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2025-2026学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷（样卷）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知{an}是等差数列，a1=1，a3+4=a5，则a4=（　　）
A. 13 B. 9 C. 7 D. -5
2.已知f'（x）是函数f（x）=xcosx的导函数，则=（　　）
A. B. C. -1 D. 1
3.从-2，-1，0，1，2，3中任取两个不同的数，组成有序数对（x,y）.在平面直角坐标系中，以（x,y）为坐标的点位于第一象限的个数为（　　）
A. 15 B. 10 C. 6 D. 3
4.已知{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若a4=8a1，S5=a6-1，则a2=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
5.已知函数f（x）的定义域为区间（a,b），其导函数f′（x）的图象如图所示，f′（x）的3个零点分别是x1，x2，x3.下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在区间（a,x1）上单调递增 B. f（x）在x=x1处取得极大值
C. f（x）有3个极值点 D. f（x2）＜f（x3）
6.目前某城市无人机配送已实现常态化运营.随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单.用频率估计概率.在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）存在单调递减区间，则其导函数f′（x）可能为（　　）
A. f′（x）=（x-1）2 B. f′（x）=2-x
C. f′（x）=ex-3x D. f′（x）=xln（1+x）
8.已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（　　）
A. （-∞，0） B. （-∞，0] C. （0，+∞） D. [0，+∞）
9.设{an}是各项均不为0的无穷等差数列，公差为d.记Tn=a1a2…an（n=1，2，…），则“d≥0”是“Tn有最小值”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f（x）=e1-x，g（x）=x2+ax-a（a∈R）.下列结论中正确的是（　　）
A. a∈R，使得对任意实数x,f（x）-g（x）＞0恒成立
B. a∈R，使得方程f（x）-g（x）=0恰有3个不同的实数根
C. a∈R，函数h（x）=f（x）g（x）存在最小值
D. a∈R，函数h（x）=f（x）g（x）在上单调递减
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在（1-x）6的二项展开式中，含x2项的系数是 .
12.某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人.工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为X，则随机变量X的数学期望的值为 .
13.已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，且{an}是递减数列，{Sn}是递增数列.写出满足条件的一个数列{an}的通项公式an= .
14.已知函数f（x）=sinx+a|x|（a∈R）.当a=1时，f（x）的单调递增区间为 ；若f（x）至少有2个零点，则a的取值范围是 .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=m,anSn=an+1Sn-1（n=2，3，…），给出下列四个结论：
①当m=-4时，{Sn}为递减数列；
②存在实数m,{Sn}不是等比数列；
③当-3＜m＜-2时，S2k+2＞S2k（k=1，2，…）；
④当m＞0时， M＞0， n0∈N*，当n＞n0时，都有an＞M.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知函数f（x）=x3-3x+1.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，4]上的最值.
17.(本小题10分)
某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：
发芽的太空种子数 发芽的普通种子数
辣椒 90 83
番茄 88 82
大豆 91 85
假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）估计这批太空辣椒种子发芽的概率；
（Ⅱ）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：
方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合；
方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合；
方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合.
上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是______.（直接写出序号）
18.(本小题11分)
已知函数.
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设实数k使得f（x）≤kx对x∈[0，+∞）恒成立，求k的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意的x∈[0，+∞），都有f（f（x））≤f（x）.
19.(本小题10分)
已知无穷数列{an}，{bn}满足：对任意整数n≥3，bn=|an-1+an-2|或bn=|an-1-an-2|，称{bn}为{an}的伴随数列.
（Ⅰ）若an=n（n=1，2，…），{bn}为{an}的伴随数列，写出b4的所有可能值；
（Ⅱ）若an=n（n=1，2，…），{bn}各项均为非负实数，且{an}为{bn}的伴随数列，求b1+b2+…+b10的最小值；
（Ⅲ）若{bn}为{an}的伴随数列，且{an}为{bn}的伴随数列，a1=b1=1，a2=2，b2=3.任意给定正整数m,对所有满足题意的数列{an}，{bn}，集合{n|an=bn，n≤m}中元素个数的最大值记为cm，求{cm}的通项公式.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】15．
12.【答案】1
13.【答案】（答案不唯一）
14.【答案】[0，+∞）
（-1，1）

15.【答案】②④
16.【答案】单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）
最小值为-1，最大值为53
17.【答案】0.9
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
数学期望E（X）=2.7
①③
18.【答案】y=x
1
因为，则当x∈[0，e-1）时，f'（x）＞0，则f（x）在[0，e-1）上单调递增；当x∈（e-1，+∞）时，f'（x）＜0，则f（x）在（e-1，+∞）上单调递减，则，又f
=0，且x≥0时，f（x）≥0，故，欲证对任意的x∈[0，+∞），都有f（f（x））≤f（x），只需证对任意的，都有f（x）≤x，只需证对任意的，都有ln（x+1）-x（x+1）≤0，令k（x）=ln（x+1）-x（x+1），，则，则k（x）在上单调递减，则k（x）≤k
=0，命题得证
19.【答案】1或5
35
cm=k+1，这里k满足3k+1≤m≤3k+3（k∈N）
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