝kx+1在﹣2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是(　　)
A．k的值为2或﹣2 B．y的值随x的增大而减小
C．k的值为1或﹣1 D．在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为3
7．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点．若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
8．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
9．若一次函数y＝(2k+1)x+k﹣3的图象不经过第二象限，则k的值可以是(　　)
A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4
10．已知关于x的多项式x2+kx+1是一个完全平方式，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝(k﹣1)x+5的图象一定经过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
11．已知函数y＝(m﹣2)x|m﹣1|+2是关于x的一次函数，则m＝　 　
12．若点P(a，b)在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则代数式6a﹣2b+8的值等于 　 　．
13．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝(3﹣2m)x+1的图象上两点，且(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，则m的取值范围为 　 　．
14．若关于x的不等式组有且只有两个整数解，关于m的一次函数y＝m+a﹣18的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
15．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为OA的中点，点P为y轴上一动点，当PC+PD的值最小时，则△PCD的周长是 　 　．
16．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3．
(1)若函数图象与y轴交于点(0，﹣2)，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
17．已知一次函数y＝(2a﹣4)x+(3﹣b)(a，b是常数)．
(1)若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值；
(2)若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围．
18．已知直线y＝2x+4与坐标轴分别交于点A、B，点C在x轴上，且S△ABC＝6．
(1)画出函数y＝2x+4的图象；
(2)求A、B、C点的坐标．
19．用“列表﹣描点﹣连线”的方法画出函数y＝2x+1的图象
(1)列表：下表是y与x的几组对应值，请补充完整．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 　 　 　 3 　 …
(2)描点连线：在平面直角坐标系xOy中，将各点进行描点、连线，画出函数y＝2x+1的图象；
(3)写出函数y＝2x+1的图象的两条特征．
20．如图点P(x，y)是第一象限内一个动点，且在直线y＝﹣2x+8上，直线与x轴交于点A．
(1)当点P的横坐标为3时，△APO的面积为多少？
(2)设△APO面积为S，用含x的解析式表示S，并写出x的取值范围．四边形的动点与最值
【平行四边形中的动点问题】
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　 　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？
2．如图，在 ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
(1)试说明：BF＝DE；
(2)试说明：△ABE≌△CDF；
(3)如果在 ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．(画出示意图)
【矩形中的动点问题】
1．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t(s)．下列说法错误的是(　　)
A．点P运动路程为2tcm
B．CQ＝(16﹣4t)cm
C．当时，PB＝BQ
D．运动中，点P可以追上点Q
2．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(﹣5，4)，点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 　 　．
3．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．
(1)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
(2)若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．
【菱形中动点问题】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为_______.
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为_______.
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为_______.
【正方形中动点问题】
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　．
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 　 　；连接CP，线段CP的最小值为 　 　．
3．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为_______.
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．
(1)连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；
(2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【四边形的最值问题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是_______.
2．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 　 　．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 　 　．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为_______.
5．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是_______.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．
7．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．正比例函数与一次函数基础
1. 一次函数 y＝－2x+2 经过点(a，2)则 a 的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2. 下列函数(其中x是自变量)中，是正比例函数的是( )
A．y= B．y=( )x C．y=x+1 D．y=
3. 正比例函数的自变量取值增加1，函数值就相应地减少4，则的值为( )
A．4 B．
C． D．
4. 下列关系中，属于成正比例函数关系的是( )
A．正方形的面积与边长 B．三角形的周长与边长
C．圆的面积与它的半径 D．速度一定时，路程与时间
5. 下列函数式中，一定属于正比例函数关系的是( )
A．圆的面积S与它的半径R B．正方形的周长C与边长a
C．等腰三角形顶点度数y与底角度数x D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t
6. 已知一次函数，当时，的值是( )
A．2 B．-2 C．1 D．0
7. 已知y与x的函数关系式为：，当x每增加1时，y增加( )
A．1 B． C．3 D．
8. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则( )
A． B． C． D．
9. 函数是正比例函数，则，应满足的条件是( )
A．，且 B．，且 C．，且 D．，且
已知函数y=(k-1)x|k|是正比例函数，则k=_______
11. 函数是y关于x的一次函数，则m=______．
12. 在直线 上到x轴的距离等于3的点的坐标是___________．
13.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得到关于x的方程kx+b＝5的解是_____．
14. 已知正比例函数，当时，．求比例系数k的值．
15. 已知是关于的函数：.
(1)当，为何值时，是一次函数；
(2)当，为何值时，是正比例函数.
【实际应用】
1．某爱心企业计划购进甲，乙两种呼吸机赠予当地医院．若购进甲种3台，乙种2台，则共需18000元；若购进甲种2台，乙种1台．则共需11000元．
(1)求甲，乙两种呼吸机每台成本分别为多少元？
(2)该公司决定购进甲，乙两种呼吸机共60台，且购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少？
2．为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多5元，小丽从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元．
(1)求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？
(2)根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲口罩每袋的进价为22.2元，乙口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋？最大获利多少？
3．某校举行运动会准备给运动员发放奖品．某种文具甲商场为40元/件；乙商场一次购买不超过10件，单价为50元/件，一次性购买超过10件时，其中有10件的价格仍为50元/件，超出10件部分的单价为30元/件．设准备买件文具(为非负整数)．
(1)根据题意填表：
一次购买数量/件 6 10 30 …
甲商场费用/元 400 …
乙商场费用/元 500 …
(2)设去甲商场购买费用为元，去乙商场购买费用为元，分别求，关于的函数解析式；
(3)根据题意填空：
①若在甲商场和在乙商场购买的数量相同，且费用相同，则在同一个商场一次购买的数量为______件；
②若在同一个商场一次购买15件，则在甲、乙两个商场中的______商场购买花费少：
③若在同一个商场一次购买花费了1400元，则在甲、乙两个商场中的______商场购买的数量多．
4．小明和爸爸周末骑自行车去大基山，如图所示的图象是小明和爸爸从9时到15时离家距离与时间之间的关系．
(1)在上述变化过程中，_________是自变量，_________是因变量．
(2)小明和爸爸_________时到达大基山．
(3)求小明和爸爸从9时到10时的速度．
(4)求小明和爸爸从9时到11时的平均速度．
(5)小明和爸爸在途中休息了一段时间后，以10千米/小时速度到达大基山，求小明和爸爸他们途中休息的时间．
(6)请计算：在返回途中，小明和爸爸何时离家还有10千米？
5．小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计)．如图是他们离家的距离s(单位：km)与小南离家的时间t(单位：h)之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：
(1)小南家到该度假村的距离是________km；
(2)小南出发________h后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为________km/h，图中点A表示________________；
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是________km．
6．周末，小明和爸爸从家出发去青龙湖公园露营，早上9：00小明徒步先行出发，爸爸带上露营物资骑自行车后出发，到达露营地扎营．行进过程中爸爸和小明行驶速度均保持不变，两人离家的距离与时间如图所示．请根据图象回答问题：
(1)爸爸比小明晚出发_____min：小明徒步的速度是_____km/min﹔爸爸骑自行车的速度是____km/min；
(2)爸爸比小明早多久到达营地
7．为增强学生体质，某学校决定购买一些篮球和足球来促售学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，并且花费6000元购买篮球的数量与花费4000元购买足球的数量相同．
(1)求篮球和足球的售价分别是多少元？
(2)根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，且篮球的个数不少于足球个数的3倍，求购买多少个足球时花费最少？
8．我国水资源严重短缺，特别是西北地区，为了节约用水，某地区规定：每户每月用水量不超过7吨，按每吨a元收费；每户每月用水量超过7吨，其中7吨，按每吨a元收费，超过7吨的部分，按每吨b元收费(b＞a)．设某户月用水量x(吨)，应交水费y(元)，y与x的关系如图所示，根据图象解决下列问题：
(1)求a和b的值．
(2)该地区小宇家2月份用水14吨，应交水费多少元？
(3)小宇家3月份应交水费24.9元，这个月用水多少吨？
(4)当x＞7时，求y与x的关系式．一次函数的图像综合
1. 一次函数的图象与性质
表达式 y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数)
图象 (草图) k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
①画出草图 ②画出草图
经过的 象限 一、二、三 一、三 ③ ④ 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而⑤ y随x的增大而⑥
与坐标轴 的交点 与x轴的交点坐标为⑦　　　　(即令y＝0)，与y轴的交点坐标为⑧　　　(即令x＝0)
2. 一次函数表达式的确定
(1)方法：待定系数法
(2)步骤：①先设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
②将图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程组；
③解方程组可得k，b的值；
④将k，b代入所设解析式
3. 一次函数图象的平移
平移前的 解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式 规律
y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位 y＝k(x＋m)＋b x左加右减
向右平移m个单位 y＝k(x－m)＋b
向上平移m个单位 y＝kx＋b＋m 等号右边整 体上加下减
向下平移m个单位 y＝kx＋b－m
【热身训练】
若关于x的函数是一次函数，则m的值为______
A． B． C．1 D．2
已知函数y=(m+1)x2-|m|+n+4．
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【对y随x的增大而增大(或减小)的理解】
在一次函数y=(2-k)x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为___．
已知一次函数y＝kx＋b随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A． B． C． D．
已知正比例函数，随的增大而减小，那么一次函数的图象大致是如图中的(　　)．
A． B． C． D．
已知一次函数，当时，y的最大值是________．
若m﹣2，则一次函数的图象可能是(　　)
A． B．C． D．
6.当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．
【比较大小】
在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x 1的图象经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1_____y2(填“＞”，“＜”或“=”)
在一次函数的图象上任取不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的正负情况是(　　)
A． B． C． D．
【一次函数的平移】
把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A． B． C． D．
已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是(　　)
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(1，0)
C．与y轴交于(0，1) D．y随x的增大而减小
【待定系数法】
若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝-x+1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为(　　)
A．y＝-x-2 B．y＝-x-6 C．y＝-x-1 D．y＝-x+10
已知一次函数y＝kx＋b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是－2≤y≤4，则k的值为(　 　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．不确定
【与坐标轴的交点】
直线与轴交点坐标为_____________．
一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 _____.
【综合应用】
已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【能力提升练】
1．直线y＝－x＋1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是________．
2．将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为____．
3．若点M(k﹣1，k+1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=(k﹣1)x+k的图象不经过第________象限．
4．已知一次函数.
(1)满足何条件时，y随x的增大而减小；
(2)满足何条件时，图像经过第一、二、四象限；
(3)满足何条件时，它的图像与y轴的交点在x轴的上方.
5．已知函数.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数的图象与平行，求.
6．在直角坐标系中，一条直线经过A(﹣1，5)，P(2，a)，B(3，﹣3).
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求a的值；
(3)求△AOP的面积.
7．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为OA的中点，点P为y轴上一动点，当PC+PD的值最小时，则△PCD的周长是 　 　．
8．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3．
(1)若函数图象与y轴交于点(0，﹣2)，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
9．已知一次函数y＝(2a﹣4)x+(3﹣b)(a，b是常数)．
(1)若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值；
(2)若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围．
10．如图点P(x，y)是第一象限内一个动点，且在直线y＝﹣2x+8上，直线与x轴交于点A．
(1)当点P的横坐标为3时，△APO的面积为多少？
(2)设△APO面积为S，用含x的解析式表示S，并写出x的取值范围．
【课后练习】
1．给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3(x+1)；④y＝2x2+1；⑤y＝+2；⑥y＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．一次函数y＝(m﹣2)xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为(　　)
A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1
3．已知一次函数y＝kx+5的图象经过M(﹣1，2)，则k的值是(　　)
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
4．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是(　　)
A．它的图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大
C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为(，0)
5．已知一次函数y＝kx+k，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过第(　　)象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
6．若一次函数y＝kx+1在﹣2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是(　　)
A．k的值为2或﹣2 B．y的值随x的增大而减小
C．k的值为1或﹣1 D．在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为3
7．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝﹣x+3图象上的两点．若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
8．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
9．若一次函数y＝(2k+1)x+k﹣3的图象不经过第二象限，则k的值可以是(　　)
A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4
10．已知关于x的多项式x2+kx+1是一个完全平方式，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝(k﹣1)x+5的图象一定经过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
11．已知函数y＝(m﹣2)x|m﹣1|+2是关于x的一次函数，则m＝　 　
12．若点P(a，b)在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则代数式6a﹣2b+8的值等于 　 　．
13．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝(3﹣2m)x+1的图象上两点，且(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，则m的取值范围为 　 　．
14．若关于x的不等式组有且只有两个整数解，关于m的一次函数y＝m+a﹣18的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
15．在同一坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是　 　．
16．已知：函数y＝(b+2)x且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a﹣b+c的平方根．
17．已知y关于x的函数y＝(2m+6)x+m﹣3，且该函数是正比例函数．
(1)求m的值；
(2)若点(a，y1)，(a+1，y2)在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系．
18．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(a，﹣3)在这个函数的图象上，求a的值；
(3)若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．一次函数的实际应用
【简单复习】
1．如图，在平面直角坐标系中，有点和，在轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是_________.
2．直线与坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，如果为等腰三角形，则满足条件的点最多有( )个．
A． B． C． D．
3．对于题目“在平面直角坐标系中的位置如图所示，点若直线与有交点，求的取值范围．”甲的结果是，乙的结果是，则(　　)
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
4．如图，已知一次函数y＝kx-3图像经过点M(-2，1)，且与x轴交于点A，与y轴交于点B
(1)求k的值．
(2)求A、B两点的坐标；
(3)求△MOB的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线上求一点，使，求点坐标．
【实际应用-文字型】
1. 李叔叔承包了一片土地种植某种经济作物，为了提高产量，通常会采用喷施药物的方法控制其高度. 已知该种经济作物的平均高度y(m)与每公顷所喷施药物的质量x(kg)之间的关系近似地满足一次函数关系．已知当每公顷喷施药物5 kg时，该种经济作物的平均高度为1.8 m，当每公顷喷施药物10 kg时，该种经济作物的平均高度为0.6 m.
(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)根据李叔叔的经验，该种经济作物平均高度在1.5 m左右时，它的产量最高，此时每公顷应喷施多少药物？
2. 某校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台．
(1)求甲、乙两种书柜的进价；
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少．
【实际应用-表格型】
1. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)，但部分国家的天气预报仍使用华氏温度(°F)，两种计量有如下的对应：
摄氏温度/℃ 10 20 30 40
华氏温度/°F 50 68 86 104
(1)小明通过观察上表发现，华氏温度与对应的摄氏温度成一次函数关系，设摄氏温度为x ℃，与之对应的华氏温度为y°F，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)当华氏温度在131°F～167°F之间时(包含131，167)，请求出相对应的摄氏温度的范围．
2. 如图是一种单肩包，小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和)加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm.经测量，得到下表中数据.
双层部分长度x(cm) 2 8 14 20
单层部分长度y(cm) 148 136 124 112
(1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130 cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
(3)设背带的长度为L cm，求L的取值范围．
3. 为某大学设立“爱心扶贫专柜”，在贫困地区直接采购农副产品，实现农副产品直采直销．该专柜负责人欲查询两种商品的进货数量，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨对采购情况回忆如下：两种商品共采购了100件，花费的总金额为4300元．
(1)求富硒茶和黄丝菌的进货数量分别为多少？
(2)由于市场火爆，该专柜负责人计划再次安排采购这两种商品共100件，在进价不变的情况下，假设富硒茶的进货数量为x(件)，所花费的总金额为y(元)，求出y与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若李阿姨用不超过5000元采购这两种商品，求李阿姨最多购买富硒茶多少件？
【实际应用 -图象型】
1.为提升校园活动多样性，助力师生“阳光运动”，某校打算采购一批排球和足球，小华从体育用品店得知，每个排球的价格为50元，购买足球所需的费用y(元)与购买数量x(个)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若计划购买足球和排球30个，且排球的数量是足球数量的2倍，求此次购买足球和排球的总费用．
2. 某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地， 1小时后， 这家公司的一辆货车B从甲地出发运送货物至乙地. 货车A、货车B距甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的关系如图所示 .
(1)求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
(2)求货车B到达乙地后，货车A还需多长时间到达甲地 .
第3题图
【强化训练】
1．如图，l1反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，l2反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)当销售量为多少时该品牌汽车销售收入等于销售成本？
(2)分别求出l1与l2所对应的函数表达式；
(3)当销售量为20辆时，该品牌汽车所获利润为多少(利润＝销售收入﹣销售成本)？
2．学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，某校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同：三个水管同时打开时，饮水机的存水量(升)与放水时间(分)的关系如表所示．
放水时间(分) 0 3 8 …
直饮水机的存水量(升) 25 17.5 5 …
(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为　 　L；
(2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y(L)与放水时间x(min)的函数关系如图所示．
①求饮水机中的存水量y(L)与放水时间x(min)(x≥3)的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前30个同学接完水共需多少时间？
3．如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离y(km)与所用时间t(h)的函数图象如图②所示，其中，点C在线段AB上．
(1)部队和基地相距 　　km，客车到达仓库前的速度为 　　km/h．
(2)求校车离部队的距离y与t的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间．
(3)为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？
4．A品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱．开心超市每天购进一批成本价为每千克4元的A品牌大米，以不低于成本价且不超过每千克8元的价格销售．当每千克售价为6元时，每天售出该大米900kg；当每千克售价为7元时，每天售出该大米850kg．通过分析销售数据发现：每天销售A品牌大米的质量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)当每千克售价定为多少元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完)，问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【课后练习】
1．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，已知汽车的速度为60km/h，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C．
(1)求摩托车到达城市C所用的时间；
(2)求摩托车离A地的路程y(km)关于时间x(h)的函数表达式；
(3)当x为何值时，摩托车和汽车相距30km．
3．【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y(cm)与对应的椅子高度(不含靠背)x(cm)符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y/cm 68.0 74.0 78.0
根据阅读材料，完成下列各题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
(3)小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
4．疫情放开之后，商场为刺激消费推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠．
(1)以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
(2)若某人计划在商场购买价格为7000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
5．5G时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：
进价(元/部) 售价(元/部)
A 3000 3400
B 3500 4000
(1)若该营业厅卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利　 　 元；
(2)若该营业厅再次购进A、B两种型号手机共100部，且全部卖完，设购进A型手机x台，总获利为W元．
①求出W与x的函数表达式；
②若该营业厅用于购买这两种型号的手机的资金不超过330000元，求最大利润W是多少？
6．为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
A型 B型
价格(万元/辆) a b
年载客量(万人/年) 60 100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
7．2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y(元)与购进本数x(本)之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．
(1)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(2)①若只购买80本甲种图书，则需费用　　 元；
②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？
8．2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．
(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？一次函数的几何综合
【动点垂线段最短】
如图，已知点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，试求点B的坐标。若B在y=-2x+1上运动呢？
【一次函数与图形的平移】
如图1，直线l1：y＝2x+3与x轴交于点B，直线l2与x轴交于点，l1、l2交于y轴上一点A．
(1)特征探究：求直线l2的表达式；
(2)坐标探究：过x轴上一点D(﹣3，0)，作DE⊥AC于点E，交y轴于点F，求E点坐标；
(3)规律探究；将△ABC将向左平移m个单位长度得到图2，AC与y轴交于点P(点P不与A点和C点重合)，在AB的延长线上取一点Q，使BQ＝CP，连接PQ交x轴于M点．请探究△ABC向左平移的过程中，线段MO的长度的变化情况？
2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象l1与y轴交于点A(0，2)，与x轴交于点B(﹣，0)，与一次函数y＝x﹣3的图象l2交于点E．
(1)求l1的函数表达式；
(2)直线l2与y轴交于点C，求△AEC的面积；
(3)如图，已知长方形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M(a，1)，矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且点C(4，0)．
(1)求直线BC的解析式；
(2)将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于AB于点D，交x轴于点E，并且D的横坐标为﹣，请求出△ADE的面积；
(3)点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围)．
【一次函数与图形的对称】
1．已知一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象过点(0，2)．
(1)若函数图象还经过点(﹣1，﹣4)，求这个函数的表达式；
(2)若点M(2m，m+3)关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值．
【等腰三角形】
1．如图，直线l：y＝3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO．
(1)点A坐标是　 　，点B的坐标　 　，BC＝　 　．
(2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．
(3)当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(﹣4，3)，连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，将点B向左平移5个单位长度至点C，连结BC．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，求直线CD的函数表达式；
(3)现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，△BCP为等腰三角形．
3．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A(8、0)、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3
(1)求点B的坐标为　 　；
(2)求直线BC的解析式；
(3)动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．
【一次函数与四边形】
1．如图1，直线y1＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线y2＝kx+2(k＞0)交于点C，直线y2与y轴交于点G．平移线段BC，点B，C的对应点D，E分别在直线y2和y轴上，连结CE．
(1)若C点横坐标为4，求k的值；
(2)若∠DEC＝90°，求点C的坐标；
(3)如图2，作点E关于直线CD的对称点F，连接FB，FC，是否存在四边形CFBG是平行四边形的情况，若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，以AB为直角边，∠B为直角作等腰直角三角形ABC(点C在第一象限)．
(1)求点A，B，C坐标；
(2)点D为第一象限内一点，当A，B，C，D四点围成的四边形为正方形时，求点D坐标；
(3)点P为x轴上一动点，点Q为线段AC上一动点，是否存在四边形BPAQ为平行四边形？若存在，求出P，Q点的坐标，若不存在，说明理由．
3．如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8，4)，将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．
(1)求证：△CDE≌△ABE；
(2)求E点坐标；
(3)如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′(边A′C′始终在直线AC上)，是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(1，3)，点P的坐标是(0，b)(b≠0)．直线AP交x轴于点B，记点P关于x轴的对称点为P′，点Q为x轴上一动点．
(1)当b＝1时，求OB的长；
(2)当0＜b＜3时，用含b的代数式表示OB的长；
(3)是否存在四边形PBP′Q，使四边形PBP′Q为正方形？若存在，请求出所有满足条件的b和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【课后练习】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点(﹣1，2)，交x轴于点A(﹣2，0)，交y轴于点B，直线n与直线m交于点P，与x轴、y轴分别交于点C、D(0，﹣2)，连接BC，已知点P的横坐标为﹣4．
(1)求直线m的函数表达式和点P的坐标；
(2)求证：△BOC是等腰直角三角形；
(3)直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为(﹣5，﹣1)、(﹣3，﹣4)、(﹣1，﹣3)．
(1)S△ABC＝　 　；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(3)已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　 　．
(4)若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　 　．
3．如图，直线AB：y=-x+n分别与x，y轴交于A(6，0)、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)直线：交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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