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2025-2026学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足（1-i）z=4+2i,则|z|为（　　）
A. 2 B. C. D.
2.已知平行四边形ABCD满足A（1，-2），B（3，0），C（4，3），则点D的坐标为（　　）
A. （2，1） B. （1，4） C. （3，2） D. （5，1）
3.已知一个圆锥的母线长为3，表面积为10π，则该圆锥的底面半径为（　　）
A. 2 B. 3 C. D. 5
4.在△ABC中，BC=1，，，则A=（　　）
A. B. 或 C. 或 D.
5.已知直线l,m是两条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A. 若m⊥α，l⊥m,则1∥α
B. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
C. 若l,m β，1∥α，m∥α，则α∥β
D. 若1∥α，1∥β，则α∥β
6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，PC∥平面BEF，则=（　　）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
7.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m,其中心O到水面的距离为2m,水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为60s,当水车上的一个水筒A从水中（A0处）浮现时开始计时经过t（单位：s）后水筒A距离水面的高度为f（t）（在水面下高度为负数），则f（130）=（　　）
A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m
8.设向量，满足||=2||=4，对任意x∈R，|x+|≥|-|恒成立，则|2+λ|（λ∈R）的最小值为（　　）
A. 2 B. C. 4 D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于任意三个非零向量，和，下列命题中正确的是（　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若，，则
10.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）的一条对称轴是
B. 函数f（x）的最大值是
C. 函数f（x）在区间单调递增
D. 函数f（x）的图像可由y=sin2x的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
11.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形ABC1D1，再将所得的正方形绕直线BC1向上旋转45°，得到正方形A2BC1D2，则（　　）
A. 直线A2C1∥平面ABCD
B. D2到平面ABCD的距离为
C. 点A到点D2的距离为
D. 平面A2BC1D2与平面ABCD所成的锐二面角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是______．
13.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数f（x）的表达式为 .
14.已知锐角△ABC外接圆的半径为2，P为三角形的垂心且AC：AB：BC=6：5：4，则PA+PB+PC的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，且.
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数k的值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC.
17.(本小题15分)
求值：
（1）tan12°tan33°+tan12°+tan33°；
（2）tan20°+4sin20°；
（3）已知α，β均为锐角，且，，求2β.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且.
（1）求cosB；
（2）若D是边AC的中点，|BD|=3，，求△ABC的面积；
（3）求的最大值.
19.(本小题17分)
如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1=2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点.
（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；
（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，
（i）证明：BP=BA；
（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABC
11.【答案】BD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，
可证得：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，
所以O为BD的中点，E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，
所以OE∥PB，
又因为OE 平面AEC，PB 平面AEC，
可证得：PB∥平面AEC．
17.【答案】1

18.【答案】；
；

19.【答案】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，
因为AB=2A1B1=2AA1，
所以三棱锥S-ABC为正四面体，
连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，
连接AG，则AG⊥面SBC，
所以==，
所以DE∥AG，
所以DE⊥面SBC．
（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，
若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，
设AB=2A1B1=2AA1=2，则AH=1，
过点A作AM∥BC，交PQ于点M，
设BQ=k,则CQ=2-k,AM=，=，
所以==，=，
所以S△PBQ=S△ABC ，
所以 =，
所以k=1，
所以点Q与点F重合，均为BC的中点，
所以==，即BP=AB．
（ii）连接DP，C1Q，
由题知DP∥C1Q，且DP=，C1Q=1，BC1=HQ，
连接AB1交DP于点N，
易知B1N⊥DP，且B1N=AB1=，DP∥C1Q，
V=VB-DPQ=VQ-BDP=VQ-ABS=VS-ABC=，
HC1=HF==，
所以d==，
所以dQ-DP=d=，
所以S△DPQ= =，
所以 d=，
所以d=，
设平面α与平面ABB1A1所成角为θ，
所以sinθ==，
所以平面α与平面ABB1A1所成角的正弦值为．
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